2022-2023学年四年级思维训练几何鸟头模型（A级）含答案

2022-2023学年四年级思维训练.几何.鸟头模型（A级）

鸟头模型和长方形里的三角形模型

鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如图在△NBC中，2E分别是48,/C上的点如图⑴（或。在比1的延长线上，E在ZC上）,

则S4ABe:SAADE=QBxAC）:（ADxAE）

【例1】如图在△/8C中，D,E分别是上的点，且/。：/8=2:5,AE:AC=4:1,5。理=16平

方厘米，求△Z3C的面积.

E

BC

【巩固】如图，三角形N8C中，是4。的5倍，4C是4E的3倍，如果三角形NOE的面积等于1,

那么三角形N8C的面积是多少？

［例2］如下图，在AABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC,求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？

【巩固】如下图，Z^ABC中，AD：DB=2：1,BE：EC=3：1,CF：FA=4：1,那么ADEF是AABC的面积的几

分之几？

【例3】如图在△"BC中，。在8/的延长线上，E在/C上，且"8:4)=5:2,

AE:EC=3:2,平方厘米，求△/BC的面积.

【巩固】如图，三角形"8C的面积为3平方厘米，其中N8:8E=2:5,BC:CD=3:2,三角形也必的面

积是多少？

D

【例4】图中三角形N8C的面积是180平方厘米，。是8c的中点，4。的长是/E长的3倍，防的长

是BF长的3倍.那么三角形4E尸的面积是多少平方厘米？

【巩固】如图，三角形"8C中，DC=2BD,CE=3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形旗。

的面积是多少？

【例5】已知aOE尸的面积为7平方厘米，8E=CE，/D=28O,b=3ZF,求△/8C的面积.

【巩固】已知△♦SC的面积为24平方厘米，BE=CE,4D=2BD,CF=3AF,求AOE尸的面积.

A

D

B

EC

【例6】如图，己知三角形/8C面积为1,延长至。，使BQ=4B；延长8c至E,使CE=28C；

延长C4至尸，使/尸=3/C,求三角形。所的面积.

【巩固】如图，已知三角形。E尸面积为1,延长48至。，使BD=4B；延长8c至£,使CE=28C；

延长。至尸，使/F=3NC,求三角形Z8C的面积.

【例7】如图所示，4、B、C都是正方形边的中点，△COO比△408大15平方厘米。△/08的面积

为平方厘米。

【巩固】如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且"OG的面积比AFRG的面

积大6平方厘米。A48C的面积是多少平方厘米？

［例8］如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36个平

方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.

【巩固】如图，长方形N8CO的面积是1,/是4。边的中点，N在4B边上,且2/N=8N.那么，阴影

部分的面积是多少？

【例9】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方

形组合而成.求阴影部分的面积.

【巩固】图中ABCD是个直角梯形(NDAB=/ABC=90°),以AD为一边向外作长方形ADEF,其面积为6.36

平方厘米。连接BE交AD于P,再连接PC。则图中阴影部分的面积是()平方厘米。

【例10】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是

21cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米？

【巩固】将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结,

如下图，则阴影部分的面积是平方厘米.

【随练1】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙

部分面积是甲部分面积的几倍？

【随练2】如图所示，C4=/8=4厘米，△/四比△8E的面积小2平方厘米，求CC的长为多少厘

米？

【随练3】（北京市第四届“迎春杯”刊赛）下图中三角形ABC的面积为1,其中AE=3AB,BD=2BC,那

么三角形BED的面积是

【随练4】如图，长方形的长为10厘米，宽为8厘米，把长和宽都分成三等份，长方形内任一点与各

分点、顶点连结，则阴影部分的面积是平方厘米.

【作业1]如图2,将一个三角形（有阴影的）的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角

形的面积是原三角形面积的一倍.

图2

【作业2】如图16-4,已知.AE=1AC,CD=1BC,BF^AB,那么力麒^等于多少?

【作业3】如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S4ABC=27平方厘米，求S4DEF.

【作业4】（北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛）如右图BE=1/3BC,CD=1/4AC,那么三角形AED的

面积是三角形ABC面积的

【作业5】如下图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=；AB,已知三角形BDE

的面积是35,求三角形ABC的面积.

A

E

BnC

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。特别满意O满意。一般

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鸟头模型和长方形里的三角形模型

阂恻鱼知

鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.

如图在aABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在8A的延长线上，E在4c上),

贝I」S*:=(ABxAC):(ADxAE)

【例1】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:A8=2:5,AE.AC=4:7,SAM£=16平

方厘米，求△ABC的面积.

【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答

【解析】连接BE'%曲：S—=AO:AB=2:5=(2X4):(5X4)，

5。2%皿=4E:AC=4:7=(4X5):(7X5)'所以%皿：5M"(2X4):(7X5)'设5"=8份'

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则＜_3s份，＜_16平方厘米，所以［份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC

的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应

角（相等角或互补胸）两夹边的乘积之比.

【答案】70

【巩固】如图，三角形ABC中，A8是的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,

那么三角形ABC的面积是多少？

【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答

【解析】连接BE-

•EC=3AE

••5―ac

又「AB=5AD

,•5—s_s.V—G,5—1SG

【答案】15

［例2］如下图，在AABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC,求阴影部分面积占三角形面积的几分

之几？

【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答

【解析】三角形ADG占整体的122，三角形BDE占整体的1？2，三角形FCG占整体的

—X————X———

339339

11］.阴影部分的面积占整体面积的2214。

-x———1一一————=—

3399999

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【答案】4

9

【巩固】如下图，4ABC+，AD：DB=2：1,BE：EC=3：1,CF：FA=4：1,刃口么ADEF是AABC的面

积的几分之几？

【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答

【解析】三角形ADF占整体的1,,三角形BDE占整体的1o।,三角形FCE占整体的

乙1乙11

—X——---x———

3515344

4।].ZiDEF是△ABC的面积的2]]5。

545154512

【答案】5

12

【例3】如图在△ABC^J,D在EA的延长线上，E在4c上，且AB:AD=5:2,

AE-EC=3.2,=12平方厘米，求△ABC的面积.

【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答

【解析】连接BE，SA“S△/=4D:4B=2:5=(2X3):(5X3)

S^ABE-S^ABC=AE:AC=3:(3+2)=(3x5):[(3+2)x5]'

所以S△皿：Sw=(3x2):[5x(3+2)]=6:25'设以血=6份'则%皿=25份'S△皿=12平方

厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米.由此我们

得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘

积之比

【答案】50

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【巩固】如图，三角形A8C的面积为3平方厘米，其中AB:BE=2:5,BC:CD=3.2,三角形BOE的面

积是多少？

【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答

【解析】由于乙480+/03石=180'，所以可以用共角定理，设AB=2份，8c=3份，则BE=5份，

BD=3+2=5份，由共角定理工"c：5/,如=(ABXBC):(BEXBD)=(2X3):(5X5)=6:25，设

<=«份，恰好是3平方厘米，所以I份是05平方厘米，25份就是25x05=125平方厘米，

三角形BDE的面积是12.5平方厘米

【答案】12.5

【例4】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，。是8c的中点，AD的长是4E长的3倍，EF的长

是BF长的3倍.那么三角形AE尸的面积是多少平方厘米？

【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答

【解析】△,△等高，所以面积的比为底的比，有&.

0△RDnLfI

SdBC2

所以§=[]（平方厘米）.同理有（平方厘

△一XSA-x180=90S>D=30

22

米)，3x30=22.5(平方厘米).即三角形AE/7的面积是22.5平方厘米.

FE_

△

DC.

【答案】22.5

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【巩固】如图，三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形A8C

的面积是多少？

【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

【解析】；CE=3AE，；•AC=44E，S-4?；

又：DC=28。，,BC=L5DC，sT<<-内-ion（平方厘米）•

【答案】120

【例5】已知△OEF的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求AABC的面积.

【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答

【解析】$△如:SjBc=(BDxBE):(BAx8C)=(lx1):(2X3)=1:6'

S^CEF：SAABC=(CExCF):(CBxCA)=(1x3):(2x4)=3:8

5Azi“r:SA4SC=(ADxAF):(ABx/IC)=(2xl):(3x4)=l:6

'殳S-24份，则S-4份，S-4份，S-9份-24-4-4-9-7份，恰好

是7平方厘米，所以＜_04平方厘米

J△八8c-“

【答案】24

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【巩固】已知△A8C的面积为24平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△£）"的面积.

【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答

【解析】S&BDE:SjBc=(BDxBE):(6AxBC)=(lxl)：(2x3)=l:6，

S^CEF:S&ABC=(C£XCF):(CBXCA)=(1X3):(2X4)=3:8

S△八"：S滓=(ADxAF):(ABxAC)=(2xl):(3x4)=l:6

设S=24份，则S=4份，S=4份，S=9份，S=24-4-4-9=7份，所以

S_24平方厘米

°AD£F一”

【答案】7

［例6］如图，已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD=A8;延长BC至E,使CE=2BC；

延长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积.

【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答

【解析】（法］）本题是性质的反复使用.

连接4E'CD-

•S1'S-1'

S1

,,S-1•

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同理可得其它，最后三角形OE/7的面积=18.

（法2）用共角定理：在和中，Z.ACB与ZFCE互补，

**5_AC8C_1x1_1,

SFCCE4x28

又S-1'所以S-8,

同理可得S-6,S-3-

所以$

-8+6+3=18.

【答案】18

【巩固】如图，已知三角形DEF面积为1,延长AB至D,使BD=AB;延长BC至E,使CE=2BC

延长。至F,使"=3AC，求三角形ABC的面积.

【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答

【解析】连接DC,EA,FB.设△.，隹（；的面积为1份。则ACBDul份，份。同理△ADF=6份；△CEF=8

份.即4EDF被分成了18份，^ABC占其中的一份。1.

【答案】

【例7】如图所示，A、8、C都是正方形边的中点，△CO。比AAOB大15平方厘米。AA08的面积为

平方厚米。

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【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

【关键词】2008年，第6届，走美杯，5年级，决赛，第8题，10分

【解析】s_&_s1u2，以，cr仁2。

dACOD-^AABO~8co-^ABD八8015"?SAM。=75cm

【答案】7.5

【巩固】如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且AADG的面积比A"G的

面积大6平方厘米。AABC的面积是多少平方厘米？

【解析】令三角形ABC的面积为1,则三角形ADE的面积为LxL=L,三角形DEF的面积为

224

1111«-（11、,°

—x—x—=_,所以：6-e=48

2228（48）

【答案】48

［例8］如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36个

平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.

【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答

【解析】如右图分割后可得，＜_4-4-9（平方单位）•

【答案】9

【巩固】如图，长方形4BC。的面积是1,”是A。边的中点，N在AB边上，且2AN=BN.那么，阴影

部分的面积是多少？

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【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

【关键词】1997,迎春杯，决赛

【解析】连接BM，因为M是中点所以△A8M的面积为]又因为2AN=BN，所以△^OC的面积为

4

1]1,又因为△8OC面积为1,所以阴影部分的面积为：][5.

—x—=——I—————.

4312212212

【答案】5

T7

[例9]如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方

形组合而成.求阴影部分的面积.

【考点】三甭形的等高模型【难度】3星【题型】解答

【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1,则121，24I

AB==-CD==一

12+36424+483

所以1]],阴影部分面积为]]

MN--—(12+24+36+48)x—x—=5(cm2)

3412212

【答案】5

【巩固】图中ABCD是个直角梯形(NDAB=NABC=90。)，以AD为一边向外作长方形ADEF,其面积为

6.36平方厘米。连接BE交AD于P,再连接PC。则图中阴影部分的面积是()平方厘米。

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【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

【关键词】2006年，第11届，华杯赛，初赛，第5题

【解析】如图，连接AE,BD。因为A£）〃8C,贝亚＜_„、又AB//ED、则：„_,,，所以,

、APDC~、1PDB^^EAD~'△EBD

11（平方厘米）

=x

S阴影—S&EPD+S&PDC=+S&PDB=S^EDA=~S^ADEF~6-36=3.18

说明：答案和直角梯形形状无关，可以让8c边趋近AO边，直到和4D边重合，此时，尸与4

重合，PE是49EF的对角线，所以，阴影部分的面积是AOEF面积的一半，等于3.18平

方厘米。

【答案】3.18

【例10]一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是

23/•问：长方形的面积是多少平方厘米?

【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

【关键词】第三届，华杯赛，初赛

【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角彩与

绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三

角形面积占长方形面积的50%-15%=35%•

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2).

已知黄色三角形面积是21c,小，所以长方形面积等于21+35%=60（cm

【答案】60

【巩固】将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结,

如下图，则阴影部分的面积是平方厘米.

【考点】三旃形的等高模型【难度】3星【题型】解答

【解析】如图：三角形ADO和三角形BCO的面积之和占长方形面积的1,三角形ADO和三角形BCO

2

的阴影面积占其自身面积的2，即12平方厘米。同理，

5,,,.=15x9x—x—=45

381123

1平方厘米。所反

1,S阴=45+22.5=67.5

S.„.=15x9x-x—=22.5

阴223

Ap-J——B

D——、C

【答案】67.5

窿菖触蒯

【随练1】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部

分面积是甲部分面积的几倍？

AA

t\c

BDCBDC

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【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答

【解析】连接A/).

•BE=3'AE=6

,•AB=3BE，s-2c

又：BD=DC=4>

-

,•S-，••S-A，，S4=5S,P

【答案】5

【随练2】如图所示，CA=A8=4厘米，△ABE比△COE的面积小2平方厘米，求CO的长为多少厘米?

【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答

【解析】连接BC两点，由△ABE比△COE的面积小2平方厘米，

根据差不变原则可得2=s_s-（S+S）-（5+S）

40△CDE°AABE\^ACD£ABE^^CBE）

=S-S由于S=4x4q2=8（平方厘米），所以

SW=8+2=10,所以CD=10x2+4=5（厘米）

【答案】5

【随练3】（北京市第四届“迎春杯”刊赛）下图中三角形ABC的面积为1,其中AE=3AB,BD=2BC,那

么三角形BED的面积是.

D

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【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

【解析】连接CE，/方：砥=1:2,BC:CD=1:1.=1x2x2=4

【答案】4.

【随练4】如图，长方形的长为10厘米，宽为8厘米，把长和宽都分成三等份，长方形内任一点与各分点、

顶点连结，则阴影部分的面积是平方厘米.

【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

【解析】如图：三角形ADO和三角形BCO的面积之和占长方形面积的［,三角形ADO和三角形BCO

2

的阴影面积占其自身面积的2，即122平方厘米。同理，

一S阳11Ox8x-x—=2-€

3H1233

I1］平方厘米。所以：21

5=10x8x-x-=13-5,,.=26-+13-=40

9l:1n2233卯33

【答案】40

窿局俗选

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【作业1】如图2,将个三角形（有阴影的）的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的

面积是原三角形面积的一倍.

图2

【考点】三角形的鸟头模型【难度】1星【题型】解答

【解析】

【答案】9

【作业2】如图16-4,已知.AE=[AC,CD=^BC,BF=/B,那么三角形DEF的面积等于多少?

546三角形ABC的面积

【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答

【关键词】第四届，迎春杯，决赛，第一题，9题

【解析】如下图，连接AD,BE,CF.

有AABE,AABC的高相等，面积比为底的比，

szi=AExsJ=1S」

rtD_RTDV,rtnv

AC5

同理有s=AFS1和=5=1x5S3=1S3•

___r、a」rxLiirxunux-

AB566