2022衡水高考名师数学卷：14计数原理

2022衡水名师原创数学专题卷

专题十四《计数原理》

考点45：排列与组合（1-4题，9题，13,14题，17T9题）

考点46：二项式定理（5-8题，10-12题，15,16题，20-22题）

考试时间：120分钟满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。）

L六人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法共有（）种

A.360B.480C.144D.120

2.从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不

同的选法有（）种

A.1190B.560C.420D.3360

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙

场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

4.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜

色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）

9

"设(犬+1)(2%+1)=%+q(x+2)+%(x+2『4-----Pall(x+2)"*则%+4+a2-\-----Fa”的值

为()

A.2B..C.1D._

一1

6.在（4-2『的展开式中，X。的系数为（）

A._5B.5C._10D.10

7.（五一2j展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）

A.180B.90C.-180D.-90

8.（》+且）（*+用5的展开式中'3）/的系数为（）

x

A.5B.10C.15D.20

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得3分。）

9.有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医

疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N,则下列

等式能成为N的算式是（）.

A0-C；C：；B.+C；C"C；；

D.c；c>

10.已知（办2+-1）"5>0）的展开式中第5项与第七项的二项数系数相等，且展开式的各项系

数之和为1024,则下列说法正确的是（）

A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含储$项的系数为45

11.对于二项式（_L+x3）"（〃eN*），以下判断正确的有（）

A•存在〃wN*，展开式中有常数项：

B.对任意〃eN*，展开式中没有常数项：

C.对任意〃eN*，展开式中没有X的一次项；

D.存在展开式中有X的一次项.

12.若（］+加x）8=旬+%》+出/+…且6+。2+…+。8=255，则实数m的值可

以为（）

A.-3B.-lC.OD.1

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.AB、C。四位同学站成一排照相，则48中至少有一人站在两端的概率为

14.将编号为1,2,3,4,5的5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个

盒子中所放小球的编号奇偶性均不同的概率为.

15.若”/+—的展开式中常数项为150,则的最小值为______.

IxJ

16.已知（2/+x-y）"的展开式中各项系数的和为32,则展开式中V丁的系数为.（用

数字作答）

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）周末老师带领学生去南山公园旅游，为了留下美好的回忆，决定在

公园门口合影留念。现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男生4人，女生2人，

在下列情况下，各有多少种不同站法？（每题都要用数字作答）

（1）两名女生必须相邻而站；

（2）4名男生互不相邻；

（3）若4名男生身高都不等，从左向右看，男生按从高到低的顺序站.

18.（本题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合

征（MERS）和严重急性呼吸综合征（S/RS）等较严重疾病•而今年出现在湖北武汉的新

型冠状病毒(〃c。/)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株•人感染了新型冠状病毒

后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致

肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参

加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮(男)为科室主任；该

院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅(女)为科室主任，现在院方决定从

两科室中共选4人参加援鄂医疗(最后结果用数字表达)

(1)若至多有1名主任参加，有多少种派法？

(2)若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？

(3)若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？

19.(本题满分12分)一个正方形花圃被分成5份.

(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、

绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？

(2)若将6个不同的盆栽都摆放入这5个部分，且要求每个部分至少有一个盆栽，问有多

少种不同的放法？

20.(本题满分12分)在(i_3幻6的展开式中,

(1)求展开式中各项的二项式系数和：

(2)求第4项的二项式系数和第4项的系数.

2}456

(3)设(1_3刈6=&+qx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x，求q+%+%+%+%+。6的

值.

21.(本题满分12分)若卜_；"“。+平+货+…+犷，且％=7

x

⑵求1+2%+2?%+23%+…+T~an的值

22.（本题满分12分）设（1+；制桁=%+用工3+.・,+%£°

TO2a

(14-；x)Og4-axx+a2x+aax++

m

(14--i)a^j+atx+++…+0mxm

，若“叫55,但成等差数

%q/

列.

a+))"v+＞尸

⑴⑴求.’’展开式的中间项;

(1+尹

(1+-x)"(l+-x)m

求1展开式中所有含x奇次基的系数和;

(1+产

⑶⑶求

求］展开式中系数最大项

(1+y严5

参考答案及解析

1.答案：B

解析：•••甲、乙两人必须不相邻.•.先排列其他4个人，共有用种排法，再在4个人形成的

5个空中选2个位置排列，共有w种排法；...不同的排法有用芯=4x3x2x1x5x4=480

(种)

2.答案：C

解析：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况。

若3人中有2男1女，则不同的选法共有c2oCi=270种，

若3人中有1男2女，则不同的选法共有c：（C=150种，

根据分类计数原理，所有的不同的选法共有270+150=420种,

故选：C

3.答案：C

解析：C'c^d=60-

4.答案：C

解析：分步如下:第一步先涂ABE三点的颜色必须各异，不同的涂色方法种数为种;第二步

涂C,。两点，假设已涂48,E的三色顺序分别为0,2,3），那么C,。可涂的分为：C涂I，D

可以选择（2,4）中的一种颜色来涂，有2种；C涂4，。可以选择1,2中的一种颜色来涂，

有2种；所以不同的涂色方法种数有团x（2+2）=96种.

5.答案：D

29

解析：令x+2=l,即令x=T得a。+q+a2+•••+a,1=[（-I）+1]-[2x（-1）+1]=-3

6.答案：C

解析：由二项式定理得（4-2），的展开式的通项（+|=仁（人产（_2厂=G（-2）”~^，令

J得I,所以岂口令「心,所以一的系数为叫故选c.

7.答案：A

解析：因为（、&丫的展开式中只有第六项二项式系数最大，所以“=i°,则由

加=q。.（可）仔]=.2"竽，令为"=0，解得'=2,所以展开式中的常数项是

Gj.22=180,故正确答案选A

8.答案：C

解析：因为(x+»的展开式的第'+i项,所以乙卜+方的展开式中

》3y3的系数为C；4-C1.=15,故选C.

9.答案：BC

解析：解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人.

利用直接法，2男3女：c2c3；3男2女：c3c2；4男1女：c4cl；5男：「5,所以

5

N=C；C：+C；C；+C：C；+C>

利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即N=C；3_C；C：_C7

所以能成为N的算式是BC.

故选：BC.

10.答案：BCD

解析：因为(a?+小"的展开式中第5项与第7项的第二项式系数相等，所以C：=C

得〃=10,因为展开式中各项系数之和为1024,所以令x=1,得5+了。=1024得a=1

故给定的二项式为(/+)=尸展开式的系数与对应的二项式系数相等，故B正确，展开式的通

yJX

2

项通项公式为c*0(x产*.(-!=)=卷(％=0,1,2,…10)，令20-与=15，记得'-8

yjx2

即常数项为第9项，故C正确，令20-M=15,得人=2，故展开式中含一项的系数为Go=45

2

故D正确

11.答案：AD

解析：设二项式（J+d〃eN"）展开式的通项公式为

则G=C；（与

x

不妨令〃=4,则尸=1时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令〃=3,则r=1时，展开式中有x的一次项，故C答案错误，D答案正确・

故答案选AD.

12.答案：AD

8

解析：因为（i+〃?x）8=为+%》+的/+•••+agx，

令X=1得：（1+〃?）'=,+/+。2+…+。8，

令X=0得：

因为q+a2+■-+4=255'

所以（1+加）8—1=255，

所以（1+帆）8=256=23

所以1+加=2或1+加=—2,

解得：加=—1或加=—3,

故选：AD.

13.答案：2

6

解析：A、B、C。四位同学站成一排照相，基本事件总数〃=4=24，48中至少有

一人站在两端包含的基本事件个数机=小一团曷=20，故48两人中至少有一人站在两

端的概率尸='=型=2

n246

14.答案：《

解析：由题意知，要求每个盒子都不空，

则三个盒子中放入小球的个数可以分别为3,1,1,或2,2,1,

若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同，则只能是2,2,1,

且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶，

每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为：

p_A3C3A2_6

15.答案：2府

解析：•••的展开式的通项为：&1=禺・32)6'•(而T)=产，♦/>2y.产一"

〃=0,1,2,3,4,5,6由12-3厂=0得，r=4〃.以=达。:.a2b2=10

-/+旌2•=2加当且仅当/=〃=加时等号成立，.・"+从的最小值为2M

16.答案：120

解析：令x=y=l测得(2xl+l-l)"=32,2"=2\〃=5

(2x2+x-^展开式中d/的项为：Cs(2x)2C\xC；(-y)2=120xsy2

所以其系数为120.

17.答案：(1)•.•两个女生必须相邻而站；

，把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有

看魅=1440•

(2)..工名男生互不相邻；.•.应用插空法，

要老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有团团=144•

(3)根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有另种情况,

若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，

则男生的顺序只有1种，将4人排在剩余的4个空位上即可.

则共有lx43=210种不同站法.

解析：

18.答案：（1）直接法：若无主任：仁=35,若只有1名主任：C；C；=70,共105种.

间接法：=105

（2）直接法：c；C；+C；C：=105

间接法：C；-C：-C；C；=105

（3）张雅即是主任，也是女医生.属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类

第一类：若有张雅C：=56

第二类：若无有张雅，则李亮必定去：c：（C；C：+C；C：+C；）=31

共87种

解析：

19.答案：（1）先对E部分种植，有4种不同的种植方法；

再对/部分种植，又3种不同的种植方法；

对/部分种植进行分类：

①若与Z相同，D有2种不同的种植方法，B有2种不同的种植方法，共有

4x3x2x2=48（种），

②若与/不同，C有2种不同的种植方法，。有1种不同的种植方法，8有1种不同的

种植方法，

共有4x3x2x1x1=24（种），

综上所述，共有72种种植方法。

（2）将6个盆栽分成5组，则2-1-1-1-1,有c；种分法；

将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有C：£=18（）0（种）放法，

综上所述，答案：1800种不同的放法。

解析：

20.答案：(1)展开式中各项二项式系数的和为：c：+C：+C京+…+或=26=64

333

(2)展开式的第四项是：T；=C6-1-(-3X)*第四项的二项式系数为亡=20,第四项的

33

系数为：C6-(-3)=-540

⑶因为(l-3x)6=/++。3丁+。4工4+。5丁+。61'所以令上式中X=。则%=1

令X=1，则他+%+出+%+。4+。5+%=(1-3)6=64

%+%+。3+。4+。5+。6=64-1=63

解析：

21.答案：1.史/2」

82

解析：1.因为［=。?且牝二7

所以;d=qi2=7=("-8)("+7)=0,解得〃=8或〃=-7(舍)，

435

故的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为=­x4

8

2.令x=0，可知%=1，

令x=2,得0=%+2%+22%+24+2%4+--+2"对，

所以2%+22%+273+274+-+2'%“=-1

3

故4+2a2+2~%+2*%+…+2"'/(2q+2~a,+2a3+2"%+…+2"a")=—5

22.答案：11依题意得r=0

r=0

r=0