2022-2023学年高二数学上学期题型归纳与分阶培优练08直线与圆综合大题归类（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题8直线与圆综合大题归类

目录

【题型一】圆大题基础：轨迹一圆.................................................................1

【题型二】圆大题基础：轨迹一直线..............................................................3

【题型三】直线与圆：韦达定理型................................................................5

【题型四】直线与圆：定点.......................................................................7

【题型五】直线与圆：定值.......................................................................9

【题型六】直线与圆：定直线....................................................................11

【题型七】探索性、存在性题型..................................................................12

【题型八】面积与最值..........................................................................14

【题型九】直线与圆的应用题....................................................................16

【题型十】....................................................................错误!未定义书签。

【题型十一】..................................................................错误!未定义书签。

培优第一阶——基础过关练......................................................................20

培优第二阶——能力提升练......................................................................26

培优第三阶——培优拔尖练......................................................................32

【题型一】圆大题基础：轨迹-圆

【典例分析】

(2021•全国•高二课时练习)已知A(3,3),点B是圆N+y2=i上的动点，点朋是线段AB

上靠近4的三等分点，则点M的轨迹方程是()

A.(%-2)2+(y-2)2=lB.(%-2)2+(y+2)2=l

C.(x-3)2+(y-3)2=1D.(x-3>+(y+3)2=!

【答案】A

【分析】通过定比分点坐标公式，用M的坐标表示8,把8的坐标代入圆的方程，整理可

得点M的轨迹方程.

【详解】设M点的坐标(x,y),B(a,b),因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所

以a=3x-6,b=3y-6,又点B是圆/+)2=i上的动点，所以8的坐标适合圆的方程，即

(X-2)2+(J-2)2=1

故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.特别是类似阿波罗尼斯圆这类型。

②定义法：根据圆定义列方程.

③几何法：利用圆的几何性质列方程.

④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

【变式训练】

1.(2022・全国•高二课时练习)已知直线4：3-y-3"+1=°与4：X+冲-3m-1=°相交于

点P,线段AB是圆C：(x+l)2+(y+T=4的一条动弦，且1钻1=2,则IP4+P8I的最小值

是()

A.2近-拒B.4a-2G

C.272-1D.4^2-2

【答案】B

【分析】由已知得到44过定点(3,1),4过定点(1，3),从而得到点P轨迹为圆

(x-2y+(y-2)2=2,作线段先求得CD,求得归。|的最小值，再由

|P4+PB|=2|PD|可得答案.

【详解】设圆C的半彳仝为4,直线《：”就一)，-3m+1=0与4：x+sy-3〃Ll=。亚直,

又4过定点(3,1),过定点(1,3),从而得到点尸轨迹为圆(x-2)2+(y-2)2=2,

设圆心为〃，半径为4，作垂直线段CDJ_A3,则==&，

」「0mhi=1CM|-4-弓=30-百-&=20-6，阿+■=2|叫

.■\PA+PB\的最小值为4忘-2A/L故选:

2.(2017.北京海淀.高二期中)若动点P在直线4：x-y-2=0上，动点Q在直线4：x-y-6=0

上，设线段PQ的中点为且(%-2)2+(%+2)248,则+的取值范围是

【答案】[8,16]

【分析】根据题意确定出动点的轨迹，利用数形结合，转化为原点与线段上动点的距离的平

方求解即可.

【详解】由直线方程可知两直线斜率相等,所以〃〃2,

由平行线的几何性质知M的轨迹为平行于《且与/„/2等距离的立线,

故直线方程为x_y_4=o,

又“点在圆（x-2y+（y+2）2=8I：及圆的内部，故M的轨迹是如图所示的线段，如图,

|4|I-

*+y；即原点和M距离d的平方.由图可知，dg=4,dmin=-f^==2j2,

8<+Jo=<16,

故答案为：［8,16］.

3.（2020•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知8,C为圆W+/=4上两点，

UUIT1/UlUuun

点4（1,1）,且AB-AC=0，AM=］（A8+ACx）,则AO4M面积的最大值为.

【答案】昱

2

uuir1uunuumi____________

【解析】由A&AC=0,AM=5（AB+AC）可得AM=aBC,在圆。中z可得3cx=2"一O"，

从而有AM2+OA/2=4,即可求出点M的轨迹，然后就可得出AO4M面积的最大值.

UULT1,UlUUUH\

【详解】因为ABAC=0，AM=5（AB+AC）所以A3LAC,且M是BC的中点所以

•J4-OM2,即

113

设点M（x,y）,贝I］有。一1）2+（、-1）2+/+丁=4化简得：（X--）2+（y--）2=-

即点M的轨迹是圆心为（g，；），半径为手的圆。因为OA=上，II直线。4经过点

所以点M到直线。4的距离的最大值就为半径直。所以AQ4M面枳的最大值为

2

1后瓜

-x72x------------

222

故答案为：立

2

【题型二】圆大题基础：轨迹-直线

【典例分析】

.（2022・全国•高二课时练习）已知点（，加〃）在过（-2,0）点且与直线2x-y=0垂直的直线上,

则圆C：1-3有丫+（＞+1）2=4上的点到点加（根,〃）的轨迹的距离的最小值为（）

A.1B.2C.5D.375

［答案］A

【I■析】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解.

【详解】过点（-2,0）且与直线2x-y=0垂直的直线为：y=—g*+2）,

已知点（，","）在该直线上，所以〃=一，m+2）,QPm+2n+2=0,

所以点M（孙〃）的轨迹方程为x+2y+2=0,乂圆C：1-3石『+（y+iy=4,

所以圆心C（3石,7）,半径“2,所以圆C上的点到点M。"）的轨迹的距离的最小值为:

d.:+4_2=3_2=1.故A,B,D错误.

m，n也

故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

非圆形特别是未知型曲线，常用求轨迹的方法：

①定义法：根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方

程；

②参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程；

③转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程；

④几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程.

【变式训练】

1.（2021.江苏.高二专题练习）已知圆G：/+y2=4与圆C2：（x-l）2+（y-3）2=4,过动点

尸3,力分别作圆C-圆C2的切线PM,PN,（M,N分别为切点），若|PM|=|PN|,则

a2+b~—6a—4Z>+13的最小值是

A.5B.—C.—,s/10D.—

355

【答案】D

【解析】P的轨迹为线段GG的中垂线：2x+6y-10=0,

由〃2+〃-6〃一4%+13=（“一3）2+9-2）2,得到/+从一64-4）+13的最小值是点（3,2）到直

线2x+6y-10=0的距离的平方，由此能求出结果.

【详解】•••圆6：/+丁=4与圆。2：（万一1）2+（尸3）2=4,

G（0,0）,C2（l,3）,

V过动点P（a,b）分别作圆G、圆C2的切线PM,PN,（M,N分别为切点），IPM|=|PN|,

2222

IPM|+4=|PN|+4,.-.|PC,|=|PC21,|PC,|=|PC2\

・••尸的轨迹为线段的中垂线，线段的中点坐标为弓1，彳3），

线段GG的斜率〃=j=3,GG的中垂线所在直线的斜率为k=_g

3=—§(/—5),即2x+6y—10=0,

・・・尸的轨迹方程为y—G

；/+2-6a-4b+13=(a-3)2+(b-2)2表示点(a,加与(3,2)距离的平方，

/./+加―6a—46+13的最小值是点0,2)到直线2x+6y-10=0的距离的平方，

.c」2z|2x3+6x2-10l28

：♦a2+〃~—6a—48+13的最小值为：d=(“+36=-

故选：D.

2.(2020•全国•高二)己知圆C”/+y2=l与圆C?：(x-2)2+(>-4)2=1,过动点P(a，6)分

别作圆G、圆G的切线PM、PN(M、N分别为切点)，若PM=PN,则"(.I+3+1)2

的最小值是()

A石R2>/503非646

5555

【答案】B

【解析】利用RfAPMG与RQPNC?全等，得到尸G=PG，得出点尸在线段GC2的垂直平分

线上，乂由J(a—5)2+S+1)2表示尸3,力与。(5,-1)两点间的距离,结合点到直线的距离公

式，即可求解.

【详解】由题意，在RAPMG与必APNC2中，PM=PN,MC=NG=1,

所以R/APMG与Rt\PNC2全等，所以有PC,=PC2,则尸在线段GG的垂直平分线上,

根据G(0,0)、G(2,4)可求得其垂直平分线为x+2y-5=0,

乂由J(a_5)2+S+1)2表示P(a,b)与Q(5,-1)两点间的距离，所以最小值就是Q到

x+2y-5=0的距离，

即痴-的最小值竽.

由点到直线的距离公式，可得至」5+挛5)2+3+1)2

Vl2+225

故选：B.

【题型三】直线与圆：韦达定理型

【典例分析】

(2021.广东.西樵高中高二阶段练习)已知过点40,2)且斜率为我的直线/与圆

C:(x-2)2+(y-3)2=l交于M,N两点.

(1)求女的取值范围；

(2)若OM.ON=12,其中O为坐标原点，求|MN|.

【答案】(l)(o，，(2)|MN|=2

【分析】(1)根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解;

(2)直线》=依+2与圆的方程联立，利用韦达定理表示OM.ON=12,求得衣=可知

圆心在直线上，即|MN|为直径长.

⑴圆C：(x_2)2+(y_3)2=],圆心(2,3),半径r=1设直线/的方程为y=h+2,即

kx-y+2=0

因为直线/与圆c交于两点，所以今|2攵三-3+三2|<1,解得0<A<；4所以左的取值范围为(og).

J1+公3

y=kx+2

(2)设N(W，%).联立(x—2)2+(。-3)2=1,整理得伊+1卜2—(2左+4户+4=0,

ult、r2k+44t、I

所以X]+工2=左2+]，内'2二记石，所以

uuirnum4k（2+k）

OM-ON=x]x2+y%=（1+22）%/2+2Z（尤[+w）+4=——-——^+8.

1।rt

由题设得也学+8=12,解得〃=:,

所以直线/的方程为y=；x+2,所以圆心C（2,3）在直线/上，所以|MN|=2.

【提分秘籍】

基本规律

解决直线与圆相交问题，韦达定理题型常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为A&,%），8（0为）；

（2）联立直线与圆方程，得到关于x（或V）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为玉形式；

（5）代入韦达定理求解.

【变式训练】

（2021•江苏省镇江中学高二阶段练习）如图，已知图C:f+y2=9与x轴的左右交点分别为

A,B,与y轴正半轴的交点为O.

（1）若直线/过点（3,4）并且与圆C相切，求直线/的方程；

（2）若点M,N是圆C上第一象限内的点，直线A",AN分别与V轴交于点尸，。，点

P是线段。。中点，直线MN/fBD,求直线AM的斜率.

【答案】（1）x=3或7x-24y+75=0；（2）.

4

【分析】（1）分斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设切线方程为y-4=k（x-3）,

根据圆心到切线的距离等于半径求出斜率，即可得出答案；

（2）显然直线AM的斜率存在，故设直线40的方程为y=%（x+3）,（k>0）,联立

/y=&（x+3）

,2c，求得M点的坐标，根据点P是线段。。中点，得直线AN的斜率

+y=9

6k_0

kAN=kAQ=——=2kf再根据肠V//8D,即可得出答案.

U一（一3）

【详解】解：(1)当斜率不存在时，宜线x=3满足要求；

当斜率存在时，设切线方程为y-4=m(x-3),即*-y+4-3m=0,则由相切得d=r,即

14-3/n|

解得相==7,

yJm2+1

综上得：切线方程为x=3或加-24)，+75=0；

(2)显然直线A"的斜率存在，故设直线A"的方程为y=Mx+3),(k>0),

由｛I；：：：：,，消去N得(1+公产+6心+9公一9=0,因为乙=一3,所以为=富1,

代入户小+3),得“品，所以M襦,3>

在y=Z(x+3)中，令x=0,得%=3左，而点P是线段。。的中点，所以为=6攵，

所以直线AN的斜率％4N=%AQ=T~~T~^\=2k.

u—（T）

22

.（3-3k6k）上।ra小,„（3-12A:12k｝山…

（LM\T点中，用2&代火，得N,“2•所以

11+/\+k）I1+4f1+4Z~J

12k6k.、

1+4A「1+VA（J2%2）

3-12fc23-3k2-3k2

\+4k2~l+k2

因为MV//BD,所以的。=-1,即=一1，即2严+3左一1=0,

乂Q。，所以解得心牛,即百线AM的斜率为牛.

【题型四】直线与圆：定点

【典例分析】

(2022•四川省德阳中学校高二开学考试)己知两个定点4(0,4)、8(0,1),动点尸满足

|B4|=2|P8|,设动点尸的轨迹为曲线E,直线/:尸乙-4.

(1)求曲线E的方程；

(2)若&=1,。是直线/上的动点，过。作曲线E的两条切线QM、QN,切点为M、N,探

究：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】⑴V+■=4(2)直线MN过定点

【分析】(1)设点尸的坐标为(x,y),由|R4|=2|P8|结合平面内两点间的距离公式化简可得

出点尸的轨迹方程；

(2)设6(七,九)为圆/+)，2=4上任意一点，先证明出圆/+丁=4在点G处的切线方程

为5+为丫=4,设点Q&/—4)、〃(%,凶)、N(w，%)，可写出直线QM、QV的方程，将

点。的坐标代入直线QN的方程，可求得百线MN的方程，化简直线的方程，可

求得直线MN所过定点的坐标.

(1)

解：设点尸的坐标为(X,y),

由1PAi=2归身可得，西+所4)2=26+仃_])2,整理可得f+/2=4,

所以曲线E的方程为X2+V=4.

(2)

解：设。(％匕))为圆/+=4上任意一点，则x；+y：=4,

当x。%二。时;k0G=*(0为坐标原点)，

%0

此时，圆》2+/=4在点G处的切线方程为卜治=-兴(X-%),即x0x+y0y=4：

当％=0时，圆/+9=4在点G处的切线方程为>=2或尸-2,切线方程满足毛x+%y=4；

当先=0时，圆f+>2=4在点G处的切线方程为x=2或x=-2,切线方程满足与工+%丫=4.

因此，圆f+V=4在点G处的切线方程为x()x+%y=4.

当4=1时,直线/的方程为y=x-4,设点。("一4)、M&M、N(s，%),

则直线QM的方程为平+=4,直线QN的方程为々x+y2y=4,

rrrlr5+(—4)乂=4

tx2+。-4)%=4

所以，点〃、N的坐标满足方程a+(r-4)y=4,

故直线MV的方程为a+(f-4)y=4,即f(x+y)-4(y+l)=0,

y=0〃,fx=l

由:解得i

[y+l=0[y=-l

因此，直线MN过定点(1,-1).

【提分秘籍】

基本规律

定点题型：

1.证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f(k)的函数关

系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。

2.证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。

【变式训练】

(2021.江苏.高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x-a)2+(y-6)2=4与圆G：

Y+y2-6x-8y+16=0相切于点且直线/：x+y-1=0与圆C有公共点.

⑴求圆C的方程；

(2)设点尸为圆C上的动点，直线/分别与x轴和y轴交于点M,N.

①求证：存在定点B,使得P3=2PM；

②求当尸M+g/W取得最小值时，直线PN的方程.

【答案】(Df+V=4(2)①证明见解析；②x+4y-4=0.

【分析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，与圆有关的最

值，

(1)由两圆的位置关系求圆C方程；

(2)①由=直接法得2(%-4卜+2%广卜：+北一16)=0,由点P为圆C上的动

点得，

%+"6=0,

8(4,0)在圆C外，N(0,l)在圆C内，点尸为线段8N与圆C的公共点时“=”能成立.从而得

直线方程.

⑴圆+9-6x-8y+16=0,即G：(x-3)2+(y-4)2=9,所以圆心为G(3,4),圆&的

半径4=3.

由圆G与圆C：(…了+(…相切于点/空],得，8，即

a-36

5

’解得kQ=。U或，5i由直线/：x+yr=°与圆c有公共点,

b=——

5

邑”42,所以[：=?，所以圆C的方程为V+y2=4.

,2[b=0

(2)直线/分别与无轴和y轴交点MW).

①：设点8(如%),P(x,y),JU!]x2+y2=4,

由P8=2PM得,J(x_xj+(y_%y=2j(xT)，y2,

x0-4=0,

即2(x「4)x+2%y—(片+y；—16)=0,由点P为圆C上的动点得，%=0，即

.片+$-16=0,

%=4,

[%=。，

故存在定点8(4,0),使得=

②：由①得，PM=gPB,所以PM+gpN=g(PB+PN)2：BN=

易知，3(4,0)在圆C外，N(0,l)在圆C内，

所以线段8N与圆C有公共点，即(*)中“=”能成立.

所以当点P为线段BN与圆C的公共点时，PM+g/W取得最小值，

-+y=1

此时，直线PN的方程为4',即x+4y-4=0.

【题型五】直线与圆：定值

【典例分析】

(2022•江苏省如皋中学高二开学考试)已知直线/:(〃7+2口+(1-2，浦＞+6〃?-3=0与圆

C:x2+y2-4x=0.

(1)求证：直线/过定点，并求出此定点坐标；

(2)设0为坐标原点，若直线/与圆C交于两点，且直线OM,ON的斜率分别为勺，k2,

则勺+网是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.

4

【答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为§

【分析】(1)由已知(m+2)x+(l-2机)y+6机—3=0,可得(2x+y—3)+/n(x-2y+6)=0.根据

过定点的宜线系方程计算方法可得/恒过定点(0,3).

(2)设出直线/的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.

（1）

由直线/“+2）x+（l—2，w）y+6，"-3=0得〃?（x—2y+6）+（2x+y—3）=0,

x-2y+6=0x=0

联立《，解得

2x+y-3=0y=3

直线/恒过定点(0,3).

（2）圆C：/+y2-4x=0的圆心为（2,0）,半径为2,直线/过点

直线/与圆C交于M,N两点，则直线/的斜率存在，设真线/方程为丫=氏+3,

fy=Ax4-3_.

联立匕2）八，得（1+公）f+（6A-4）x+9=°，

[x+y-4x=0

62一49

设M（N，y）,M%,%），510^）+X,=---―,XjX.="-TV,

1+%7-Tl+k~

&+汰=乂+&=^^+^^=2%+3区+々）=2"+3（4：6人）=!是定值,

定值

X]x2%x2XjX293

【变式训练】

(2021・湖南•怀化五中高二期中)已知圆C的圆心坐标为C(3.0),且该圆经过点40,4).

⑴求圆C的标准方程；

(2)直线〃交圆C于M,N两点，若直线AN的斜率之积为2,求证：直线〃过一个定

点，并求出该定点坐标.

(3)直线〃?交圆C于M,N两点，若直线AM,AN的斜率之和为0,求证：直线机的斜率是

定值，并求出该定值.

【答案】(l)(x-3)?+y2=25；(2)证明见解析，(-6,-12)：(3)证明见解析，

【分析】(1)根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.

(2)在直线〃的斜率存在时，设其方程丫=履+，，再与圆C的方程联立，借助韦达定

理及已知探求k,r的关系，然后讨论斜率不存在的情况作答.

(3)设出直线4例，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M,N的坐标，再用斜率坐标

公式计算作答.

(1)

依题意，圆C的半径不=5，

所以圆C的标准方程是：(x-3)2+y2=25.

(2)

当直线”的斜率不存在时.，设M(a,3),N(4,-Z0,由直线AM,AN的斜率之积为2,得

b-4-b-4一

----------------=2，

aa

即廿=16-26,又由点M,N在圆C上得("3)2+/=25,消去b得：«2+6a=0.

而4*0,则。=-6,此时廿＜0，因此，无解，

当直线”的斜率存在时，设其方程为y=H+，，由=2cu消去丫并整理得：

[(x-3)+y=25

(*2+l)x2+2(fo-3)x+Z2-16=0,设”(芯,％),%*2，%),

则再+々=一警:3),中2=与当，直线.斜率原材=入二3,直线4V斜率怎、=丝心，

F+lK+1X[X2

x}x2x{x2XxX2

=二+乩_4).-2仃+6+(公+1)(-4)2二公"+4)-2-+6%+(/+1)”4)

r2-16*-]6f+4

6k-4-1—4

=/+4=2,整理得f=6"12,此时直线n：旷=%(》+6)—12过定点(-6,-12),

所以直线〃过个定点，该定点坐标是(-6,-12).

[y=rx+^

⑶设直线AM方程为：丫="+4,由1(X-3)2+/=25消去),并整理得：

(r2+l)x2+2(4r-3)x=0

6-8r-4r2+6r+4而直线AN：-4,同理N（鬻6+Wz'*-三4/*2¥—6尸+4）‘

则有点M(

产+1'r2+1

-4/+6—+4-6r+4

于是得直线MN的斜率kMN=-々1金士」一

O—orO+o/

r2+1r2+l

3

所以直线机的斜率是定值，该定值为-

4

【题型六】直线与圆：定直线

【典例分析】

(2022•四川・遂宁中学高二开学考试(文))已知直线/：*=冲-1,圆C:W+/+4x=o.

(1)证明：直线/与圆C相交；

(2)设/与C的两个交点分别为A、B,弦48的中点为M,求点M的轨迹方程；

(3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为4,在点B处的切线为4，4与4的交点为

。.试探究：当机变化时，点。是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若

不是，说明理由.

【答案】⑴证明见解析；(2)/+丁+3万+2=0；⑶点。恒在直线x=2上，理由见解析.

【分析】(1)求出直线/：》=加)-1过定点(―1,0),得到(-1,0)在圆内部，故证明直线/与圆

C相交；(2)设出点M(x,y),利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；(3)利用。、

A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立C:X2+V+4X=0,求出相交弦的方程，即直线

/的方程，根据直线/过的定点，得到毛=2,从而得到点。恒在直线x=2匕

(1)

证明：直线，：x=my-i过定点(-1,0),代入C:x2+V+4x=0得：1+0-4<0,故(一1,0)在

圆内，故直线/与圆c相交；

(2)

圆C:f+y2+4x=0的圆心为。(一2,0),设点〃(x,y),由垂径定理得：kCM-k,=-\,即

22

上二±匕2=-1,化简得：X+/+3X+2=0,点M的轨迹方程为：X+/+3X+2=0

x+1x+2

(3)

设点。(%,%)，由题意得：Q、A、8、C四点共圆，且圆的方程为：(x-%)(x+2)+(y-%)y=0,

22

[l|Jx+y+(2-xo)x-yoy-2Ao=O,与圆C的方程C:/+/+4%=。联立，消去二次项得:

(天+2)x+%y+2%=0,即为直线/的方程，因为直线=过定点(一1,0),所以

2%=%+2,解得：々=2,所以当冽变化时，点。恒在直线x=2上.

【变式训练】

(2021.江西.高二阶段练习(理))已知圆C经过P(0,2),Q(l,g)两点，圆心在直线x-y=。

上.

⑴求圆C的标准方程；

⑵若圆C与y轴相交于A,B两点(A在B上方).直线/：y=丘+1与圆C交于M,N两点，

直线AM,8N相交于点T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说

明理由.

【答案】(1)/+>2=4(2)是，y=4

【分析】(1)由已知设出圆心C(a,a),再由圆心到P,Q的距离都为半径列出方程解出答案

即可；

(2)联立直线与圆的方程并化简，然后求出直线AM和BN的方程，进而结合根与系数的

关系得到答案._______________

⑴依题意可设圆心CQ"),则半径r=>"°)2+(a-2)2=J(a-1)2+(“一a2=2,

解a=O,r=2,故C(0,0),即圆C的标准方程为Y+y2=4.

⑵设"(f)”(知必)，由(1)可知，A(O,2),B(O,-2),

联立方程组4，消去x并化简得(二+1)/+2丘-3=0,

容易判断直线所过定点(0,1)在圆内，即直线与圆一定有两个交点，

2k3

所以玉+W=-层节=一后节，

直线AM的方程为y=上二》+2…①，直线BN的方程为y=^^x-2…②，

%x?

k-3

,,,〃、e么,Zz2=hzl,%=♦(依T)=3%一%=.FZTf=1

"人'”>+2X,%+25+3)kx]x2+3x],-3(-2k\3'

k2+\{k2+\-)

由上二!=:，化筒得y=4,故点T在定直线y=4上.

y+23

【题型七】探索性、存在性题型

【典例分析】

(2022•江苏•南京二十七中高二开学考试)己知圆C过点4(2,6),且与直线4：x+y-10=0相

切于点8(6,4).

⑴求圆C的方程：

⑵过点P(6,24)的直线勾与圆C交于",N两点，若△CW为直角三角形，求直线乙的方程;

(3)在直线4：y=x-2上是否存在一点Q,过点。向圆C引两切线，切点为E,F,使△QE尸为

正三角形，若存在，求出点。的坐标，若不存在，说明理由.

［答案］⑴(x_iy+(y+l)2=50⑵x=6或12x—5y+48=0

⑶存在点。(一9,—11)或(11,9)，使AQEF为正三角形

【分析】(1)设圆心为(。,匕)，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相

等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径"，由此可得圆的方程；

(2)由等腰直角三角形性质可知圆心到直线4的距离d=^r=5;分别在直线4斜率不存

2

在和存在的情况下，根据d=5构造方程求得结果；

(3)由等边三角形性质可知|QC|=2r=10及，设。-2),利用两点间距离公式可构造

方程求得，，进而得到。点坐标.

b-4,

------=1

«。-6Jtz=1

⑴设圆心坐标为("⑼，则1("一2)+色-6)=(“-6)+(〃-4),解得：懒=一1,

.・•圆的半径r=J(a-6『+(〃-4)2=5夜,•,•圆C的方程为：(x-l)2+(y+l)2=50.

(2)为直角三角形，|CMTCN|,...aw，CN,

则圆心C到直线4的距离"=也「=5：当直线/,斜率不存在，即/,"=6时，满足圆心C到

2

直线4的距离d=5；

当直线％斜率存在时，可设/2：、-24=%(*-6),即h—y—6A+24=0,

\k+\-6k+24\I?1248

:.d=^——==~^=5,解得：k=—,:.l2:-x-y+—^0,即12x-5y+48=0；

yJk2+\555

综上所述：直线4的方程为％=6或12x-5y+48=0.

71

(3)假设在直线4存在点。，使△婀为正三角形，…“。。-石，•••|QC|=2r=l(x/2(

-2),.-.|2C|2=(r-l)2+(Z-2+l)2=200,解得:1=-9或，=11,

存在点。(一9,—11)或(11,9)，使△QEF为正三角形.

【变式训练】

(2021・江苏•高二专题练习)已知圆O:Y+V=1和点M(l,4).

⑴过M作圆。的切线，求切线的方程；

(2)过M作直线/交圆。于点C,。两个不同的点，且不过圆心，再过点C,。分别作圆

。的切线，两条切线交于点E,求证：点E在同一直线上，并求出该直线的方程；

(3)己知42,8),设尸为满足方程以2+P。2=］06的任意一点，过点尸向圆。引切线，切点

为B,试探究：平面内是否存在一定点N,使得R为定值？若存在，请求出定点N的坐

PN2

标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1))=1和15x-8y+17=0.(2)证明见解析,直线方程为x+1=l.(3)存在,

14

N(——，——)或n(-1,-4).

【分析】(1)讨论斜率是否存在并设宜线方程，结合圆的切线性质及点线距离公式求参数,

进而写出切线方程.

(2)设,E(x0,y0),由CE_LCO、OEJ.OO可得芭/+%为=1、

工2%+%%=1，即可知8的方程，再由点在直线上即可证结论，并确定E所在的直线.

(3)若P(x,y),由题设可知x2+V=2x+8y+19,假设存在N(机,〃)使驾=后为定值，利

PN2

用两点距离公式、圆的切线性质整理可得

(2-2k+2mk)x+(^-8k+2nk')y+lS-l9k-k(m2+n2)=0,要使多项式方程不受P点位置影

响，需使该多项式方程各项的系数为0,列方程求参数即可判断N的存在性.

(1)当斜率不存在时，显然x=l与圆°：/+)'=1相切；

当斜率存在时，设切线为y=&(x-l)+4,由圆心到切线的距离为1,

|4一2|11515

.，.2r===l,解得&=k，则y=?(x-l)+4,整理得15x-8y+l7=O.

y/\+k88

综上，切线方程为x=l和15x-8y+17=O.

⑵设CUp%),。(孙丫2),E(x。，%),

由CEJ_CO,则％(X|-%)+%(%—%)=0,即*一西/+＞；-乂%=0,又x：+y：=l,故

Xdo+y%=1,同理当与+丫2%=1,，直线C£)为/x+%y=l,又Af在C£＞上，...%+4%=1,

故E恒在直线x+4y=l匕

(3)由题设，若尸(x，＞)则(》-2/+(k8)2+/+)，2=106,整理可得＞+y2=2x+8y+19,

pn2

若存在使——7二人为定值，而二炉+y2,PN?=(x-m)2+(y-〃)2,

PN~

x2+y2-i=k(x-m)2+k(y-n)2,整理得(1一4)(f+y?)=k(m2+H2)-2mkx-2nky+1,

(1—k)(2x+8y+19)=k(ni2+)—2mkx—2nky+1,

整理得(2—2&+2加Qx+(8—8&+2心))，+18—19后一打加2+/)=o,

1一k+mk=0

PB1

要使康为定值,则v4—41+nk=0,解得〈〃=一二或

191+后(疗+")=18

综上,存在N(-万|，下4)或N(TT),使P部R2为定值.

【题型八】面积与最值

【典例分析】

(2021.四川省遂宁市第二中学校高二期中(理))已知圆C：x2+y2-2x-2y+l=0,直线/

分别交无轴，轴于A,8两点，。为坐标原点，OA=a,O8=〃(。＞2力＞2),且圆心C到

直线/的距离为1.

(1)求证：(4-2)3_2)=2；

(2)设N(3,l),直线，〃过线段CN的中点M且分别交x轴与y轴的正半轴于点/＞、Q,。为坐

标原点，求4POQ面积最小时直线，”的方程；

(3)求4ABC面积的最小值.

【答案】⑴证明见解析⑵*+2-4=0⑶3+2正

【分析】(1)求出圆心和半径，表示出直线方程，由点到直线的距离公式可得；

vx}2]

(2)直线心的方程为：-+4=1(c>0,d>0),可得上+==1,代入△尸。。面积利用基本

caca

不等式求解；

(3)利用基本不等式求出必范围，即可求出面积最值.

⑴证明：圆C为：(X-1尸+(y-i>=i,圆心C(1,1),半径为1,

设直线/为：二+旨=1(4>2,6>2)即灰+殴-"=0,圆心C到直线/的距离为1,

ah

\b+a-ab\

J/十及'

平方整理得：(油-2b-2a+2)ab=U,即(。-2)(匕-2)=2；

—•+-=1(c>0,d>0)

⑵设直线团的方程为：