2022-2023学年湖南省益阳市六校高二年级上册学期期末联考数学试题含答案

益阳市2022-2023学年六校期末联考

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

（选择性必修1+选择性必修2数列部分）

一、选择题（共40分）

1,已知向量-2）3=（-3,-6,6）,c=（2,1,2）,则它们的位置关系是（）

K.a//b,a//cB.alb,ale

C.alb,b//CD,d/〃,hie

【答案】D

【解析】

【分析】由向量坐标运算即可判断共线和垂直.

【详解】由题可知：b=-3a得a/瓦a-c=2+2-4=0=>alc

A-c=—6—6+12=0=>A_Lc

故选：D.

2.在三棱锥尸一46c中，CP、C4、两两垂直，AC=CB=1,PC=2,如图，

建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面48的法向量的是（）

A.%B.g）

c（I"）D"I）

【答案】A

【解析】

［万万=0

【分析】设平面48的一个法向量为〃=（"1）,利用I万/8=0,求出X、，的值,

可得出向量〃的坐标，然后选出与〃共线的向量坐标即可.

【详解】''PA）,（设平面尸48的一个法向量为“=（"/」），

nPA=0卜-2=0卜=2

由艮/8=0则j-x+y=0,解得jy=2,，〃=（2,2,1）

又I2）2,因此，平面尸Z8的一个法向量为I2人

故选：A.

【点睛】本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能

力，属于基础题.

3.已知等比数列｛""｝的公比为夕，前〃项和为S",若q=2,$2=6,则&=（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】D

【解析】

【分析】由等比数列的基本量运算求得%后求得％,从而易得s.3.

【详解】由题意S2=%+2q=6,q=2,

所以“3=2x22=8S3=52+03=6+8=14

故选：D.

4.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，

并擦去中间一段，得图（2）,如此继续下去，得图（3）…，设第〃个图形的边长为％,

则数列｛%｝的通项公式为

(1)

11

A,3tD.F

【答案】D

【解析】

【分析】观察得到从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以1为首项，以§为公比

的等比数列，根据等比数列的通项写出“”即可.

【详解】由题得，从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以I为首项，以弓为公比

的等比数列，所以第〃个图形的边长为/=.

故选：D.

5.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条

直线称为欧拉线已知^8。的顶点“(2'°)''(°'9,若其欧拉线的方程为*7+2=0,

则顶点C的坐标为

A.(-4，。)B.(-3，-1)«，。)D.

(-4,-2)

【答案】A

【解析】

【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的

垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一

方程，两方程联立求得点C的坐标

(2+m4+叫

【详解】设C(m,n),由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为(3’3代入欧拉

2+加4+〃

--------------------1-2=0

线方程得：33整理得：m・n+4=0①

AB的中点为(1,2),'0-2AB的中垂线方程为2,

x-2y+3=0[x=-1

<V

即x-2y+3=0.联立〔％一歹+2=0解得U=1

...△ABC的外心为(-1,1).

则(m+lM+(n-l)2=32+12=]0,整理得：m2+n2+2m-2n=8②

联立①②得：m=-4,n=0或m=0,n=4.

当m=0,n=4时B,C重合，舍去....顶点C的坐标是(-4,0).故选A

【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据己知条件，选择

适当的直线方程形式，直接求出直线方程.②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已

知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标

等.

6.已知定点3(3,0),点A在圆(x+l)2+,=4上运动，则线段的中点初的轨迹方程

是()

22

A(x+l)+/=lB(x-2)+/=4

22

c(x-l)+/=lD(x+2)+/=4

【答案】C

【解析】

【分析】设M(x'y)再表达出A的坐标代入圆方程(X++V=4化简即可

(X+3yA\XA=2X-3

【详解】设MM"则"g")满足〔2，2J故L=2y,故

A(2x-3,2y)

又点A在圆。++y2=4上,故(2*-3+1)2+(2y)2=4=>(x-1)2+y2=1

故选:C

【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.

0_白=1(°〉0/>0)FF

7.已知双曲线C：a夕，巧，/分别是双曲线的左、右焦点，M是

双曲线右支上一点连接“与交双曲线C左支于点N,若AMN玛是以修为直角顶点的等

腰直角三角形，则双曲线的离心率为()

A.五B.百C.2D.亚

【答案】B

【解析】

【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理可以建立关于。，°的齐次方程，即可求出离心

率

【详解】设I"用则|陷|=",MN卜耳"烟="-2a,

\MF\=m-2a+41m因为环卜|"同=2一所以=2。，故加=2及。，

在△八阴6中，由余弦定理可知

4c2=(2y/2a-2a^+8/-2G缶-2a)2"?［一也

I2整理得41=12/,即

f=3,所以e="

故选：B

8.已知£,F2分别为双曲线C：26的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右

支交于A,B两点(其中点A在第一象限).设点H,G分别为△AFF2，△BFF2的内心，则

|HG|的取值范围是

r2蛔

A.12啦,4)B.I'3J

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面几何和内心的性质，可知"，G的横坐标都是。，得到〃G_Lx轴，设直

线AB的倾斜角为夕，和Rt\GMF2分别表示HM和GM,根据

。«60。,901，将l〃G|表示为e的三角函数求最值

【详解】刈6月内切圆与各边相切于点尸，，

有"，M的横坐标相等，I\I।।।I2I

\AF\-\AF^=2a=>\MF\-\MF^=2a

在双曲线上，即M是双曲线的顶点；

•••"G与双曲线相切于顶点（如图）

，"，G的横坐标都是明

/OF.G=-/HF,O=—~-

设直线的倾斜角为e，那么2,22

(.ee\

/□/zj\"|sin_cos—

阙=(c-a)tan—+tan|-------|=(c-a)7-————

4212Icosfsinf

MRG中，I22J

sin2—+cos2-

=d2。J=(c-a\-

lsing

sin—cos—

22

C:二一片=1

a==屈,c=2^2

双曲线26,f

\HG\=^-

可得sin6,60<0<90°

2,

-)

⑷的范围是［,

故选D.

【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函

数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，

本题的关键1.根据几何性质确定"，G的横坐标都是°,2.设倾斜角为°,将表示为

8的三角函数.

二、多选题(共20分)

9.已知点尸是平行四边形N8C。所在的平面外一点，如果

^5^(2,-1,-4),JZ)=(4,2,0),=(-1,2,-1)；下列结论正确的有()

A.API^45B.AD

C.1声是平面ABCD的一个法向量D.AP//BD

【答案】ABC

【解析】

【分析】由=可判定A正确：由=可判定B正确；由

万J.万且万_LN万，可判定C正确；由N是平面/8CZ)的一个法向量，得到

AP-LBD,可判定D不正确.

【详解】由题意，向量45=(2,-I),4。=(4,2,0),在=(-1,2,-1),

对于A中，由"P/8=2x(_l)+(_l)x2+(~4)x(—l)=0,可得刀，而，所以人正确;

对于B中，由W=(T)X4+2X2+(-l)x°=°,所以万J.赤，所以B正确；

对于C中，由万,方且万万，可得向量方是平面为88的一个法向量，所以

C正确；

对于D中，由万是平面28CQ的一个法向量，可得而，所以D不正确.

故选：ABC

10,数列｛%｝的前〃项和为S.，%j%=2S"（〃eN）,则有（）

A.S“=3”TB.｛S“｝为等比数列

\,n-\

%0q4-2“〉’

C.a“=2-3"TD.I），

【答案】ABD

【解析】

］耳,〃=1

a=<

【分析】根据”〔邑一凡一|,〃"2求得勾,进而求得S.以及判断出｛S“｝是等比数列

【详解】依题意a'=1'%=2s.（〃eN）,

当〃=］时，%=2q=2,

当〃22时，an~2sl,

%+「%=2S〃-2sz=2%,所以=3。〃，

所以％=①3〃一2:2・3〃一2(〃22),

1,72=1

所以知=卜3“一2,〃22.

S=a“+i=3"T〃_］

当〃22时，"2；当〃=1时，E=q=l符合上式，所以S"=3'”.

S”+i=3

%,所以数列｛'J是首项为1,公比为3的等比数列.

所以ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD

夜）y=

11.已知双曲线C过点6I'4且渐近线方程为3,则下列结论正确的是（）

X22_1

------V=1r-

A.C的方程为3B.C的离心率为J3

C,曲线y=e'"-l经过C的一个焦点D,直线x-W-l=°与C有两个

公共点

【答案】AC

【解析】

+百

y=±—x

【分析】由双曲线的渐近线为3,设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双

曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断3,C,联立方程组判断。.

2

_,V3x2_

y=i.—x----y=/L

【详解】解：由双曲线的渐近线方程为3,可设双曲线方程为3',

把点（3,应）代入，得弓2-々即2=1.

2

X2

二双曲线C的方程为3'=1

,故A正确;

222

由《?=3,Z>=11得c=yla+b=2,

2_273

・・•双曲线C的离心率为63,故8错误；

取x—2=0,得x=2,V=°,曲线歹=e“I过定点(2,0),故C正确:

x-五y-1=0

《2=]

.3,化简得一J，+2&/_2=(),△=0

联立

所以直线X一岛一1=°与C只有一个公共点，故。不正确.

故选：4c.

12.定义点尸GJ。）到直线/："+如+c=°W+b"°）的有向距离为

d_ax（）+byn+c

.已知点片‘鸟到直线/的有向距离分别是4'〃2.以下命题不正确的是（）

A若4=4=1,则直线66与直线/平行

B,若4=1,4=T,则直线与直线/垂直

c.若4+&=°,则直线々鸟与直线/垂直

D.若"「"2"°,则直线＜2与直线/相交

【答案】BCD

【解析】

【分析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表

点到直线的距离，根据各选项判断即可

【详解】设鸟（32）,

选项A,若4=a=1,则6|+6弘+。=公2+勿2+c="^,则点斗鸟在直线的

同一侧，且到直线距离相等，所以直线片巴与直线/平行，所以正确；

选项B,点4,鸟在直线/的两侧且到直线/的距离相等，直线4巴不一定与/垂直，所以错

误；

选项C,若4="2=°,满足4+”2=0,即g+如+C=+奶+C=0,

则点4’8都在直线/上，所以此时直线片鸟与直线/重合，所以错误；

选项D,若444o,即(叼+如+C)32+奶+c)〈o,

所以点分别位于直线/的两侧或在直线/上，

所以直线66与直线/相交或重合，所以错误.

故选：BCD

三、填空题(共20分)

13.如下图，以长方体一44GA的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直

线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若。片的坐标为(4,32),则8"的坐标为

【答案】(-4,-3,2)

【解析】

【分析】根据题意推导出D,Bi的坐标，从而得出°”8的坐标，进而得出结论

【详解】因为的坐标为(4,32),0(0,0,0),则4(4,3,2),

所以8(4,3,0),。(0,0,2),

因此西=1，一3,2),

故答案为il-4,-3,2)

【点睛】本题考查空间中向量的求法，属于基础题.

14.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为

［答案］x2+y2~^x

【解析】

【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.

详解：设圆的方程为―+夕2+m+£>+尸=°,圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),

则：

F=0伊=-2

<1+1+。+E+尸=0<E=0

4+0+2。+b=。忿〃砥F=0则圆的方程为d+/_2x=0.

〔，解得：I

点睛：求圆的方程，主要有两种方法:

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过切点且

与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共

线.

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关

量.一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都

要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.

15.已知等差数列｛""｝中，％=4,4=16,若在数列｛%｝每相邻两项之间插入三个数,

使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为_.

【答案】31

【解析】

【分析】先计算出等差数列｛""｝的公差，进而得到新的等差数列｛4｝的公差，从而求出

｛4｝的通项公式，求出新数列的第41项.

【详解】设等差数列｛明｝的公差为〃，则6-24,

£_3

在数列｛""｝每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列｛4｝的公差为Z4,

b=1+—(M—1)=—«+—

故新数列的首项为4-3=1,故通项公式为444,

故答案为：31

16.设抛物线/=4y，点尸是抛物线的焦点，点”(0，")在y轴正半轴上(异于尸点),

动点N在抛物线上，若NFM0是锐角，则加的范围为

(O,l)U(l,9)

【答案】

【解析】

【分析】

N«/4/2)8f4+(6-2加)厂H—>0

设I')，由NFMW是锐角得到2对任意恒成立.令

x=〃N°，则2对任意恨)恒成立，再通过分类讨

论求出m的取值范围.

【详解】设"(*"),可知/。/)，加〉0且mwl,

所以标=(-4/1_4/)而7=(—

因为ZFNN是锐角，所以沛.两>0,

即16*+(1-4rx加-4/)>0

整理得16—+(12-4加)»+加>o,

42

8/+(6-2/?J)Z+—>0

等价于2对任意teR恒成立;

2八/(x)=8x?+(6-2加)x+竺>0_r,„x

令x"zo,则八'I)2对任意vXH0n，+8)恒成立;

_3-/27

因为/(x)的对称轴为8,故分类讨论如下:

-^<0

(1)8，即0<〃/3时,

/(x)min=/(0)=£〉。

所以0<加43；

(2)8,即〃？〉3时，

A=(6-2机丫—4x8x—<0

应有2,

得3<<9；

综上所述：“G(°」)U(1,9)

【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生

对这些知识的理解掌握水平.

四、解答题（共70分）

17.如图，在三棱柱NBC-481G中，/4J•底面/8C,

NC45=90°,AB=AC=2,AA1=6,M为8C的中点，尸为侧棱台片上的动点.

（1）求证：平面4PM，平面88CC；

（2）试判断直线8G与N尸是否能够垂直.若能垂直，求P8的长；若不能垂直，请说明

理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）不能垂直，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用“"'Be,'""£84推出/河工平面88℃,即可证明面面垂直;

（2）建系,写出&G，/的坐标，设8尸=@，，石）,利用直线'G与4P能垂直,

,4百，4百DD

数量积为零，求出3,3,不能垂直.

【小问1详解】

因为在三棱柱中，底面/8C,NCAB=90、AB=AC=2,

AA'<,M为6C的中点，P为侧棱84上的动点.

所以/A/_L8C,AM工BB],

因为BOA85]=B,BC,BB、u平面BB£C

所以/平面58CC,

因为4Wu平面ZPM,

所以平面APM±平面BB£C

【小问2详解】

以A为原点，为x轴，Z8为歹轴，44为z轴，建立空间直角坐标系,

5(0,20)£6,0,G)4(0,00)

,L5P=/(0</<V3)

则P(0,2,t),属=(2,-2,6)"=(0,2,t)

若直线8G与力尸能垂直，贝IJBG./P=O_4+G/=O

,4百

I=------

解得3,

t=>陷=百

因为

所以直线8G与/尸不能垂直.

18.设数列｛""｝满足％=2,%=%+3•2-"'(neN+)

(1)求附和%的值.

(2)求数列｛4｝的通项公式.

(3)令"，=〃％,求数列也，｝的前〃项和5,

2"、e_(3〃-1)x2叫2

【答案】⑴%=8,%=32；⑵?=2"(〃eN)⑶"-9

【解析】

【分析】(1)根据递推公式，逐项计算，即可求解；

(2)由%+i=%+3。2"I,结合叠加法，利用等比数列的求和公式，即可求解；

(3)根据可广明广〃*??”，结合乘公比错位相减求和，即可求解.

［详解］⑴当〃=1时，％+3。21=8,当〃=2时，%=%+3,2'=32,

所以。2=8,%=32

⑵由数列｛""｝满足％=2,a“+i=%+3"'[

可得见一卬=3-2]々3-42=3x23,4一%=3*2]…，％_%_]=3x227,

3X2.(1-4"T)

2

相加可得/一%=3x2i+3x23+3x25+…+3x227=^=2"-'-2

所以=22n-'-2+ai=22'"'-2+2=22n-'

所以数列S"｝的通项公式为a"=2"'(〃eM)

(3)由4=〃a“=〃x22"T,

=lx2l+2x23+3x25+---+(/7-l)x22n-3+/7x22fl-1

则4S“=1x23+2x25+3x2,+…+(〃-1)x221+〃X22"T

22n+,

两式相减，可得-3S,,=21+2,++2,+…+2"-'-«x21

2x0-4”)22,,+12

=—-----nx22,,+|=--------nx22n+l

1-433

。(3»-l)x22fl+l+2

0=--------------

所以"9

19.已知各项都为正数的等比数列｛%｝的前“项和为S",数列｛”｝的通项公式

n,n为!！,（­*）

h„=<

n+1,〃为向数，若邑=々+1,仇是的和久的等比中项.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）求数列｛4,'"｝的前〃项和北.

〃wN*)

【分析】（1）运用等比数列的通项公式及性质，由S3=%+aM+q/=4+l,

师=什结合题设条件，即可求解；

（2）借助题设运用分类整合思想及错位相减法求解.

【小问1详解】

b_〃，〃为偶数

••,数列也｝的通项公式"+为奇数，

=6也=4

,,,b5,

设各项都为正数的等比数列｛4｝的公比为q,则夕>°,

..a=々+1=7,+=7,①

•.也是。2和包的等比中项，...d=。2。4="2=16,解得%=4闻2=4,②

__2

由①②得时―也一4=0,解得夕=2或93(舍去)，

.旧=1,%=2"二

【小问2详解】

人[〃2工〃为偶数/、C

[(〃+1)2"<〃为奇数1)

当"为偶数时，

7；=(l+l)x2°+2x21(3+1)x22+4X23+(5+1)x24+…1)+1]X2"2+〃X2"

=(2°+2x2'+3X22+4X23+•••+«x2,,_|)+(2°+22+---+2n-2)

设〃“=2°+2x2i+3x22+4x23+...+〃x2"T③

贝ij2〃“=2+2x22+3x23+4x2,+…+〃x2"④

1_

-H=2°+2'+22+23+---+2"-1-nx2"—MX2"=2H-1

③减④，得n1-2V7

n

„za,1=(〃_1)义2"+]+匕竺/〃_斗2“+2

,““=(〃-l)x2"+l,')1-4I3)3

当〃为奇数，且〃N3时，

T„=%+(〃+1)x2"T=(〃-1)x2'T+1+(〃+1)X2"T=0〃-[Jx2--'+1

经检验，i=4曲=2符合上式，

j〃―[x2"+匕〃为偶数

I3J3z

T"=\(2y23)

(2〃-]卜2"-1+§,〃为奇数

20.已知直线/：kx-y+1+2*=0(无GR).

(1)证明：直线/过定点；

(2)若直线/不经过第四象限，求〃的取值范围：

(3)若直线/交x轴负半轴于点4交y轴正半轴于点8,。为坐标原点，设△NOB的面

积为S,求S的最小值及此时直线/的方程.

【答案】(1)证明见解析；(2)1°，+8)；(3)S的最小值为4,直线/的方程为

x—2y-\-4=0.

【解析】

【分析】(1)直线方程化为y=A(x+2)+1,可以得出直线/总过定点；

(2)考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；

(3)利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号

成立条件即可求出直线方程.

【详解】(1)证明：

直线/的方程可化为了=无(x+2)+1,故无论上取何值，直线/总过定点(一2,1).

(2)直线/的方程为夕=h+2%+1,则直线/在y轴上的截距为”+1,要使直线/不经过

<

第四象限，则U+2后N0解得后o,故人的取值范围是[°，+8).

1+2左

(3)依题意，直线/在X轴上的截距为k，在了轴上的截距为1+2%,

.•.八/展K。)8(0,1+2A).

1+2左八

------<0

又k且1+2人>0,

:.k>0.

,,J+2kJ4左+,+4]2.^4A：x—

故S=5|O/|Q2|=5Xkx(1+2A)kJ>2x(4+,")=4,

1

—j_

当且仅当4%=%,即k=5时，取等号.

故S的最小值为4,此时直线I的方程为x-2y+4=o.

21.已知圆C过点〃@一2),N(31),且圆心c在直线彳+2丁+1=°上.

(1)求圆C的标准方程.

(2)设直线6一歹+1=°与圆C交于不同的两点Z,B,是否存在实数°,使得过点

尸（2,0）的直线/垂直平分弦/8?若存在，求出实数°的值；若不存在,请说明理由.

【答案】（1）（x—3）一+&+2）-=9

（2）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）设圆的方程/+V+OX+或+尸=。，由题意列出方程组，解方程组求得答

案；

（2）假设存在符合条件的实数°,可判断圆心。（3，-2）必在直线/上，结合直线/垂直平

分弦4B,求得再利用直线以一^+1=°交圆C于4B两点,结合判别式求得a的范

围，即可得出结论.

【小问1详解】

设圆c的方程为一+必+“+⑶+/=°,

---£+1=0

2

4-2E+F=0p=-6

IO+3D+E+F=O怕=4

则有I,解得I,

所以圆C的方程为/+/-6x+4y+4=0,

化为标准方程，得（X一3）~+&+2）"=9.

【小问2详解】

假设存在符合条件的实数a,由于直线/垂直平分弦

kp=2__2

故圆心。（3,一2）必在直线/上，所以直线/的斜率K2-3,

,__11

kAB=a=~T~a=-

又勺c,所以2.

将ax-