2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）（2x+iy的展开式中/的系数是（)

A.21B.42C.84D.168

2.（5分）下列求导数运算正确的是（）

A.（.-）'=X-2B.(2Ay=27/z2

X

C.{Inlxy^—D.(sin—/=cos—

2x66

3.（5分）根据如下样本数据：

X3579

Y6.5542.5

得到经验回归方程为》=去+4,则（）

A.a<0,h<0B.a>Q,h>0C.GvO,>0D.Zz>0,ft<0

4.（5分）甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有（）

A.12种B.48种C.72种D.120种

5.（5分）目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策.假定生

男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女

孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

7247

6.（5分）济南市为实现“节能减排，绿色出行”，自2018年起大力推广新能源出租车、网

约车.截至目前，全市出租车已有38%换装为新能源汽车，网约车中更是有51%的车辆为

新能源汽车.某人从泉城广场通过手机软件打车功能，同时呼叫出租车与网约车，该软件平

台向附近42辆出租车和21辆网约车推送接单信息（假设平台呼叫范围内新能源车比例与全

市区域相同，每位司机接单机会相同），该乘客被新能源汽车接单的概率约为（）

A.42.3%B.44.5%C.46.7%D.50%

7.（5分）挛生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学

家张益唐证明了挛生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p,

使得p+2是素数.素数对(p,p+2)称为李生素数对.从8个数对(3,5),(5,7),(7,9),(9,11),

(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)中任取3个，设取出的挛生素数对的个数为X,则召(X)=(

)

33

A.B.2C.D.3

822

8.(5分)己知函数/(幻的定义域为R,Ax)>l,f(1)=一1,则/(x)>x-2的解集为

)

A.(-oo,l)B.(l,4^o)C.(-00,-1)D.(-l,+oo)

二、选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(5分)在d-xF的展开式中，下列说法正确的是()

X

A.常数项是20B.第4项的二项式系数最大

C.第3项是15/D.所有项的系数的和为0

10.(5分)目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防.装疫苗的玻璃瓶

用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称：膨胀系

数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X|服从正

态分布N(4.4,0.09),乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X?服从正态分布N(4.7,0.01),则下

列选项正确的是()

附：若随机变量X~N(〃,4),则尸(〃-cr<X<〃+<7)=0.6827.

A.甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在(4.1,4.7)的概率约为0.6827

B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中

C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5.则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标

准的概率更大

D.乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等

11.(5分)已知由样本数据(x,,y),i=l,2,3,4,5,6求得的经验回归方程为夕=2x+l,

且无=3.现发现一个样本数据(8,12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线/的

纵截距依然是1,则下列说法正确的是()

A.去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位

B.去除后剩余样本数据中x的平均数为2

C.去除后的经验回归方程为9=2.5x+l

D.去除后相关系数r变大

12.（5分）已知函数=a为常数,若函数f（x）有两个零点玉，x,,则下列说

法正确的是（）

2

A.xtlnx2=x2lnxtB.2e<xt+x2<e

,11

C•%%>eD•---+---->2

lnxxlnx2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知随机变量X的分布如表，则£>（X）=.

X01

Pa2a

14.（5分）为调查某企业年利润y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相

关性，收集了5组成对数据（x,y）,如表所示：

X12345

Y50607080100

由上表中数据求得丫关于x的经验回归方程为y=12x+a,据此计算出样本点（4,80）处的残

差（残差=观测值-预测值）为一.

15.（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演.该校音乐组9名教师

中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中

选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有一种不同的

选法.（用数字作答）

16.（5分）已知函数fM=e2x,g（x）=蛆里，若/（x）图象向下平移左伏>0）个单位后与g（x）

X

的图象有交点，则女的最小值为一.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知函数/。）=必？+6x2+CX+1在x=l处有极值，其图象经过点（2,3）,且

r（o）=-i.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在x=-l处的切线方程.

18.（12分）为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科

疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形

图，如下：

（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2x2列联表：

疗法疗效合计

未治愈治愈

外科疗法

化学疗法18

合计100

（2）依据小概率值a=0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关.

n(ad-be)2

附：X2（如需计算X2，结果精确到0.001）

(a+h)(c+d))(a+c){b+d)

T独立性检验中常用小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

oD.o

9Mo•

'/

8oo

'/

7oo

-/

6oo口治愈

•

5o.o

'.

4oo口未治愈

3oo

/

2oo

•

1oo

-/

oo

19.（12分）某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖.抽奖盒中装有3个

红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球,

若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖.小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖.

（1）求每一位抽奖者中奖的概率；

(2)现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值.

20.(12分)已知函数/'(x)=-(34+l)x+3a+2].

(1)当a=2时,求函数八力的极值;

(2)当a<l时，讨论函数f(x)的单调性.

21.(12分)2021年新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.小明在做多选题的第

11题、第12题时通常有两种策略：

策略A：为避免有选错的得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选

题当作“单选题”来做.这种策略每个题耗时约3分钟.

策略8：争取将该问题得5分，选出自己认为正确的全部选项.这种策略每个题耗时约6

分钟.某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了其各种策略下11题和12题的

作答情况如下：

第11题：如果采用策略A,选对一个选项的概率为0.8,采用策略5,部分选对的概率为

0.5,全部选对的概率为0.4；第12题：如果采用策略A,选对一个选项的概率为0.7,采用

策略8,部分选对的概率为0.6,全部选对的概率为0.3.

如果这两题总用时超过10分钟，其他题目会因为时间紧张少得2分.假设小明作答两题的

结果互不影响.

(1)若小明同学此次考试中决定11题采用策略8、12题采用策略A,设此次考试他11题

和12题总得分为X,求X的分布列；

(2)小明考前设计了以下两种方案：

方案1:11题采用策略3,12题采用策略A；

方案2:11题和12题均采用策略8.

如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，根据小明的实际情况,

你赞成他的第几种方案，并说明理由.

22.(12分)已知函数f(x)=/nx-ar+l.

(1)若/(x),,0恒成立，求实数〃的取值范围；

(2)求证：当“e%时，l+’H■—+…+!+2>岳(〃+1)+(1+工)"成立.

23nn

2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）（2x+l）7的展开式中/的系数是（）

A.21B.42C.84D.168

【解答】解：（2x+l）7二项展开式的通项公式为却|=a-（2x）7，T=a"-Jx",

令7f=2,解得r=5,

所以f的系数是C；22=84.

故选：C.

2.（5分）下列求导数运算正确的是（）

A.（-7=%-2B.（2*）'=2*/〃2

X

\7T7T

C.（In2x）r=—D.（sin—/=cos—

2x66

【解答】解：=—V»（/〃2x）=—x2=—»（sin—）r=0»故A、C。错误.

x厂2xx6

故选：B.

3.（5分）根据如下样本数据:

X3579

Y6.5542.5

得到经验回归方程为9=去+4,则（）

A.a<0h<0B.a>0,>0C.a<0,h>0D.6>0,<0

【解答】解：由表格可知，丫随着工的值增加而减小，

故各<0,

又当x=0时，y应该大于6.5,

故4>0.

故选：D.

4.（5分）甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有（）

A.12种B.48种C.72种D.120种

【解答】解：根据题意，分2步进行分析:

①先将丙、丁、戊三人排好，有用=6种排法，

②排好后，有4个空位，将甲乙安排在空位中，有片=12种排法，

则甲乙不相邻的排列方法6x12=72种；

故选：C.

5.（5分）目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策.假定生

男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女

孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

7247

【解答】解：随机选择一个有三个小孩的家庭，知道这个家庭有女孩，

基本事件有：

（女女女），（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共7个，

其中该家庭也有男孩包含的基本事件有：

（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共6个，

，已经知道这个家庭有女孩的条件下该家庭也有男孩的概率是P=-.

7

故选：D.

6.（5分）济南市为实现“节能减排，绿色出行”，自2018年起大力推广新能源出租车、网

约车.截至目前，全市出租车已有38%换装为新能源汽车，网约车中更是有51%的车辆为

新能源汽车.某人从泉城广场通过手机软件打车功能，同时呼叫出租车与网约车，该软件平

台向附近42辆出租车和21辆网约车推送接单信息（假设平台呼叫范围内新能源车比例与全

市区域相同，每位司机接单机会相同），该乘客被新能源汽车接单的概率约为（）

A.42.3%B.44.5%C.46.7%D.50%

【解答】解：新能源汽车接单的概率约为蹙学士”卫“0.423=42.3%.

42+21

故选：A.

7.（5分）挛生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学

家张益唐证明了挛生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p,

使得p+2是素数.素数对（p,p+2）称为李生素数对.从8个数对（3,5）,（5,7）,（7,9）,（9,11）,

(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)中任取3个，设取出的挛生素数对的个数为X,则E(X)=(

)

313

A.-B.-C.-D.3

822

【解答】解：由题意可知,这8个数对中只有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)是李生素数对，

则X的可能取值为0,1,2,3,

故P(X=0)=等」，

C：14

2l

P(X=])=^C£C=23,

C；7

[2

产(乂=2)=C/C"=士3

C；7

3

p(X=3)=-r°^c-=—1

c；14

I3313

所以E(X)=0x—+lx—+2*—+3x—=3.

1477142

故选：C.

8.(5分)已知函数/(x)的定义域为R,f'(x)>1,f(1)=一1,则/(x)>x-2的解集为

()

A.(—oo,l)B.(l,4-oo)C.(-oo,-1)D.(—l,+oo)

【解答】解：不等式/(x)>x-2等价于/(x)—x+2>0,构造函数尸(x)=〃x)—x+2,

又尸(1)=f(1)一1+2=0,不等式等价于尸(x)>尸(1).

因为F，(x)=f(x)_l>0,所以F(x)在R上单调递增，所以不等式的解为x>l.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(5分)在(1-x)6的展开式中，下列说法正确的是()

X

A.常数项是20B.第4项的二项式系数最大

C.第3项是15/D.所有项的系数的和为0

【解答】解：(1一b6的二项展开式的通项公式为力+，=6.(1)6，(一幻’=€1；-针-6.(_1)，，

XX

对于A,当2—6=0,即r=3时，常数项为7；=C；《-1)3=-20,故选项A错误;

对于8,第4项的二项式系数为C；是最大的，故选项5正确；

对于C,第3项是[=C；-X-2《_I)2=]5X-2,故选项。错误；

对于。，令x=l,WJ(--x)6=(l-l)6=0,故所有项的系数的和为0,故选项。正确.

X

故选：BD.

10.(5分)目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防.装疫苗的玻璃瓶

用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称：膨胀系

数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X,服从正

态分布N(4.4,0.09),乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布N(4.7,0.01),则下

列选项正确的是()

附：若随机变量X~N(〃Q2),贝IJP(〃-b<X<〃+b)*0.6827.

A.甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在(41,4.7)的概率约为0.6827

B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中

C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5.则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标

准的概率更大

D.乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等

【解答】解：对于A,由题意可知，M=4.4,cr,=0.3,4=4.7,cr2=0.1,

所以P(4.1<X1<4.7)=尸(4-0<X1+0)=0.6827,

故选项A正确；

对于由于6,>%，则甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨

胀系数数值更不集中，

故选项8错误；

对于C,

尸微।尸(必<澈、)？

(X15)=P(X]+2b)=g+XW+5)+PR+er,<X,4+=0.84135+P(4+cr,<X]4+2trt)

P(X掇5)=P(X24+初)=；+「(用<X费3+/)+P(〃2+%<X,任+3/)=0.84135+P(M+/<X/4+3%)

所以乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大，

故选项C正确；

对于£),P(X2<4.5)=P(X2<ju2-2(T,),

P(X2>4.8)=P(X2>/z2+2(T2),

则尸(X2<4.5)RP(X2>4.8),

故选项D错误.

故选：AC.

11.(5分)已知由样本数据(x,,y),i=l，2,3,4,5,6求得的经验回归方程为亍=2尤+1,

且5=3.现发现一个样本数据(8』2)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线/的

纵截距依然是1,则下列说法正确的是()

A.去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位

B.去除后剩余样本数据中x的平均数为2

C.去除后的经验回归方程为£=2.5x+l

D.去除后相关系数r变大

【解答】解：当元=3时，y=2x3+l=7,

66

因为£助=18,±6y=42,

/=1i=l

所以去掉样本数据(8,12)的新数据中，

66

2y一12

x'=-^-----=2,7=-^-------=6,

55

设去除该数据后重新求得的回归直线/为y=6+1,

又2。+1=6,解得。=2.5,故"2.5x+l,

对于力，去除前变量x每增加1个单位，变量y大于增加2个单位，故选项A错误；

对于8,去除后剩余样本数据中x的平均数为2,故选项8正确；

对于C,去除后的经验回归方程为？=2.5x+l,故选项C正确；

对于。，去除了误差较大的样本数据，相关系数r变大，故选项。正确.

故选：BCD.

12.(5分)已知函数f(x)=/nx-ar,。为常数，若函数有两个零点不，x2,则下列说

法正确的是()

2

A.xjnx2=x2lnx]B.2e<xt+x2<e

C•%D♦-----4------->2

lnxAbvc2

【解答】解：因为/(x)有两个零点石，x2,不妨设王<£，

所以/nx-ox=0在(0,+oo)上有两个根，

即。=妈在(0,y)上有两个根，

X

人/、欣/2

令y=Q，g(%)=——(x>0),

X

则y=a与^(x)=—(x>0)有两个交点，

x

当x〉e时，g，(x)<0,g(x)单调递减，

当Ovxve时，g'(x)>0，g(x)单调递增,

所以g(x),,g(e)=-,

e

所以0<。<一，O<X]<e,x2>e,

对于A：根据题意可得/g-叫=0,lnx2-ar2=0,

所以lnxx=axA,lnx2=ax2,

所以她="，

lnx2ax2

即%1吟=x2lnx1,故A正确；

对于8:

当a-»0+时，七一+8，此时再+工2>/,所以3错误,

对于C,

lnxx=ax],lnx2=ax2,令，=三>1,则占=历，

所以她=

lnx2x2lnxx+lnttt-\

所以Inx^=ln(tx{)=lnt+Inx、=Int+上彳=

则/叫+lnx2-"+,下面证明lnx}+lnx2>2,

即证a+D包>2,即证/">也二D,即证/川一型二D>o,

t-\t+\r+1

令心)=.一箸'〃(加黑9°'

所以函数〃(幻在(0,转)上单调递增，当x>l时，h(x)>h(1)=0,

所以/m-电——>0,所以/g+加占>2=>X]X>>/,故c正确.

r+1

对于。：不妨设％<工2,

则/叫-ax,=0,lnx2一%=0,

所以lnx2-bvcx=a(x2一玉)，

要证-L+」->2,

lnx}lnx2

只需证工+'->2。，

玉工2

只需证士也>a,

2x)x,

只需证：士+注:gT3

2xtx2X2-x,

只需证：互二仁〉/〃红，

2X1X2%

只需证：/〃X<L(X_±),

%2X1

令”三Y>1,即证/〃11

%2t

设e(t)—Int——(f—),

2/-/2-1

则所学<0,

所以夕⑺在(1,+00)上单调递减,

则(p(t)<(p(1)=0,

即「L+」—>2,故。正确;

lnxxlnx2

故选：ACD.

2

,则O(X)=_§_

122

£(X)=Ox—+lx—=—.

333

7I7??

22

Z)(X)=(0--)x-+(l--)x-=-

33339

故答案为：

9

14.（5分）为调查某企业年利润y（单位：万元）和它的年研究费用X（单位：万元）的相

差（残差=观测值-预测值）为

【解答】解：由表格中的数据可知，亍J+2+3+4+5=3,

5

,50+60+70+80+100”

y=-------------------=72,

5

所以12x3+4=72,解得a=36,

所以y=12x+36，

当x=4时，y=4xl2+36=84,

所以残差=观测值-预测值=80-84=T.

故答案为：-4.

15.(5分)为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演.该校音乐组9名教师

中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中

选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有30种不同

的选法.(用数字作答)

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①只会器乐表演的3人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下6人中选出4人参加声乐表

演，有C：=15种选法，

②从只会器乐表演的3人选出2人，和既会器乐表演又会声乐表演的1人共同参加器乐表演,

有C；C；=15种选法,

则有15+15=30种选法,

故答案为：30.

16.(5分)已知函数f(x)==色出，若/(x)图象向下平移k(k>0)个单位后与g(x)

X

的图象有交点，则&的最小值为2.

【解答】解：若/(x)图象向下平移网%>0)个单位后与g(x)的图象有交点,

贝IIf(x)-k=,在(0,内)上有解,

X

所以4=y(x)-"已=e2，-”里，在(0,”)上有解,

XX

人，,、2rInx+X

令h(x)=e-------,x>0,

7x-(/nx+l)2xVr+/ax

hXx)=2e2x2-2

令p(x)=2x2e2x+Inx,

p\x)=4%e2x+4x2e2v+-=4xe2'(l+x)+->0,

xx

所以p(x)在(0,+oo)上单调递增，

且X—>0时，f(x)fHO；Xf+8时，/(x)->4-00,

所以存在%£(0,+oo),使得p(Xo)=O,①

即+/"x0=0,

令"，则

f=2x0t+Int-2x0=0,

即2天)。-1)+"a=0,

令,则单调递增,

q(t)=2x0(r-l)+Intq(t)

又，=1时，q(1)=0,

所以收/阳=1,即e2・0=’②

X。

所以由①得，在(0,%)上，p(x)<0,〃(幻<0,〃*)单调递减，

在(％,+oo)上，p(x)>0,h\x)>0,〃(x)单调递增，

t-r-..I2v/〃X0+12AX—+1

所以九f(x)加〃=〃f(/)=e%——--=e%------------------

/%

」，

i+2Aoe2%

把②代入得，瓜XM2xu

)”=h(x0)=2xoe=2,

所以及..2,

所以女的最小值为2.

故答案为：2.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知函数/。)=渥+加+以：+1在》=1处有极值，其图象经过点(2,3),且

r(o)=-i.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在x=-l处的切线方程.

【解答】解：(1)因为函数/*)=加+加+CX+1,

则/'(x)=30r2+2bx+c,

7(2)=32a+4〃+2c+l=3

由题意可得，,r(o)=-i,BP-c=—i,

./•'⑴=0Via+2b+c=0

解得a=l,b=—\,c=—1

经检验，f(x)=融3+6/+cx+l在x=l处有极值，

故f(x)=x3-x2-x+1；

(2)由(1)可得，,f(x)=x3-x2-x+\,

则/(一1)=0，所以切点坐标为(T,0),

又f'M=3x2-2x-l,

所以((—1)=4,

故切线的斜率为4,

所以切线方程为y=4(x+l),即4x-y+4=0.

18.(12分)为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科

疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形

图，如下：

(1)根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2x2列联表：

疗法疗效合计

未治愈治愈

外科疗法

化学疗法18

合计100

(2)依据小概率值a=0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关.

附：X2=------n(ad-bcf-------(如需计算结果精确到0.001)

(a+b)(c+d))(a+c)(b+d)

X?独立性检验中常用小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

%

治煎率等高堆积条形图

口治愈

口未治愈

【解答】解：（1）由题意可得，2x2列联表如下:

疗法疗效合计

未治愈治愈

外科疗法202040

化学疗法421860

合计6238100

（2）零假设为H。：是否治愈与治疗方法无关联.

由列联表中的数据可得，X2J*⑶-18x42）：4as>3.841,

40x60x62x38

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们能推断义不成立，即认为是否治愈与治疗方法

有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

19.（12分）某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖.抽奖盒中装有3个

红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球,

若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖.小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖.

（1）求每一位抽奖者中奖的概率；

（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值.

【解答】解：（1）设事件A为“抽奖者获奖”，

则尸（A）吟

（2）由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,

37

则P(x=0)=Cf(—)°(p)3=0,343,

37

P(X=1)=C](^)'(—)2=0.44l,

37

P(X=2)=C；(二『(—)'=0.189,

31010

37

P(x=3)=C；(常(元)。=0.027,

故X的分布列为:

X0123

p0.3430.4410.1890.027

9

所以E(X)=0x0.343+lx0.441+2x0.189+3x0.027=^.

20.(12分)已知函数f(x)=©*卬2-(3a+l)x+3a+2].

(1)当。=2时，求函数“X)的极值；

(2)当时，讨论函数f(x)的单调性.

【解答】解：(1)因为函数f(x)="[ox2-(3a+i)x+3a+2],

当a=2时，f(x)=e'(2x2-lx+8),则尸(x)=2/(x-g)(x-1),

令f\x)=0,解得*=(，x=1,

当时，/'(x)>0,则f(x)单调递增，

当;<x<l时，/'(x)<0,则g(x)单调递减，

当x>l时,f\x)>0,则g(x)单调递增，

所以当x=g时，函数f(x)取得极大值/(；)=5&,

当x=l时,函数/(X)取得极小值/(1)=3e；

(2)f(x)=ex(ax-Y)(x-l),

①当a=0时，由:(x)=e*(l-x)=0,可得x=l,

当x<l时，f(x)>0,当x>l时，-(x)<0,

所以/(%)在(-00,1)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减；

②当a<0时，由/'(x)=ae*(x—L)(x—l),贝

aa

令/'(%)=。,则1=—,x=\,

a

当或X>1时，f'(x)<0,当4<X<1时，f'(x)>0,

aa

所以/(X)在(TO」)和(1,田)上单调递减，在d，1)上单调递增；

aa

③当Ocacl时，由尸(x)=ae*(x—L)(x-l),则4>1,

aa

令r(X)=。，则工=,，x=i,

a

当xvl或时，f'M>0,当1cxe,时，/z(x)<0,

aa

所以/(X)在(-00,1)和d，+00)上单调递增，在(1」)上单调递减.

aa

综上所述，当QVO时，/⑴在(-002)和(L+O0)上单调递减，在(L1)上单调递增；

aa

当a=0时，f(x)在(YO,1)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减；

当0<4<1时，/(X)在(-00,1)和(L,+8)上单调递增，在(1,3上单调递减.

aa

21.(12分)2021年新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.小明在做多选题的第

11题、第12题时通常有两种策略：

策略A：为避免有选错的得。分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选

题当作“单选题”来做.这种策略每个题耗时约3分钟.

策略8：争取将该问题得5分，选出自己认为正确的全部选项.这种策略每个题耗时约6

分钟.某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了其各种策略下11题和12题的

作答情况如下：

第11题：如果采用策略A,选对一个选项的概率为0.8,采用策略8,部分选对的概率为

0.5,全部选对的概率为0.4；第12题：如果采用策略A,选对一个选项的概率为0.7,采用

策略3,部分选对的概率为0.6,全部选对的概率为0.3.

如果这两题总用时超过10分钟，其他题目会因为时间紧张少得2分.假设小明作答两题的

结果互不影响.

(1)若小明同学此次考试中决定11题采用策略3、12题采用策略A,设此次考试他11题

和12题总得分为X,求X的分布列；

(2)小明考前设计了以下两种方案：

方案1:11题采用策略8,12题采用策略A；

方案2:11题和12题均采用策略8.

如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，根据小明的实际情况,

你赞成他的第几种方案，并说明理由.

【解答】解：(1)设事件与为''第11题得0分”，事件”为