第二章-数字图像处理课件

2.3图像数字化

一般的图象（即模拟图象）是不能直接用数字计算机来处理的。为使图象能在数字计算机内进行处理，首先必须将各类图象（如照片，图形，X光照片等等）转化为数字图象。图像数字化是将一幅画面转化成计算机能处理的形式——数字图像的过程。具体来说，就是把一幅图画分割成的一个个小区域（像元或像素），并将各小区域灰度用整数来表示，形成一幅点阵式的数字图像。它包括采样、量化和编码三个过程。像素的位置和灰度就是像素的属性。2.3图像数字化采样：将空间上连续的图像变换成离散点的操作称为采样。采样间隔和采样孔径的大小是两个很重要的参数。取样和量化后的数字信号应尽可能代表原始的连续图像信号，且能够使取样后的离散图像信号无失真地恢夏原始信号，因此采样间隔的选取就非常重要。不同形状的采样孔径2.3图像数字化-采样2.3图像数字化-采样采样方式:有缝、无缝和重迭

一般来说，采样间隔越大，所得图像像素数越少，空间分辨率低，质量差，严重时出现像素呈块状的国际棋盘效应；采样间隔越小，所得图像像素数越多，空间分辨率高，图像质量好，但数据量大。图像的采样与数字图象的质量2.3图像数字化-量化经采样图像被分割成空间上离散的像素，但其灰度是连续的，还不能用计算机进行处理。将像素灰度转换成离散的整数值的过程叫量化。表示像素明暗程度的整数称为像素的灰度级（或灰度值或灰度）。一幅数字图像中不同灰度级的个数称为灰度级数，用G表示。灰度级数就代表一幅数字图像的层次。图像数据的实际层次越多视觉效果就越好。一般来说，，g就是表示存储图像像素灰度值所需的比特位数。2.3图像数字化-量化

若一幅数字图像的量化灰度级数G=256=28级，灰度取值范围一般是0~255的整数，由于用8bit就能表示灰度图像像素的灰度值，因此常称8bit量化。从视觉效果来看，采用大于或等于6比特位量化的灰度图像，视觉上就能令人满意。一幅大小为M×N、灰度级数为G的图像所需的存储空间，即图像的数据量，大小为

M×N×g

（bit）

量化等级越多，所得图像层次越丰富，灰度分辨率高，图像质量好，但数据量大；量化等级越少，图像层次欠丰富，灰度分辨率低，会出现假轮廓现象，图像质量变差，但数据量小。但在极少数情况下对固定图像大小时，减少灰度级能改善质量，产生这种情况的最可能原因是减少灰度级一般会增加图像的对比度。例如对细节比较丰富的图像数字化。

图像的量化与数字图象的质量

数字图像根据灰度级数的差异可分为：黑白图像、灰度图像和彩色图像。黑白图像

图像的每个像素只能是黑或白，没有中间的过渡，故又称为二值图像。二值图像的像素值为0或1。例如灰度图像

灰度图像是指灰度级数大于2的图像。但它不包含彩色信息。彩色图像

彩色图像是指每个像素由R、G、B分量构成的图像，其中R、B、G是由不同的灰度级来描述。一个好的近似图像，需要多少采样分辨率和灰度级胡昂[1965]实验：实验方法选取一组细节多少不同的、不同N、M、G的图象让观察者根据他们的主观质量感觉给这些图象排序实验结论随着采样分辨率和灰度级的提高，主观质量也提高对有大量细节的图象，质量对灰度级需求相应降低像素间联系邻域

4-邻域D-邻域8-邻域连通性

4-连通8-连通m-连通距离像素间联系-邻域4-邻域定义：象素p(x,y)的4-邻域是(x+1,y)(x-1,y)(x,y+1)(x,y-1)用N4(p)表示p的4-邻域。D-邻域定义：象素p(x,y)的D-邻域是(x+1,y+1)(x+1,y-1)(x-1,y+1)(x-1,y-1)，用ND(p)表示8-邻域定义：象素p(x,y)的8-邻域是4-邻域的点加上对角上的点(x+1,y+1)(x+1,y-1)(x-1,y+1)(x-1,y-1)用N8(p)表示p的8-邻域。像素间联系-连通性两个像素连通的两个必要条件是：两个像素的位置在某种情况下是否相邻两个像素的值是否满足某种相似性

4-连通8-连通m-连通的定义

4-连通的定义：对于具有值V的像素p和q，如果q在集合N4(p)中，则称这两个像素是4连通的。像素间联系-连通性8-连通的定义：对于具有值V的象素p和q如果q在集合N8(p)中则称这两个象素是8-连通的。像素间联系-连通性m-连通的定义：对于具有值V的像素p和q，如果:I.q在集合N4(p)中，或II.q在集合ND(p)中，并且N4(p)与N4(q)的交集为空（没有值V的像素）。则称这两个像素是m连通的，即4连通和D连通的混合连通。像素间联系-通路对两个像素p和q，如果q在p的邻域中，则p和q满足邻接关系。如果p和q是邻接的并且它们的灰度值相等，则称p和q满足连接关系。通路的定义一条从具有坐标(x,y)的像素p,到具有坐标(s,t)的像素q的通路，是具有坐标(x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn)的不同像素的序列。其中，(x0,y0)=(x,y)，(xn,yn)=(s,t)，(xi,yi)和(xi-1,yi-1)是邻接的，1≤i≤n，n是路径的长度。如果(x0,y0)=(xn,yn),则该通路是闭合通路。像素间联系-通路像素间联系-像素间距离像素之间距离的定义对于像素p、q和z，分别具有坐标(x,y)，(s,t)和(u,v)，如果(1)D(p,q)≥0(D(p,q)=0，当且仅当p=q),(2)D(p,q)=D(q,p)(3)D(p,z)≤D(p,q)+D(q,z)则称D是距离函数或度量。

在数字图像中，距离有不同的度量方法：欧氏距离D4距离（城区距离）D8距离（棋盘距离）像素间联系-欧式距离像素p(x,y)和q(s,t)间的欧式距离定义如下：对于这个距离计算法，具有与(x,y)距离小于等于某个值r的像素是：包含在以(x,y)为圆心，以r为半径的圆平面。像素间联系-D4距离(城区距离)像素p(x,y)和q(s,t)间的城市距离定义如下：具有与(x,y)距离小于等于某个值r的那些像素形成一个菱形。具有D4=1的像素是(x,y)的4邻域。像素间联系-D8距离(棋盘距离)像素p(x,y)和q(s,t)间的棋盘距离定义如下：具有与(x,y)距离小于等于某个值r的那些像素形成一个正方形具有D8=1的像素是(x,y)的8邻域距离计算示例两个像素p和q之间的DE距离为5，D4距离为7，D8距离为42.5图像坐标变换对图像的坐标变换实际是对像素的坐标变换。实际中，为消除图像采集中产生的几何畸变就需要用到坐标变换。几何变换不改变图像的灰度值，只改变了像素所在的几何位置。1.位置变换：平移镜像旋转3.复合变换2.形状变换：放大缩小错切4.透视变换2.5图像坐标变换-变换的基本概念设有二维空间的一点P(x,y)，若按照某一规则，有另外一点P’(x’,y’)与之对应，则称之为变换点。1、比例变换

x’=axy’=by

其中a,b>0

以坐标原点为放缩参照点不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离

x’=-x或x’=xy’=yy’=-y

2、镜像变换3平移变换

x’=xcosθ-ysinθy’=xsinθ+ycosθ

注意；θ是逆时针旋转角度。逆时针则θ取正值，顺时针则θ取负值4旋转变换旋转变换的推导rr正向旋转其中:二维平移变换无法用普通矩阵乘法形式表示，需引入齐次坐标。用三维空间矢量来研究二维平面矢量的方法称为二维齐次坐标表示法。更一般的，用n+1维矢量来研究n维平面矢量的方法称为n维齐次坐标表示法。设一点普通坐标为P(x,y),齐次坐标为P(X,Y,H),普通坐标与齐次坐标的关系为:

x=X/Hy=Y/H二维齐次坐标

2D图像中的点坐标(x,y)通常表示成齐次坐标（Hx,Hy,H），其中H表示非零的任意实数，当H＝1时，则(x,y,1)就称为点(x,y)的规范化齐次坐标。规范化齐次坐标的前两个数是相应二维点的坐标，第三个数H＝1是附加坐标。怎样点的齐次坐标（Hx,Hy,H）求点的规范化齐次坐标(x,y,1)？

利用齐次坐标及改成3×3阶形式的变换矩阵,实现2D图像几何变换的基本过程是：将2×n阶的二维点集矩阵表示成3×n阶的齐次坐标形式,然后乘以相应的变换矩阵即可完成，即变换后的点集矩阵P=变换矩阵T

×变换前的点集矩阵P

（图像上各点的新齐次坐标）（图像上各点的原齐次坐标）二维图像几何变换的矩阵设变换矩阵T为则上述变换可以用公式表示为二维变换的矩阵表示两个连续的旋转变换是可叠加的证明留作习题。平移变换旋转变换比例变换缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点（xf，yf）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（xf，yf）点移回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。

其它变换（1/6）

对称变换关于x轴的对称变换关于y轴的对称变换

二维变换的复合(例一）现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。1）将P1点平移到原点；2）旋转；3）平移还原P1点。

(x1,y1)(x1,y1)二维变换的复合(例二）关于任意点P1比例变换一个物体。二维变换的复合（小结）假设我们想要使图中的房子以任意点P1为中心进行旋转、平移和缩放（比例）变换。这时具体步骤与上述类似：先将点P1平移到原点，待完成比例变换和旋转变换后再将房子从坐标原点平移到新的位置P2，因此记录变换的数据结构可以是包含比例变换因子、旋转角、平移量和变换顺序的数据结构，或者只是简单地记录复合变换矩阵的数据结构：

如果M1和M2分别代表一个基本的平移变换、比例变换或旋转变换，那么在什么情况下有M1·M2=M2·M1呢？或者说，何时M1和M2可交换呢？当然，一般来说矩阵乘法是不可交换的，但是，在下面的特殊情况下，是可以进行交换的：

M1M2平移变换平移变换比例变换比例变换旋转变换旋转变换比例变换(sx=sy)旋转变换因此，在这些情况下，我们不用关心矩阵乘法的顺序。T(x2,y2)·R()·S(sx,sy)·T(-x1,-y1)图像变换实例-比例缩放

图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍，在y轴方向按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。如果fx＝fy，为全比例缩放;如果fx≠fy，比例缩放将改变原始图像像素间的相对位置，产生几何畸变。比例缩放前后两点P0(x0,y0)、P(x,y)之间的关系用矩阵形式可以表示为上式的逆运算为fyfx1fyfx1xy1即比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找不到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。插值方法有两种:最邻近插值法和插值算法。前一种方法计算简单，但有马赛克现象；后者效果较好，但是运算量增加。图像比例缩小当fx=fy=1／2时当fx=fy

=1／k时，则I(x,y)=F(int(1／k×x0),int(1／k×y0))当fx≠fy(fx,fy＞0)时，会带来图像的几何畸变。当图像的放大时，需要对放大后所多出来的空格填入适当的像素值。当fx＝fy＝5时，图像被全比例放大5倍，采用最近邻域法。为了消除马赛克现象，采用线性插值法。当求出的分数地址与像素点不一致时，求出周围四个像素点的距离比，根据该比率，由四个邻域的像素灰度值进行线性插值。线性插值法示意图计算公式如下:g（x，y）=（1-q）{（1-p）×g（［x］，［y］）+p×g（［x］+1，［y］）}+q{（1-p）×g（［x］，［y］+1）+p×g（［x］+1，［y］+1）}式中：g（x，y）为坐标（x，y）处的灰度值，［x］［y］分别为不大于x，y的整数。=3/4=1/2图像平移图像变换实例-平移

利用齐次坐标，变换前后图像上的点P0(x0,y0)和P(x,y)之间的关系可以用如下的矩阵变换表示为：对变换矩阵求逆，可以得到上式的逆变换即

这样，平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。如果计算后，变换后图像所对应原图像的坐标是负值，可以直接将其像素值统一设置为0或者255。同样，若原图像像素点不在转换后的图像中，说明原图像中有的点被移出显示区域。如不想丢失被移出的部分，可以将新生成的图像宽度扩大|Δx|，高度扩大|Δy|。

平移前的图像平移扩大后的图像平移后的图像图像的镜像变换不改变图像的形状。图像的镜像(Mirror)变换分为两种：一种是水平镜像，另外一种是垂直镜像。它是以中轴线为中心进行像素的镜像对换。图像变换实例-镜像

图像的镜像变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0,y0)进行镜像后的对应点为P(x,y)，图像高度为fHeight，宽度为fWidth，原图像中P0(x0,y0)经过水平镜像后坐标将变为（fWidth-x0，y0），其矩阵表达式为逆运算矩阵表达式为即同样，P0(x0,y0)经过垂直镜像后坐标将变为(x0，fHeight-y0)，其矩阵表表达式为逆运算矩阵表达式为即fHeight水平镜像垂直镜像 一般图像的旋转是以图像的中心为原点，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转后，图像的大小一般会改变。与图像平移一样，既可以把转出显示区域的图像截去，也可以扩大图像范围以显示所有的图像。图像变换实例-旋转

旋转θ后的图像（扩大图像、转出部分被截）同样，图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0,y0)旋转θ角后的对应点为P(x,y)其逆运算为利用上式可以确定旋转后图像上的像素。例如，当θ=30°时，公式为000y0进行图像旋转时需要注意如下两点：（1）图像旋转之前，为了避免信息的丢失，一定要有坐标平移，具体的做法如图所示的两种方法。图像旋转之前进行的平移（2）图像旋转之后，会出现许多空洞点。对这些空洞点必须进行填充处理，称为插值处理。最简单的方法是行插值方法或列插值方法：①找出当前行的最小和最大的非白点的坐标，记作：(i,k1)、(i,k2)。②在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空点的像素值等于前一点的像素值。③同样的操作重复到所有行。经过如上的插值处理之后，图像效果就变得自然。在进行图像的比例缩放、图像的旋转变换时，整个变换过程由两部分组成。首先，需要完成几何变换本身，用它描述每个像素如何从其初始位置移动到终止位置；其次，进行灰度级插值。灰度级插值根据变换后像素的获取方式，分为前向映射法和后向映射法。向前映射计算法

g(x’,y’)=f(a(x,y),b(x,y));从原图象坐标计算出目标图象坐标，即将输入像素的灰度一个个地转移到输出图像中，如果一个输入像素被映射到四个输出像素之间的位置，则其灰度值就按插值法在四个输出像素之间进行分配镜像、平移变换使用这种计算方法图像变换实例-灰度级插值方案

向后映射计算法

g(a’(x,y),b’(x,y))=f(x,y);从结果图象的坐标计算原图象的坐标，即，将输出像素逐个地映射回输入图像中，若输出像素被映射到四个输入像素之间的位置，则其灰度由它们的插值来确定。旋转、拉伸、放缩可以使用解决了漏点的问题，出现了马赛克在实际中，通常采用后向映射法图像变换实例-灰度级插值方案

灰度级插值处理（像素变换）最邻近插值法双线性插值（一阶插值）高阶插值图像变换实例-灰度级插值算法

最邻近插值法就是最临近点重复双线性插值（一阶插值） 已知正方形的4个顶点，求正方形内部的点，有双线 性方程：

f(x,y)=ax+by+cxy+d

设4个顶点的坐标为：

(x0,y0),(x1,y0),(x0,y1),(x1,y1) f(x,y0)=f(x0,y0)+x[f(x1,y0)–f(x0,y0)]/(x1–x0) f(x,y1)=f(x0,y1)+x[f(x1,y1)–f(x0,y1)]/(x1–x0)……. f(x,y)=f(x,y0)+y[f(x,y1)–f(x,y0)]/(y1–y0)图像变换实例-灰度级插值算法

双线性插值（一阶插值）高阶插值双线性插值的缺陷平滑作用使图象细节退化，尤其在放大时不连续性会产生不希望的结果高阶插值的实现用三次样条插值常用卷积来实现将大大增加计算量透视投影是一种中心投影法，在日常生活中，我们观察外界的景物时，常会看到一些明显的透视现象。如：站在笔直的大街上,向远处看去,会感到街上具有相同高度的路灯柱子,显得近处高,远处矮,越远越矮。这些路灯柱子,即使它们间的距离相等,但是视觉产生的效果是近处的间隔显得大,远处的间隔显得小,越远越密。观察道路的宽度,也会感到越远越窄,最后汇聚于一点。这些现象,称之为透视现象。透视投影变换图中,AA’,BB’,CC’为一组高度和间隔都相等,排成一条直线的电线杆,从视点E去看,发现

∠AEA>∠BEB>∠CEC若在视点E与物体间设置一个透明的画面P，则在画面上看到的各电线杆的投影aa'>bb'>cc'aa'即EA,EA'与画面P的交点的连线;bb'即为EB,EB'与画面P的交点的连线。cc'

即为EC,EC'与画面P的交点的连线。∴近大远小产生透视的原因，可用下图来说明：1、一点透视投影变换矩阵（1）设z轴上有一观察点（即视点）V(0,0,h)从V点出发将空间任意一点P(x,y,z)投影到XOY平面上得到P'(x',y',0)由相似三角形可知：

令:变换矩阵为齐次坐标变换

它可以看作是先作变换

再作变换

的合成。视向变换矩阵

把世界坐标系中的点P(x,y,z)转换为观察坐标系中的点P*(x*,y*,z*)的过程称为“视向变换”。视向变换也是一种坐标变换，可以用矩阵的形式表示为：

式中的V称为视向变换矩阵。因为视向变换是不能靠一次单一的简单变换就可以实现的，所以视向变换矩阵V是一个包括平移和旋转的多次变换的级联。

视向变换矩阵V的推导过程如下：

①因为观察坐标系的原点设置在观察点，所以一旦选定了观察点，观察坐标系的原点也就确定了。这一步把坐标系原点变到观察点位置的变换，是通过把坐标系原点从世界坐标系的原点平移到观察点E(x,y,z）来完成的。

ZWXWYWOXZYEZWXWYWOEXZY图5.30坐标平移（左）和绕x轴旋转(右)

②第二步是将经过平移后的坐标系绕x轴逆时针旋转90°，改变y轴和z轴的指向，使得y轴垂直向上，z轴垂直指向xw–o–zw坐标平面，如图5.30（右）所示的那样，该旋转变换矩阵为：

③第三步是将经过上两次变换后的坐标系绕y轴顺时针旋转一个值