系统的平衡状态为课件

稳定性与李雅普诺夫方法

2稳定性：

控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性通常是控制器设计的最基本要求。经典控制理论对稳定性分析的局限性（1）局限于描述线性定常系统（2）局限于研究系统的外部稳定性（输入输出稳定性）经典控制理论的稳定性判据劳斯（Routh）判据奈氏（Nyquist）判据现代控制理论对稳定性分析的特点（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统（2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性（状态稳定性）现代控制理论的稳定性判据李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论（3）能够反映系统稳定的本质特征。李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论李雅普诺夫，俄国数学力学专家，俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院以及法国巴黎科学院的外籍院士。1892年在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》（Thegeneralproblemofthestabilitymotion）中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性问题，建立了著名的Lyapunov方法，为现代控制和非线性控制奠定了基础。Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第二法（直接法）设系统的齐次状态方程为：展开式为：方程的解（运动或状态轨线）为：初始状态向量初始时刻4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义（4.1）n维状态向量n维向量函数一、系统状态的运动及平衡状态平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化所有状态的变化速度为零，即是静止状态

线性定常系统：平衡状态：一个平衡状态——状态空间原点无穷多个平衡状态非线性系统：平衡状态：一般有多个平衡状态例：欧式范数二、稳定性的几个定义表示向量的长度表示向量到的距离表示状态空间中，以为圆心，半径为c的圆表示状态空间中，以为球心，半径为c的球以平衡点为球心，取和为半径，在n维状态空间作出两个球域：任意取的正数（可以任意小）：是取定后看能否找到的其中初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡状态。任给一个球域，若存在一个球域，使得从出发的轨迹不离开，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。1、李雅普诺夫意义下稳定若与初始时刻无关，则称系统的平衡状态是一致稳定的。时变系统与有关定常系统与无关任给一个球域，若存在一个球域，使得从出发的轨迹不离开，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。

考虑系统（4.1），如果对任意的实数，都存在另一实数，使当初始状态位于以平衡状态为球心，为半径的闭球域内，即时，从任意初态出发的解始终位于以为球心，半径为的闭球域内，即则称系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下稳定。李雅普诺夫意义下稳定当系统做不衰减的震荡运动时，将描绘出一条封闭曲线，只要不超出，则认为是稳定的。则称系统的平衡状态是渐近稳定的。若系统方程的平衡状态不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有若与无关，则为一致渐近稳定。（定常系统）2、渐近稳定初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以无限接近，直至到达平衡状态后停止运动。几何意义：系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡状态附近并且向平衡状态靠拢。当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。3、大范围渐近稳定几何意义：大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平衡状态。线性系统稳定性与初始条件无关，如果渐近稳定，则必然大范围渐近稳定。非线性系统稳定性与初始条件密切相关，如果渐近稳定，不一定大范围渐近稳定。初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡状态越来越远。4、不稳定几何意义：如果对于某个实数和任一个实数，不管实数有多小，在内总存在着一个状态，由这一状态出发的轨迹超出，则称次平衡状态是不稳定的。4.2李雅普诺夫第一法（间接法）通过系统特征根或者极点分布来判断第一法在线性定常系统中的应用外部稳定性（经典控制理论）零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的。外部稳定的充要条件：传递函数矩阵中所有元素的极点全部位于s的左半平面：线性定常系统李雅普诺夫意义下稳定A的所有特征值：且的特征值无重根内部稳定性结论1：思路：且的特征值无重根时，的元素均有界。结论2：渐近稳定A的所有特征值：需结论3：不稳定A有一个特征值：或的特征值有重根例：设系统方程为：试确定其外部稳定性、内部稳定性。解

（1）系统的传递函数为：极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。（2）求系统的特征方程：系统不是渐近稳定的。对于非线性系统，可以在一定条件下用它的近似线性化模型来研究它在平衡状态的稳定性。第一法在非线性系统中的应用结论：在线性化系统模型中，1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在处渐近稳定；2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在处

不稳定；3)A在特征值的实部有一部分为0，其它的都具负实部，非线性系统在处的稳定性不能得出明确结论，而取决于高次项。例：设系统方程为：

试确定其在平衡状态的稳定性。解

系统的平衡状态为：（c）不稳定性（b）渐近稳定性（a）李雅普诺夫意义下的稳定性4.3李雅普诺夫第二法（直接法）不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。平衡状态能量最小。系统经激励后，其能量若随着时间推移而衰减，最终到达能量最小的平衡状态，则为渐近稳定的。反之，若系统不断从外界吸收能量，则不稳定。对于一些纯数学系统，还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，

Lyapunov定义了一个虚构的广义能量函数，称为Lyapunov函数(能满足稳定性定理的函数)。是标量函数，x为状态变量，是t的函数。连续一阶偏导，反应能量变化。是非负数（定号性），反应能量大小；李雅普诺夫直接法：利用和的符号特性来直接判断系统在平衡状态是否稳定。在零平衡状态的邻域内①正定：②负定：③半正定：时，④半负定：时，⑤不定：时，可正可负。一、标量函数的定号性例：已知

，确定标量函数的定号性。解：正定解：半正定解：解：半负定不定二、二次型V函数二次型：各项均为自变量的二次单项式的标量函数P为实对称矩阵二次型函数的定号性与矩阵P的定号性是一致的。P的定号性判断准则一，Sylvester准则：①P为正定的充要条件为：P的各阶主子式大于0，即：②P为负定的充要条件为：P的各阶主子式负、正相间，③P为半正定的充要条件为：P的各阶主子式为正或零，即④P为半负定的充要条件为：P的各阶主子式满足负定的条件，但其中可以有等于0的。P的定号性判断准则二，特征值判据：例：确定下列二次型的定号性。解：判别方法一正定P的各阶顺序主子式>0例：确定下列二次型的定号性。解：判别方法二矩阵P的特征值的符号有正有负，即符号不定不定例：确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。解：稳定性定理三、李雅普诺夫稳定性判别定理渐近稳定性定理

几何解释：

定理条件的降低：定理条件的负定性可以降低。上述结论是系统平衡状态稳定性判断的充分条件。所以，不能根据没有找到符合上面定理的得出系统在平衡点不稳定的结论，也不能根据为不定得出系统在平衡状态不稳定的结论。不稳定性定理只在原点恒为零系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。例

给定连续时间的定常系统试判定其稳定性。系统的平衡状态为。取(i)为正定；(ii)显然

是半负定的；例:研究以下系统在(0,0)点的稳定性李雅普诺夫稳定性的判定方法

V(x)

V’(x)结论正定(>0)负定(<0)该平衡状态渐近稳定正定(>0)半负定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡状态渐近稳定正定(>0)半负定(0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡状态稳定但非渐近稳定正定(>0)正定(>0)该平衡状态不稳定4.4李雅普诺夫第二方法在线性系统中的应用一、定常连续系统该类系统具有如下特点:1)

当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡状态

,即为状态空间原点;2)若该系统在平衡状态的某个邻域上是渐近稳定的,

则一定是大范围渐近稳定的;3)对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次

型函数的形式。结论：线性定常连续系统在平衡状态处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P，满足以下方程：充分性：并且正定函数

即为系统的一个李雅普诺夫函数。必要性（P170）：由矩阵指数函数eAt的定义和性质知,上述被积矩阵函数的各元素一定是具有tket形式的诸项之和,其是A的特征值。因为系统是渐近稳定的,则矩阵A的所有特征值的实部一定小于零,因此上述积分一定存在,即P为有限对称矩阵。又由于Q正定,矩阵指数函数eAt可逆,可知,P为有限的正定矩阵。李雅普诺夫矩阵代数方程注:1）如果沿任意一条状态轨线不恒为零,那么

可取为半正定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充

要条件为:

存在正定矩阵

满足李雅普诺夫代数方程。2）矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定

的,那么最终的判定结果将与

的不同选择无关。3）最方便的是选取

为单位矩阵。判别步骤：(2)求解。(1)选取为正定实对称矩阵（对角阵或单位阵）；(3)若P为正定实对称矩阵，则系统渐近稳定。若

可选取为半正定实对称矩阵。负定正定解：结论：时变连续系统在平衡状态渐近稳定的充要条件：对任意给定的连续对称正定矩阵，存在一个连续对称正定矩阵是李雅普诺夫矩阵微分方程的解：

二、时变连续系统得到是连续对称正定矩阵，则时变系统在平衡状态处是渐近稳定的。可取单位矩阵等，应已知。李雅普诺夫稳定性的判定方法

V(x)

V’(x)结论正定(>0)负定(<0)该平衡状态渐近稳定正定(>0)半负定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡状态渐近稳定正定(>0)半负定(0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡状态稳定但非渐近稳定正定(>0)正定(>0)该平衡状态不稳定针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的Lyapunov函数：通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的雅克比矩阵法(也叫克拉索夫斯基法)针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)4.4李雅普诺夫第二法方法在非线性系统中的应用设非线性定常连续系统的状态方程为对该系统有如下假设:1)

所讨论的平衡状态xe=0(f(0)=0);2)

f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵一.雅柯比矩阵法（克拉索夫斯基法）结论（雅柯比矩阵定理）：非线性定常连续系统的平衡状态xe=0为渐近稳定的充分条件为为负定的矩阵函数,且为该系统的一个李雅普诺夫函数，其中W为正定矩阵。更进一步,当||x||→∞时,有||V(x)||→∞,则该平衡状态是大范围渐近稳定的。证明：结论（克拉索夫斯基定理）：非线性定常连续系统的平衡状态xe=0为渐近稳定的充分条件为为负定的矩阵函数,且为该系统的一个李雅普诺夫函数。更进一步,当||x||→∞时,有||V(x)||→∞,则该平衡状态是大范围渐近稳定的。由结论2,系统在原点是渐近稳定的条件是J(x)+JT(x)为负定矩阵函数,需J(x)的对角线元素不恒为零,因此f(x)的第i个分量必须包含变量xi,否则,无法应用。推广到线性定常连续系统可知:对称矩阵A+AT负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。注：二结论给出的是渐近稳定的一个充分条件,不是必要条件。如对于渐近稳定的线性定常连续系统由于不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统为渐近稳定的。可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。二、

变量梯度法舒尔茨和吉布生在1962年提出。思想:构造出Lyapunov函数的梯度来分析Lyapunov函数的定号性。设非线性定常连续系统的状态方程为且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。设李雅普诺夫函数为V(x),它是x的显函数,而不是时间t的显函数,则V(x)的梯度gradV存在。梯度gradV是如下定义的n维向量:舒尔茨和吉布生建议,先假设gradV具有某种形式,并由此求出符合要求的V(x)和V'(x)。由可知,V(x)可由gradV的线积分求取,即式中,积分上限x是状态空间的一点(x1,x2,…,xn)。由场论知识可知,若梯度gradV的n维旋度等于零,即rot(gradV)=0,则上式所示的线积分与路径无关。而rot(gradV)=0的充分必要条件是:gradV的雅可比矩阵是对称矩阵,即当上述条件满足时,积分路径可以任意选择,故可以选择一条简单的路径,即依各个坐标轴xi的方向积分按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。1)

将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为式中,aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,它们可以是常数,也可以是t的函数或x1,x2,…,xn的函数。通常将aij选择为常数或t的函数。2)由定义

。由平衡状态渐近稳定时为负定的条件,可以决定部分待定参数aij。3)

由限制条件

决定其余待定参数aij。