2022-2023学年苏教版必修第一册不等式的基本性质复习讲义

专题3.1不等式的基本性质

一、考情分析

二、考点梳理

知识点1一元一次不等式的解法

一元一次不等式ax>b的解的情况：

b

(1)当a>0时，x>—；

(2)当a<0时，x<—；

a

(3)当a=0时，i)若bSO,则取所有实数；ii)若b>0,则无解。

知识点2分式方程、分式不等式的解法

1、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母.②特殊解法：换元法.

(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根.因此，验根

是解分式方程必不可少的步骤,一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零,

使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法.

2、分式不等式的解法：

分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将

分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式,

进行求解.

3、可化为一元二次方程的分式方程

1.去分母化分式方程为一元二次方程；2.用换元法化分式方程为一元二次方程

简单分式不等式的解法

I)标准化：移项通分化为19〉0(或［9<0):△义20(或丛240)的形式,

g(x)g(x)g(K)g(x)

2)转化为整式不等式(组)/(*)>0o/(x)g(x)>0:/(x)N0O7(-V)g(-v)>0

g(x)g(x)声。”0

知识点3二次函数、一元二次方程与一元二次不等式

二次函数一元二次方程一元二次不等式

ax2+hx+c=Qix2>0ax2++cv0

般y=ax2+bx+cA=/?2-4ac

式••••(a>0)f(a〉0)i(a>0)

••••(a>0)

u

XjV%2或

X=X],X=X2

A>0x,<x<x2

-(X|<X)X,>x

122

u.

图

像b

与A=0无解

解2a

X

01Xo

V，

A<0无解R无解

X

0

.,-b-ylb2-4ac-b+y/b2-4ac

表中吊=------1----------，/=---------------

2a2a

_fa>0

2、ar+。彳+。>0(。/0)恒成立。〈，

△=/-4ac<0

,fa<0

+人x+c<0(a#0)恒成立o<°

A=〃-4ac<0

知识点4绝对值不等式

1、a>0时，

①Ix|<aox?<a?o-a<x<a；②|x“ox?>/ox<-a或x>a

2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号.

对于形如|/(X)|>g(x)和|/(x)|<g(x)的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得

"(X)|>g(x)of(x)>g(x)或f(x)<g(x);If{x)|<g(x)o-g(x)<f(x)<g(x).

三'题型突破

重难点题型突破1等式与不等式的性质

例I.(1)、(2021•江苏•南京师大附中高一月考)若a,b,c,d均为实数，则下列不等关系

中一定成立的是()

A.若a>b,c<d,则a+c>Z?+dB.若a>b,c>d,则

C.若be-ad>0,Jg>0,贝lJab<0D.若a>b>0,c>d>0,则后>

【答案】D

【分析】

举特例说明并判断选项A,B,利用不等式性质推理判断选项C,D即可作答.

【详解】

对于A,如3>2,-3<0,显然3+(-3)<2+0,A不正确；

对于B,如3>2,-4>-5,显然3x(-4)<2x(—5),B不正确:

对于C,因6c—“”>0,而土―£=>0,贝心心>0,C不正确：

abab

对于D,因c>">0,则］>(>0，又匕>0，于是得^〉：〉。，所以。正

确.

故选：D

（2）、（2020•吉化第一高级中学校高二期末（理））已知。>人>（）,那么下列不等式中成立

的是（）

,72211

A.-a>-bB.a+mvb+mC.cr>bD.—>—

ab

【答案】C

【解析】由不等式的性质可知，若匕〉0，则：一a<-b,a+m>b+m,a2>b2

一<一.故选：C.

ab

（3）、（2020•江苏•南京一中高三月考）（多选题）若o,b,cwR,则下列说法正确的是（）

A.若ab>0,贝!|巴+2A2B.若贝U4c2>机工

ba

C.若网，则a?〉/D.若则

ba

【答案】AC

【分析】

利用不等式的性质以及基本不等式逐一判断即可.

【详解】

对于A,若必>0,则a,b同正、同负

所以：+2N2、W=2,故A正确；

bayZ?a

对于B,若a>b,当《2=0时，则〃<?=历2,故B不正确；

对于C若。>网>0,则〃2>凡故C正确;

对于D,若。>0>匕，则，<，,故D不正确.

ba

故选；AC

【变式训练1-1】.（2020•宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，

正确的是（）

A.若;a>b,c>d,则a+c>b+dB.若a>6,贝!|a+c<Z?+c

ab

C.若a>b,c>d,则ac>〃D.若a>b,c>d,则一>一

cd

【答案】A

【解析】若a>b,则a+c>Z?+c,故B错，

设2=3加=13=一1,（1=一2,则。。<4人色<2所以c、D错，故选A

ca

【变式训练1-2】.（2021•丽水外国语实验学校高一月考）（多选题）已知。>〃，则下列不等式

不正确的是（）

°°11°,cib

A.a~>h~B.—>—C.ac~>hc~D.-y>—

abeC

【答案】ABC

【分析】

根据不等式的性质和特殊值逐项判断即可.

【详解】

对于A选项，取。=0,6=一1可得A错；

对于B选项，取a=2,b=l可得，<：,B错；

ab

对于C选项,取C=0可知或、2=秘2,C错；

对于D选项，由题意可知CW0,贝叱>0,因为所以，4>4»D对.

CC-

故选：ABC.

【变式训练1-3】、（2021•广东•高三月考）（多选题）下列不等关系正确的有（）

A.若x>y,则Y>y2B.若x>y,则正>盼

C.若x>y,则V>y3D.若a>b,c>d,贝ljac>仇/

【答案】BC

【分析】

AD选项可通过举反例判断其错误，BC选项可通过不等式性质判断.

【详解】

A.若x=l,y=-2,满足大>几但是/<丁，则A错误；

B.由不等式基本性质6可知B正确：

C.由不等式基本性质7可知C正确：

D.若a=2,b=—2,c=—l9d=—2,则。。=—2,bd=4,

ac>bd不成立，D不正确.

故选：BC.

例2、（1）（2020•江苏•扬中市第二高级中学高一期中）已知-l〈x+yW4,2Wx-6y<3,则

Z=3x-4y的取值范围是.

【答案】[0,11];

【分析】

将所求式子变形为2（x+），）+（x-6y）,结合不等式的基本性质即可求出的取值范围.

【详解】

解：z=3x-4y=2（x+y）+（x-6y）,因为-14x+y44,24x-6y43,

所以-242（x+y）48,所以042（x+y）+（x-6y）411,

故答案为：[0,11]

（2）、（2021•广东•深圳实验学校高一月考）若a,夕满足<a<],<尸<],贝IJ2a-6

的取值范围是（）

A.-7i<2cr-/?<0B.-Tt<2a-P<TI

c.--<2a-y?<yD,0<2a—〃<兀

【答案】C

【分析】

根据a，夕的范围求出2a,一夕的范围，两个不等式相加即可求解.

【详解】

7T7T

因为-：7<。<彳，所以-兀<2。<兀，

22

因为所以一

所以一夸<2a-4<，，

故选：C.

（3）、（2021•河南•周口恒大中学高一月考）已知实数x,y满足-14x+yW3,4V2x-y49,

则（）

123

A.l<x<3B.-2<y<lC.2<4x+y<15D.-<x-y<—

33

【答案】C

【分析】

-6<—2x—2y<2

将已知等式两式相加判断A：由题意可得解不等式组判断B；由

4<2x-y<9

I2

4x+y=2(x+y)+(2x-y)结合已知判断C；由x-y=-3(x+y)+§(2x-y)结合已知判断D.

【详解】

-l<x+j<3,4<2x-y<9,

两式相加,得343x412,即1女44,故A错误；

^-6<-2x-2y<2

*[4<2x-^<9

112

-2<-3^<ll,解得-故B错误；

­.-4x+y=2(x+y)+(2x-y),又-242(x+y)46,

2<4x+y<15,故C正确；

i2]।82

A：-y=--(x+y)+-(2x-y),又一14一1(x+y)(1且-<-(2x-y)<6

ODJJJJf

519

■■~^x-y<—,故D铅法.

故选：C.

【变式训练2-l】、(2021•河北•石家庄市第三十八中学高一月考)(多选题)已知-2<a+b<4,

2<2a-b<8,则下列不等式正确的是()

A.0<a<4B.0<b<2

C.-6<a+2b<6D.0<a+2Z?<8

【答案】AC

【分析】

将一2<a+6<4,2<2a—6<8两个不等式相力口即可得到0<“<4,即A正确;将2<2a—b<8

两边同乘以-1,再与-2<a+b<4两边乘以2的结果相加即可得到T<A<2,故B不正确；

将T<6<2两边同时乘以2,与0<。<4相加，即可判断C、D的正误.

【详解】

•.•-2<a+b<4,2<2a—b<8:.-2+2<a+b+2a-b<4+8.,.0<3a<12.,.0<a<4,故A正

确；

f—8<b—2a<—2

•,•2<2a—b<8.'.-8<b-2a<-2•.•—2<a+b<4,-4<2a+2/?<8]，一〜c

[T<2a+2/?<8

，一12<36<6,.,.-4<6<2,故B不正确；

tz+2b=m(a+b)+n(2a-b),\)]\\a-\-2b-^m+2n)a+^m-n)b

5

fn=—

1=772+2/7451

；二a+2b=-(a+。)——(2a-,

2=m—n

n=--

3

IQ520218

,.•-2<a+〃v4「・一--<-(«+/?)<—v2<-Z?<8-(2a-/?)<-

Qi25i

—-<——(2.(1—b)<———6<a+2b——(^a+Z?)—§(2a—6)<6故C」上确、D错误;

故选：AC

【变式训练2-2】、(2020•江苏省太湖高级中学高一期中)已知2<a+b<^,

则4a-2A的取值范围是.

【答案】5<4a-2Z?<10

【分析】

把44一2人用。—力和。+匕表示，然后由不等式的性质得出结论.

【详解】

m+n=4n=1

令4a—2/?=加(4-/?)+”(“+〃)=(，”+〃)〃+(〃一〃?)/?,则c，解得

n-m=-2〃？=3

1<a—b<2,2<a+b<4,

5<3(a-b)+(a+b)<\0.

故答案为：5<4a-2&<10.

【点睛】

本题考查不等式的性质，解题关键是设4a-2b=%(a-6)+〃(a+8),求出也〃，即用。4和

a+b表示出4“一处,然后由不等式的性质求解,切忌先求出“的范围及b的范围，然后由。力

的范围求得而-4的范围.

【变式训练2-3】、(2020・江苏・高一课时练习)己知-1<。+6<3,且2<。-〃<4,那么20+36

的取值范围是,

913

【答案】2'T

【分析】

采用同向可加性，需把。+仇。-人当做一个整体，采用待定系数法，利用同向可加性进行求

解

【详解】

_5

N=2…*-2

设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),贝,解得〈..因为-l<a+b<3,2<a-b<4,

"7=3__l

广v2

所以-5<](a+b)<3，

所以(a+b)-^-(a-b)<-y,

913

W--<2a+3b<y

【点睛】

此题容易产生错解，把。+加。-0整体加减，表示出。，b的取值范围，再通过同向可加性

进行求解，错误原因在于无形中放大了取值范围，解题时要尤为注意

重难点题型突破2其他不等式的综合情况

例3.(1)、(2021・靖西市第二中学高一期中)不等式炉-10》+25<0的解集为

【答案】空集

【分析】

利用一元二次不等式的解法求解.

【详解】

不等式炉-10尤+25<0可化为：(x-5><0,无解，

所以不等式的解集为空集，

故答案为：空第

(2)、(2020•桂林市临桂区五通中学高二期中)不等式『一苫-620的解集是____________

1-X

【答案】(F-2]51,3].

【分析】

由七”则:二或:二h°'解不等式组即可得解•

【详解】

解：由.-6对,

1-x

f-620卜2…64。

则

l-x>0"[l-x<0

解得xW-2或I<x43,

所以不等式三二的解集是（―,—2]51,3].

1-X

故答案为：（YO,-2]U（1,3].

（3）、（2020♦长春市第二十九中学高二期中（文））不等式|x+2|45的解集是（）

A.1x|x<21B.^x|-7<%<3jC.|x|-3<x<71D.|x|-5<%<91

【答案】B

【解析】因为|x+2|W5,5Vx+2K5,解得—7WxW3,

故选：B.

【变式训练3-1】.（2020•四川省高一期末）不等式Ww3x的解集为（）

A.[0,3]B.（-00,3]C.（0,3）D.（7,3）

【答案】A

【解析】由题意，不等式—w3x，可化为X2—3X=X（X—3）V0,m0<x<3,

即不等式Vv3x的解集为[0,3].故选：A.

【变式训练3-2】.（2020•黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于X的不等式

|x—3|+|x—4|<a的解集不是空集，则参数。的取值范围是（）

A.（1,+cc）B.[1,+co）C.（-co/）