人教版数学九年级上册第2讲一元二次方程配方法

第二讲一元二次方程-配方法知识解析知识点一1、直接开平方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解若则；表示为方程有两个不等实数根若则表示为方程有两个相等的实数根若则方程无实数根②形如关于x的一元二次方程ax-h2+k=0例如：关于x的方程3x知识点二2、配方法解一元二次方程(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是完全平方公式.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：例如：2x²-4x-1=0①②③④⑤知识点三1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

例题精讲考点一利用直接开平方法接下列一元二次方程求下列x的值（1）x2﹣25=0 （2）（x+5）2=16（3）9(2x-1）²-7=0（4）3(x+5）²+1=0用直接开平方法求下列各方程的根(1)；(2)；(3)5(a-1)2-考点二用配方法解方程解方程：（1）x2+4x-1=0（2用配方法解方程.(1)；(2).(3)3x2-5x（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（

）A．B．C．D．（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：．考点三利用配方法解决问题若代数式，，则的值（）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数若代数式Q=7x²+2x+3，P=3x²-2x+2，则关于Q、P的大小关系正确的是（）Ａ．Q>P Ｂ．Q=P Ｃ．Q<P Ｄ．不确定用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．求代数式的最小值已知，求的值．

课堂演练1．一元二次方程配方后可变形为（）A． B． C． D．2．用配方法解方程，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝23．代数式x2＋4x＋7的最小值为____．4．将二次三项式x2＋4x＋5化成(x＋p)2＋q的形式应为____.5．用配方法解方程时，可配方为，其中________．6．t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2－2x＋t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值是____．7．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．，21 B．，11 C．4，21 D．，698．用配方法解方程，则方程可变形为（）A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2= C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=9．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．10．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+1的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．

课后练习1．填空，将左边的多项式配成完全平方式：(1)_____=_____；(2)_____=_____；(3)_____=_____.2．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．3．用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ）A．2（x-1）2=1 B．2（x-1）2=5 C．（x-1）2= D．（x-2）2=4．用配方法解方程，则方程可变形为（）A．（x-2）2= B．2（x-2）2= C．（x-1）2= D．（2x-1）2=15．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．化为 B．化为C．化为 D．化为6．方程的解是（）A． B．C． D．7.解下列方程(1)x(x+5)=x-4（2）4（x﹣1）2＝9(3)；(4)8.用配方法求的最大值．9.（1）已知，求的值；（2）求证：不论x，y为何实数，的值总是正数；10.阅读：我们知道一个分式有意义的条件是字母的取值使得分母不为零，所以分式中取值往往会受到限制，但分式中b却可以取任意实数，理由是b2+3≥3，所以不可能为0且分母的最小值为3，根据你的理解回答下列问题：（1）多项式x2+2x﹣3有最大值还是最小值？如果有，请求出这个最值；（2）已知关于x的多项式A＝4x2﹣3x+a2（a为常数）和多项式B＝3x2+5x﹣17，试比较A和B的大小，并说明理由；（3）已知关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3（m为常数）的最大值为2，求x和m的值．11.阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：分解因式；（2）把写成后，求出的值；（3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．12.阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)，再例如求代数式2x2+4x-6的最小值．解：

2x2+4x-6=2（x2+2x-3）=2[(x2+2x+1)-4]=2[(x+1)2-4]=2(x+1)2-8可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：

m2-4m-5（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18