(完整word版)初等数论练习题一(含答案)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐(完整word版)初等数论练习题一(含答案)《初等数论》期末练习二

一、单项挑选题

1、=),0(b（）.

Ab

Bb-

Cb

D0

2、假如1),(=ba，则),(baab+=（）.

Aa

Bb

C1

Dba+

3、小于30的素数的个数（）.

A10

B9

C8

D7

4、假如)(modmba≡,c是随意整数,则

A)(modmbcac≡

Bba=

C(mod)acbcm≡/

Dba≠

5、不定方程210231525=+yx（）.

A有解

B无解

C有正数解

D有负数解

6、整数5874192能被()整除.

A3

B3与9

C9

D3或9

7、假如ab，ba，则().

Aba=

Bba-=

Cba≥

Dba±=

8、公因数是最大公因数的（）.

A因数

B倍数

C相等

D不确定

9、大于20且小于40的素数有（）.

A4个

B5个

C2个

D3个

10、模7的最小非负彻低剩余系是().

A-3，-2,-1,0,1,2，3

B-6，-5,-4,-3,-2,-1

C1,2,3,4,5，6

D0,1,2,3,4，5，6

11、由于(),所以不定方程71512=+yx没有解.

A[12，15]不整除7

B（12，15）不整除7

C7不整除（12，15）

D7不整除[12，15]

12、同余式)593(mod4382≡x（）.

A有解

B无解

C无法确定

D有无限个解

二、填空题

1、有理数

b

a，0,(,)1a

bab<<=，能写成循环小数的条件是（）.2、同余式)45(mod01512≡+x有解，而且解的个数为().3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为().

4、设n是一正整数，Euler函数)(n?表示全部()n，而且与n（）的正整数的个数.

5、设ba,整数，则),(ba（）=ab.

6、一个整数能被3整除的充分须要条件是它的（）数码的和能被3整除.

7、+=][xx（）.

8、同余式)321(mod75111≡x有解,而且解的个数().

9、在176与545之间有()是17的倍数.

10、假如0ab,则),](,[baba=().

11、ba,的最小公倍数是它们公倍数的().

12、假如1),(=ba,那么),(baab+=().

三、计算题

1、求24871与3468的最小公倍数?

2、求解不定方程2537107=+yx.（8分）

3、求??

???563429,其中563是素数.（8分）4、解同余式)321(mod75111≡x.（8分）

5、求[525,231]=?

6、求解不定方程18116=-yx.

7、推断同余式)1847(mod3652≡x是否有解？

8、求11的平方剩余与平方非剩余.

四、证实题

1、随意一个n位数121aaaann-与其按逆字码罗列得到的数nnaaaa121-的差必是9的倍数.（11分）

2、证实当n是奇数时，有)12(3+n.（10分）

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）

4、假如整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

5、假如ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,,使得rbqa+=,其中br≤0.

《初等数论》期末练习二答案

一、单项挑选题

1、C

2、C

3、A

4、A

5、A

6、B

7、D

8、A

9、A10、D11、B12、B

二、填空题

1、有理数

b

a，1),(,0=

baba，能写成循环小数的条件是（1)10,(=b）.2、同余式)45(mod01512≡+x有解，而且解的个数为(3).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为(41).

4、设n是一正整数，Euler函数)(n?表示全部(不大于)n，而且与n（互素）的正整数的个数.

5、设ba,整数，则),(ba（],[ba）=ab.

6、一个整数能被3整除的充分须要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.

7、+=][xx（}{x）.

8、同余式)321(mod75111≡x有解,而且解的个数(3).

9、在176与545之间有(12)是17的倍数.

10、假如0ab,则),](,[baba=(ab).

11、ba,的最小公倍数是它们公倍数的(因数).

12、假如1),(=ba,那么),(baab+=(1).

三、计算题

1、求24871与3468的最小公倍数?

解：由于（24871,3468）=17

所以[24871,3468]=17

346824871?=5073684所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

2、求解不定方程2537107=+yx.（8分）

解：由于（107，37）=125，所以有解；

考虑137107=+yx，有26,9-==yx，

所以，原方程特解为259?=x=225，2526?-=y=-650，

所以通解为tytx107650,37225--=+=

3、求??

???563429,其中563是素数.（8分）解把??

???563429看成Jacobi符号,我们有?????=?????--=?????-=?????-=?????--=??

???-=27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167

11311327)1(27132113.2127=??

???=?????-=?????=--,即429是563的平方剩余.

4、解同余式)321(mod75111≡x.（8分）

解由于(111,321)=3|75,所以同余式有3个解.

将同余式化简为等价的同余方程)107(mod2537≡x.

我们再解不定方程2510737=+yx,得到一解(-8,3).

于是定理4.1中的80-=x.

因此同余式的3个解为

)321(mod8-≡x,

)321(mod99)321(mod3

3218≡+-≡x,)321(mod206)321(mod3

32128≡?+-≡x.

5、求[525,231]=?

解：解：由于（525,231）=21

所以[525,231]=17

231525?=5775

6、求解不定方程18116=-yx.

解：由于（6，11）18，所以有解；

考虑1116=+yx，有1,2-==yx。

所以，特解为18,36==yx，

通解为tytx618,1136-=-=。

7、推断同余式)1847(mod3652≡x是否有解？（8分）

解我们简单知道1847是素数,所以只需求??

???1847365的值.假如其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.

由于735365?=,所以

??

????????=?????184773184751847365.再)4(mod173),4(mod15≡≡,所以

1525184718475-=??

???=?????=?????,

.1747111171173173117327322731847184773-=??

???-=?????-=?????=??????=??????????=?????=?????=?????所以,??

???1847365=1.于是所给的同余式有解.

8、求11的平方剩余与平方非剩余.

解由于

52111=-,所以平方剩余与平方非剩余各有5个.又由于

112≡,422≡,932≡,542≡,352≡,

所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余.

四、证实题

1、随意一个n位数121aaaann-与其按逆字码罗列得到的数nnaaaa121-的差必是9的倍数.（11分）

证实由于

=-121aaaann12211101010aaaannnn+?++?+?,

nnaaaa121-=nnnnaaaa+?++?+?10101012211,

所以,121aaaann--nnaaaa121-=

).101()101(10)110(10)110(1132311+-?++-?+-?nnnnnnaaaa

而上面等式右边的每一项均是9的倍数,

于是所证实的结论成立.

2、证实当n是奇数时，有)12(3+n.（10分）

证实由于)3(mod12-≡,所以

)3(mod1)1(12+-≡+nn.

于是,当n是奇数时,我们可以令12+=kn.

从而有)3(mod01)1(1212≡+-≡++kn,即)12(3+n.

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）

证实（1）设22bam+=,则明显2

22)()(rbramr+=.（2）假如2

2dcn+=,那么222222222222))((dbcbdacadcbamn+++=++=

=)2()2(2

2222222abcdcbdaabcddbca-++++

=22)()(bcadbdac-++.

4、假如整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)

证实设a是一正整数,并将a写成10进位数的