充分条件与必要条件

第2炼

充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件

p,q，如果命题“若

p则q”是真命题，则称条件

p能够推出条件

q，记为

p

q，（2）充分条件与必要条件：如果条件

p,q

满足

p

q，则称条件

p是条件

q的充分条件；称条件

q是条件

p的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若 p则q”的真假，也要判断“若q则p”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：1）p能推出q，但q推不出p，则称p是q的充分不必要条件2）p推不出q，但q能推出p，则称p是q的必要不充分条件（3）p能推出q，且q能推出p，记为p q，则称p是q的充要条件，也称 p,q等价（4）p推不出q，且q推不出p，则称p是q的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系1）通过命题手段，将两个条件用“若，则”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如p:x1;q:x210，构造命题：“若x1，则x210”为真命题，所以pq，但“若x210，则x1”为假命题（x还有可能为1），所以q不能推出p；综上，p是q的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系①充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由 p就可以得到结论 q，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件p:x1，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到q:x210所以可以说p对q是“充分的”，而反观q对p，由q:x210，要想得到p:x1，还要补充一个前提： x不能取 1，那既然还要补充，则说明是“不充分的”②必要：也可从日常用语中的 “必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官” ，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以 “必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果 q:x2 1 0不成立，那么 x必然不为1，但是仅靠q:x2 1 0想得到p:x 1也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的”（3）运用集合作为工具先看一个问题：已知

P

Q

,那么条件“

x

P”是“

x

Q

”的什么条件？由P

Q可得到：

x

P

x Q，且

x

Q

推不出

x

P，所以“

x

P”是“

x

Q”充分不必要条件。 通过这个问题可以看出， 如果两个集合存在包含关系， 那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：①PQ：p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件②PQ：p是q的充分条件③PQ：p是q的充要条件此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在p:x

1;q:x2

1 0中，满足

p的

x取值集合为

P

1

，而满足

q的

x取值集合为

1,1所以

P

Q，进而判断出

p是q的充分不必要条件5、关于“

p,

q”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：

p是

q的充分不必要条件，则命题“若 p，则q”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若 q，则 p”也为真命题。所以 q是 p的充分不必要条件二、典型例题：例1：已知

p:x

3

1,q:x2

x 6

0，则

p是q的（

）A.充要条件

B.

必要不充分条件C.充分不必要条件

D.

既不充分也不必要条件思路：考虑利用集合求解： 分别解不等式得到对应集合。 x 3 1 1 x 3 1，解得：2x4，即Px|2x4；x2x60x3或x2，即Qx|x3或x2。所以PQ，进而p是q的充分不必要条件答案：C例2：已知a,bR，那么log1alog1b是3a3b的（）22A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再进行判断，比如“3a3b”等价于ab，所以只需判断log1alog1b与ab的关系即22可。根据ylog1x的单调性可得：如果log1alog1b，则ab，但是若ab，在a,b222大于零的前提下，才有log1alog1b，而题目中仅说明a,bR。所以不能推出。综上可22判断log1alog1b是3a3b的充分不必要条件22答案：C小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条件），再进行判断即可（2）在log1alog1b推ab中，因为log1alog1b是条件，表达式成立要求a,b0，2222但是在ab推log1alog1b中，ab是条件，且对a,b取值没有特殊要求，所以22a,bR，那么作为结论的log1a,log1b就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分22清谁是条件，谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。例3：已知p:xk,q:31，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是_____x1思路：设Px|xk,Qx|31x|x1或x2，因为p是q的充分不必x1要条件，所以PQ，利用数轴可而判断出k2答案：k2例4：下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）A.ab1B.ab1C.a2b2D.a3b3思路：求ab的充分不必要条件，则这个条件能够推出ab，且不能被ab推出。可以考虑验证四个选项。A选项ab1可以推出ab，而ab不一定能够得到ab1（比如a1,b1.5），所以A符合条件。对于B，C两个选项均不能推出A，所以直接否定。而D选项虽然可以得到ab，但是ab也能推出a3b3，所以D是A的充要条件，不符题意答案：A例5：（2015浙江温州中学高二期中考试）设集合Ax|x10,Bx|x1a，x1则“a1”是“AB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路：先解出两个解集：A1,1，B的解集与a的取值有关：若a0，则B；若a0，则B1a,1a，观察条件，若a1，则B0,2，所以AB成立；若AB，则通过数轴观察区间可得a的取值为多个（比如a11”是），所以“a2“AB”的充分不必要条件答案：A例6：对于函数 y f(x),x R，“y f(x)的图象关于 y轴对称”是“ y f(x)是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路：如果yf(x)是奇函数，图像关于原点对称，则yf(x)中yf(x)位于x轴下方的部分沿x轴对称翻上来，恰好图像关于y轴对称，但yf(x)的图象关于y轴对称未必能得到yf(x)是奇函数（例如fxx2），所以“yf(x)的图象关于y轴对称”是“y f(x)是奇函数”的必要不充分条件答案：B例7：已知a,bR，则“a2b21”是“ab1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左右，可以举出反例a0.9,b0.4，则ab1不成立，所以左边无法得到右边。而右左能够成立，所以“a2b21”是“a b 1”的必要不充分条件思路二：本题也可以运用集合的思想，将a,b视为一个点的坐标a,b，则条件所对应的集合为Pa,b|a2b21,Qa,b|ab1，作出两个集合在坐标系中的区域，观察两个区域可得PQ，所以“a2b21”是“ab1”的必要不充分条件答案：B例8（2015菏泽高三期中考试）：设条件p：实数x满足x24ax3a20(a0)；条件q：实数x满足x22x80且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_________思路：本题如果先将p，q写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但p，q容易书写错误。所以优先考虑使用原条件。“ p是 q的必要不充分条件” 等价于“q是p的必要不充分条件”，而p,q为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。解：设Px|x24ax3a20,a0，可解得：P3a,a，设Qx|x22x80可解得：Q,42,，p是q的必要不充分条件q是p的必要不充分条件QPa0a4答案：a4例9：数列an满足a11,an1ranrnN,r0，则“r1”是“数列an成等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路：当r1时，可得an1an1，即an成等差数列。所以“r1”是“数列an成等差数列”的充分条件。另一方面，如果an成等差数列，则a1,a2,a3成等差数列，所以有2a2a1a32ra1r1ra2r2ra1r1rra1rr，代入a11可得：4r2r2r12r23r10，解得r1或r1，经检验，r1时，22a21a111，a31a211,利用数学归纳法可证得an1，则an也为等差222120），所以r成等差数列”无法推出“r1”，数列（公差为符合题意。从而由“数列an2所以“r1”是“数列an成等差数列”的不必要条件答案:A例10：设0x，则xsin2x1是xsinx1的（）2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路：因为0x2，所以0sinx1。故由xsinx1可得xsinxsinxsinx1，即xsin2x，对于xsin2x1能否推出xsinx1，可考虑寻找各自等价条件：1xsin2x1sin2x1sinx1，xsinx1sinx1，通过数形结合可以得xxx到符合sinx1的x的集合是2.4x2.2112gx=sinx的x集合的子集。所x1.8x1.61.4以2是xsinx1的必xsinx1要不充分条件

11.2fx=x1hx=sin x0.8答案：B

0.60.40.20.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.20.4三、近年模拟题题目精选 0.61、（2014a,bR，则“abab”是“ab0”的，江西赣州高三摸底考试）若（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、（2014南昌一模，3）设a,b为向量，则“|ab|=|a||b|”是“a//b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、若a,bR，则“ab成立”是“a2b2成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、（2014，北京）设anq1”是“an为递增数列”的()是公比为q的等比数列，则“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、（2014上海13校联考，15）集合Axx20,Bx(xa)(xb)0，若x1“a2”是“AIB”的充分条件，则b的取值范围是（）A.b1B.b1C.b1D.1b26、（2015，福建）“对任意的x0,，ksinxcosxx”是“k1”的（）2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、（2014北京朝阳一模，5）在△ABC中，Aπ2，则“AC3”是“Bπ，BC”43的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8、（2014湖北黄冈月考，4）已知条件p:k3x21与圆，条件q：直线yk4x2y24相切，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件、陕西五校二模，）命题p:xR且满足sin2x1命题q:xR且满足tanx1.9(20141.则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10、（2015北京理科）设,是两个不同的平面，m是直线且mm∥”是“∥”．则“的（）A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11、（2016，上海交大附中期中）条件“对任意 x 0, ,ksinxcosx x”是“k 1”2的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件习题答案：1、答案：B解析：从集合的角度来看，满足abab条件的a,b取值范围是ab0或ab0，所以可知“abab”是“ab0”的必要不充分条件2、答案：C解析：ab=abab=aba,b的夹角为0,，从而等价于a//b3、答案：Cab22b2，反之若a2b2，则解析：由不等式性质可知：0，则ab即a2a2b2即ab4、答案：D解析：若an的项均为负项，则“q1”，“a为递增数列”之间无法相互推出，所以两条n件既不充分也不必要5、答案：B解析：A:1,2，B:x2xb0，因为AIB，由数轴可得：b1即可6、答案：B解析：左侧条件中恒成立不等式可化为ksin2xx0，设fxksin2xx，可知22f00，