2022-2023学年广东省东莞市五校高一上学期11月期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省东莞市五校高一上学期11月期中联考数学试题

一、单选题

1.下列元素与集合的关系中，正确的是()

L2

A.-1GNB.OgN"C.V3eQD.-s2R

【答案】B

【分析】由N,N",Q,R分别表示的数集，对选项逐一判断即可.

【详解】T不属于自然数，故A错误；

0不属于正整数，故B正确；

g是无理数，不属于有理数集，故C错误；

|■属于实数，故D错误.

故选:B.

2.已知集合4=卜1,0,后｝,8=｛-1,加｝,BcA,则机=()

A.0B.1C.0或1D.-1

【答案】B

【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性计算可得.

【详解】解：因为A=｛-1,0,而｝,B=｛-1,/n｝且则meA,

又\[m二0,即加二0,所以=m,即加=1；

故选：B

3.。2_*_6<0”是“0<x<2"的()

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先解一元二次不等式，再结合充要条件定义即可求解.

【详解】因为百7-6<0,解得-2<x<3,又因为(0,2)是(-2,3)的真子集，

所以“/7-6<0”是“0<x<2"的必要而不充分条件；

故选：A.

4.已知命题p：Vxe[0,2],%2-3X+2>0,则是()

22

A.3xe[0,2],X-3X+2<0B.3xe[0,2],X-3X+2<0

22

C.3XG（^»,0）U（2,+OO）,X-3X+2<0D.Vxe[0,2],x-3x+2<0

【答案】B

【分析】“任一情况都符合''的否定是“存在一种情况不符合”.

2

【详解】命题"为全称命题，则是士e[0,2],%-3X+2<0.

故选:B.

5.函数〃x)=k^+(xT)°的定义域为()

\l3x-2

A.|1，+<»

C.|,1卜（1,+8）

【答案】B

【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0,分式的分母不为0，以及零次幕的底数不等于0,建

立不等式组，求解即可.

3x-2>02

【详解】解：由已知得，八，解得且X",

[1-1工03

所以函数/。)=总当+。-1)°的定义域为(11卜(1,+8),

故选：B.

x-3,x>10

6.设函数贝厅⑼=()

A.6B.7C.9D.10

【答案】B

【分析】根据分段函数的特征，首先把〃9)=.f(/(13)),由"13)=10-3=10,代入即可求解.

【详解】/（9）=/（/（9+4））=/（/（13））=/（10）=10-3=7

故选：B

7.给出事函数：①/(x)=x；(2)/(x)=x2；③/(x)=/；④穴x)=&；⑤/(x)=L.其中满足条件

X

/(“产)>(X/>X2>0)的函数的个数是()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】A

【分析】条件表明函数应是上凸函数，结合箱函数的图象可作答.

【详解】①函数7U）=X的图象是一条直线，故当X/>X2>0时，心言=,区）；/'）；

②函数火X）=/的图象是凹形曲线，故当X/>X2>0时，/也产）J*'区）;

③在第一象限，函数«r）=V的图象是凹形曲线，

故当用>X2>0时，/（笥玉）<鸣告9；

④函数贝x）=«的图象是凸形曲线，故当X/>X2>0时，/（土产）>为39；

⑤在第一象限，函数4x）=L的图象是一条凹形曲线，

X

故当X/>X2>0时，/（七三）<"""%）

故仅有函数处0=&满足当%/>X2>0时，/（当上）>"""七），

故选：A.

-.V--cix—5,(x01)

满足对任意实数X尸W，都有△立二/"）>0成立，则a的

8.已知函数/（幻={

—,(x>1)x2一%

x

取值范围是（）

A.—34av0B.a<-2C・—3WaW—2D.a<0

【答案】C

【分析】易知函数/*）在R上递增，由。<。求解.

-a-6<a

【详解】因为函数/*）满足对任意实数演都有幺卫匕2>0成立,

々一片

所以函数"X）在R上递增，

-->1

2

所以。<0

-a-6<a

解得-3这aW-2,

故选：C

二、多选题

9.以下结论正确的是（）

函数y=x+，的最小值是2；

A.

X

若且就＞0,则2+022；

B.

ab

y=，/+3+7;+3的最小值是2；

C.

函数y=2+x+,（x＜0）的最大值为0.

D.

X

【答案】BD

【分析】根据x＜0判断A,由均值不等式可判断B,利用对勾函数判断C,根据均值不等式判断D.

【详解】对于A,当x＜0时，结论显然不成立，故错误；

对于B,由而＞0知＞0,根据均值不等式可得2+022、回=2,故正确；

abab\ab

对于C，令£=疗大之3,则卜=，+23）单调递增，故最小值为3+；=与，故C错误；

对于D,由xvO可知，y=2+x+—=-（-x+—）+2＜-2J-X-—+2=0,当且仅当x=-l时取等号,

x-xV-x

故D正确.

故选：BD

10.已知a,4ceR,下列命题为真命题的是（）

A.若avZ;vO,则B.若a＞b,则〃/＞力/

C.若。。2＞从2,则〃＞匕D.若。＞6＞1,则

【答案】CD

【分析】由不等式的性质可判断ABC,由作差法可判断D.

【详解】对于A,若avbvO,则/＞成＞〃，A错误；

对于B,若〃，且c=0时，则4?=尻2,B错误;

对于C,若4c2＞bc、2,则c/0,故/＞（）,则必有C正确;

…b+1b。(/?+1)—优。+1)a-b

对于D,若。＞b＞1,则------=---------------＞0,

a+1a〃(a+l)

所以空＞&,D正确.

a+\a

故选：CD

H.已知函数f（x）的定义域为。，若存在区间1，〃，川U。使得了（X）：

（1）/（X）在［租,”］上是单调函数；

(2)/(x)在卜小〃］上的值域是［2租,2n］,则称区间［m,〃］为函数/(x)的“倍值区间

下列函数中存在“倍值区间''的有()

A.f(x)=x2B.=J

1qY

C.f(x)=x+-D./(x)=-v^

\，X+1

【答案】ABD

【分析】根据定义分别讨论是否满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论.

f(加)=2m

【详解】解:根据题意，函数中存在“倍值区间''，则满足人x)在在"，用内是单调函数，其次有

f(n)=2〃

/(w)=2n

或，f\n)=2m依次分析选项:

对于A，/(x)=x2,在区间［0,2］上，是增函数,其值域为［0,4］,则区间［0,2］是函数f(x)的“倍值

区间”，

对于3,7(x)」，在区间仁上，是减函数，其值域为［L2］,则区间是函数〃x)的“倍

值区间”，

对于C,/(x)=x+J,当x>0时，在区间［0,1］上单调递减，在区间［1,内)上单调递增，

/(m)=2m/(〃?)=2〃

若函数存在倍值区间［m,n］,则有，/(n)=2n或，/(??)=2/n,

m>1n<1

1c

/(/??)=2mtn+—=2m

对于，/(«)=2n,有，；,解可得机=〃=1,不符合题意,

m>\〃+—=2〃

n

/(/??)=2n/?!+—=2n

m

对于，〃")=2MI,■变形可得nr-2mn+1=0且层一2mn+1=0,必有机=〃不符合题

1c

n<1〃+—=2m

n

意，故/(X)不存在倍值区间，C错误.

对于口/⑴=若，在区间°4上，有小卜”#>。，

则/(x)是增函数，且其值域为

■E

则区间0，Y是函数〃x)的“倍值区间”，

故选：ABD.

12.已知函数的定义域为R,且/(X+1)为奇函数，定义+2)为偶函数，且对任意的不巧«1,2),

且x产当，都有〃也上"“)>0,则下列结论正确的是()

A.7(x)是奇函数B./(1023)=0

C./(X)的图像关于(1,0)对称D.

【答案】BCD

【详解】由〃x+l)为奇函数得了(%)的图象关于点(1,0)对称，由/(x+2)为偶函数得的图象关

于直线x=2对称，即可进一步得/(x+4)=.f(x),即函数“X)是周期为4的周期函数，

对任意的％,x,e(l,2),且用=%,都有"一)一"、)>0得函数的单调性,结合函数的性质依次综

合判断即可.

【点睛】根据题意，函数“X)的定义域为R,且〃x+l)为奇函数，/(x+2)为偶函数，则的

图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x=2对称，

贝IJ有/(2+x)=—/(—x),/(—x)=/(4+x),则有/(x+2)=—/(x),故有

/(x+4)=—/(x+2)=/(x),则函数/(x)是周期为4的周期函数，

依次分析选项：

对A,〃x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x=2对称，则x=0即y轴也是函数的对称轴，

则〃x)为偶函数，A错；

对B,〃x)是周期为4的周期函数，则〃1023)=〃3+4*255)=〃3)=-片1)=0,B对：

对C,〃x+l)为奇函数，〃x)的图象关于点(1,0)对称，C对；

对D,对任意的4％,«1,2),且“产乡，都有‘⑻一"々)>(),则f(x)在区间(1,2)上为增函数，

X\~X2

“X)为偶函数，贝=/(x)的图象关于直线x=2对称，=又由(>£，

故务既}D对.

故选：BCD.

三、填空题

13.不等式-3d+6x>2的解集为.

【答案】31-曰<x<l+半］

【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.

【详解】由一3/+6X>2,得3f_6x+2v0,

由货-6x+2=0解得％=1土且，

3

所以不等式-3必+6*>2的解集为-曰<x<l+中

故答案为：川1+

14.已知集合4=卜|1<84〃},B={x|l<x<2},若AuB=A,则实数”的取值范围是.

【答案】a>2

【分析】根据=可得5《A,从而可得出答案.

【详解】解：：AD8=A,二8=4,.\a22.

故答案为：a>2.

15.已知定义在R上的减函数f(x)满足/(x)+〃-x)=0,P(-l,2)是其图象上一点，那么|/(x+l)|<2

的解集为.

【答案】(-2,0)

【分析】由题意可得/(l)</(x+l)</(-1),结合条件，利用奇偶性和单调性可解出不等式，得到

答案.

【详解】由〃X)+〃T)=0知/(x)为奇函数，

由|/(x+l)|<2,即一2</。+1)<2

又/(-1)=2,/./(1)=-2,/./(1)</(x+l)</(-1),

又知函数/(X)在R上为减函数，可得

解得-2<x<(),.•.解集为(—2,0).

故答案为：(-2,0)

四、双空题

16.定义在[(),+纥)上的函数/(x)满足〃x+2)=；f(x),当xe[0,2)时，/(x)=x2-2x+l,若直

线y=a与/(X)的图象恰有8个交点(看,又)、(4，人)、L、(王,%)，贝也+%+…+/=;a

的取值范围为.

【答案】32(昌

【分析】作出函数/(X)与y=〃的图象，利用对称性可得出%+W+…+/的值，数形结合可出当直

线)'="与函数"X)的图象有8

【详解】解：定义在[。,+8)上的函数/(x)满足/(x+2)=："x),

当xe[0,2)时，f[x)=xi-2x+\,

则当xw[2,4)时，/(x)=l/(x-2)=l(x-3)2,

当xe[4,6)时，/(x)=g/(x-2)=；/(x-4)=；(x-5)2,

当x«6,8)时，/(x)=1/(x-6)=|(x-7)2,

OO

当xe[8,10)时，/(X)=4/(X—8)=[(X-9)2,

作出函数〃x)与y在[0,10)上的图象如下图所示:

不妨设X<工2<…〈4，结合图形可知，点（占，无）、（巧，％）关于直线1=1对称，则芭+工2=2,

同理可得七十工4=6,x5+x6=10,x7+x8=14,

因止匕,%+%+•,,+/=2+6+10+14=32,

由图可知，当时，直线y=。与函数〃x）的图象有8个交点.

10o

故答案为：32；

五、解答题

17.已知全集为凡集合A={x|2<x46},集合8={x|3Mx<10},0={^-3x-4<0）.

⑴求AuB；

⑵求8c低。）

【答案】⑴k|2<》<10}；

⑵{x|4<x<10}.

【分析】（1）根据并集的计算方法计算即可；

（2）求出集合。，并求出其补集，再根据交集的运算方法运算即可.

【详解】（1）AuZJ={x|2<x<10};

（2）。={目-1〈》44},.，.、£）={乂》<-1或%>4},

•••(”)C3={M4<x<10|.

18.已知/(x)是定义在［-1,1］上的偶函数,且时,/W=77T,

⑴求函数/(X)的表达式；

(2)判断并证明函数在区间［-L0］上的单调性.

2,15x«T,。］

【答案】(l)〃x)=［1

lx+1」

⑵增函数，证明见解析.

【分析】⑴设x«0,l］,则-x«-l,0),由偶函数定义可得/(x)的表达式；

(2)由单调性定义证明即可

【详解】(1)设xe(O,l］,则-xe［-l,0)；

••"(x)是定义在［T1］上的偶函数，二/(r)=W=

白，xe［T，。］

.*./«=f_+;

xe(O,l］

lx2+lJ

(2)函数在区间［-1,0］上单调递增，证明如下：

；几1<r<r<0"X)**二*|〈+工|一./―尤2_(1—”押2)(内—02)

坟一1"<々(0,•/㈤八引-1+1年+广解+1)5+1)一份+1雇+。

VXj-x2<0,1-XjX2>0,/(^)-/(x2)<0,

・・・函数在/(X)区间［-1,0］上单调递增.

19.已知函数/(力=匕卓士幺.

⑴若g(x)=〃x)-2,判断g(x)的奇偶性并加以证明.

(2)若对任意x«l,+e)J(x)>。恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】(l)g(x)为奇函数，证明过程见解析；

(2)(—3,y)

【分析】(1)分4=0与4X0两种情况，先求定义域，再利用函数奇偶性的定义判断；

(2)参变分离，整理为a>-Y-2x恒成立问题，求出-f-2x的最大值，从而求出实数”的取值范

围.

【详解】(1)g(x)=〃x)-2=1+2x+a_2=x+q,

XX

当a=0时，g(x)=x,定义域为R,此时g(-x)=-x=-g(x),

所以g(x)为奇函数，

当awO时，定义域为(y,0)U(0,+oo),且g(-x)=-x-7=-g(x),

所以g(x)为奇函数，

综上：g(x)为奇函数.

(2)xe[l,+ao),/(x)>0,

x+2x+a

即flx\='=x+^+2>0,在xw[l,y)上恒成立，

XX

整理为a>/—2x在xe…)上恒成立，

令〃(力=-了2-2x=-(x+1)'+1,

2

当X=]时，/t(jc)nix=-(1+1)+1=-3,

所以a>-3,

故实数。的取值范围为(-3,物).

20.已知二次函数法+c,不等式/(力<0的解集为(-1,2).

⑴求函数/(x)的解析式；

⑵解关于x的不等式(a+l)f-2ar>.f(x)+4(其中aeR).

【答案]⑴"x)=x2-x-2

(2)答案见解析

【分析】(1)根据不等式，(力<0的解集为(-1,2),得至lJ.f(x)=O的根，由韦达定理求出未知数b和

c,即可求出函数/(x)的解析式

(2)将(1)求出的函数f(x)的解析式代入不等式，分类讨论即可求出不等式的解.

【详解】(1)由题意

在〃x)=f+法+。中，〃x)<0的解集为(-1,2)

•**x2+fec+c=O的根为-1,2

—1+2=—b,—1x2=。，

解得：/?=-1,c=-2

/(x)=x2-x-2

(2)由题意及(1)得，a^R

在/(工)=工2-X-2中，-26LT>/(%)+4

(a+1)x~->x~-x—2+4

即(ac+l)(x-2)>0

当a=0时，不等式化为：x-2>0,解得：x>2,

当a>0时，-：<0,则不等式(依+1)(工一2)>()的解为：元<—;或工>2,

当a<0时，—>0,不等式化为。(％■<—)(x—2)>0,即(xH—)(%—2)<0,

aaa

若-：=2,即a=-g,则不等式化为：(X-2)2<0,其解集为空集.

若一,<2,即°<一!，则不等式。+_1)3-2)<0的解集为「|-!<》<2],

a2a[aJ

若__L>2,即一:<a<0,则不等式(X+_L)(X_2)<0的解集为

a2aIa｝

综上所述：

当a>0时，不等式的解集为卜Ix>2或

当。=0时，不等式的解集为｛x|x>2｝；

当一(<a<0时，不等式的解集为卜12Vx<-：｝；

当a=-g时，不等式的解集为0；

当时，不等式的解集为卜

21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强

有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻

经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，

经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用机万元（机20）满足x=4-工

6+1

（女为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入

为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平

均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按加上元来计算）

X

（1）将2020年该产品的利润了万元表示为年促销费用加万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】⑴丫=36-1三-，〃（机20）

m+\

（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【分析】（1）根据题意列方程即可.

（2）根据基本不等式，可求出+（机+1）的最小值，从而可求出36-旦-m的最大值.

"7+1