高数课程数分课件

方向导数、偏导数、连续性关系曲面被平面

z

=

c

所截得,z

=

f

(

x,

y)z

=

c如图等值线在几何上z

=f

(x,y)表示一个曲面所得曲线在xoy面上投影oyxf

(x,

y)

=

c1f

(x,

y)

=

c等值线gradf

(

x,

y)梯度为等高线上的法向量f

(x,

y)

=

c2P'利用隐函数求导

xyf

'f

'=

-

x

y'

'

则法线方向:

fxi

+

f

y

j等值线定义：f

(x,y)=c

'

'

'

i

+

y j

或

f

y

i

-

f

x

j

是

等

值

线在点（

x,y)处的切线方向切线斜率梯度方向梯度与等高(值)线的关系：函数z

=f

(x,y)在点P(x,y)的梯度的方向与点P

的等高线f

(x,y)=c

在这点的法线的方向相同.而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．此时

f(x

,

y

)

沿该法线方向的方向导数为f

yyx+

fnf

2

+

f

2x

yf

2

+

f

2x

y¶f

=

f

fx¶=

gradf

>

0故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线.¶x

¶y

¶zgradf

(

x,

y,

z)

=

¶f

+

¶f

+

¶f

i

j

k.类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数三元函数u

=f

(x,y,z)在空间区域G

内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y,z)˛

G，都可定义一个向量(梯度)梯度的基本运算公式(2)

grad(cu)

=

c

grad

u(4)

grad(uv

)

=

u

grad

v

+

v

grad

u或或

(cu)

=

c

u(uv

)

=

u v

+

v

u例5求函数u

=x2

+2

y2

+3z2

+3

x

-2

y

在点(1,1,2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得gradu(

x,

y,

z)

=

¶u

+

¶u

+

¶u

i

j

k¶x

¶y

¶z=

(2

x

+

3)i

+

(4

y

-

2)

j

+

6zk

,

故

gradu(1,1,2)

=

5i

+

2

j

+12k.在,0)处梯度为,2

2P

(-

3

100.例6：函数z=x2

-xy

+y2在(-1,1)沿哪个方向z的方向导数最大？方向导数最大值是多少？沿哪个方向z减小得最快？沿哪个方向z的变化率为零？解：grad

z

={¶z

,¶z

}¶x

¶y=|

grad

z(-1,1)

|=

3

2grad

z(-1,1)

=

{-3,

3}沿梯度方向{-3,3}，z的方向导数最大，¶z¶l

最大沿负梯度方向{3,

-3}，z减小得最快，=

¶z

cosa

+

¶z

cos

b¶l

¶x

¶y若l的方向角为a，b，¶z=

{2

x

-

y,

2

y

-

x}例：函数z=x2

-xy

+y2在(-1,1)沿哪个方向z的方向导数最大？方向导数最大值是多少？沿哪个方向z减小得最快？沿哪个方向z的变化率为零？解：¶l¶z

=

0当cosa

=cos

b时，而a，b分别为l与x轴正向和y轴正向夹角，¶z

=

04

4

¶l当a

=b

=p

时或a

=b

=5p

时，即沿(2

2

2

22

)和(-2

,-2

),z的变化率为零2

,¶y

(-1,1)cosa

+

¶z

cos

b

==-3

cosa

+

3

cos

b¶l

(-1,1)

¶x

(-1,1)¶z

=

¶z事实上,沿与梯度垂直的方向函数变化率为零.1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）四、小结¶l¶

f

=

grad

f

el梯度在方向l

上的投影.方向:

f

变化率最大的方向模:

f

的最大变化率之值梯度的特点3、方向导数与梯度的关系一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线三、一元向量值函数第七节微分学在几何上的应用第七章设空间曲线的方程(1)

z

=

w

(t

)

y

=

y

(t

)

x

=

f(t

)zo

yx(1)式中的三个函数均可导.设M

(x0

,y0

,z0

),对应于t

=t0

;M

(

x0

+

Dx,

y0

+

Dy,

z0

+

Dz)对应于t

=t0

+Dt.一、空间曲线的切线与法平面MM割线

MM

的方程为x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0Dx

Dy

Dzzo

yxMM考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以Dt

,x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0

,DxDtDyDtDzDt当M

fi

M

,即Dt

fi

0时

,曲线在M处的切线方程x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0

.f¢(t0

)

y

¢(t0

)

w

¢(t0

)切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.0

0

0T

=

{f

(t

),y

(t

),w

(t

)}法平面：过M点且与切线垂直的平面.f

(t0

)(

x

-

x0

)

+y

(t0

)(

y

-

y0

)

+

w

(t0

)(z

-

z0

)

=

0例1

求曲线G

:

x

=tue

cos

udu，

y

=

2sin

t0+cos

t

,z

=1

+e3t

在t

=0处的切线和法平面方程.解

当t

=

0时，

x

=

0,

y

=

1,

z

=

2,x

=

et

cos

t,

y

=

2cos

t

-

sin

t,

z

=

3e3t

,

x

(0)

=

1,y

(0)

=

2,

z

(0)

=

3,切线方程x

-

0

=

y

-

1

=

z

-

2

,1

2

3x

+

2(

y

-

1)

+

3(z

-

2)

=

0,即x

+2

y

+3z

-8

=0.法平面方程1.空间曲线方程为

y

=

f(

x

),

z

=

y

(

x

)在M

(x0

,y0

,z0

)处,,1

f¢(

x0

)

y

¢(

x0

)x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0法平面方程为(

x

-

x0

)

+

f

(

x0

)(

y

-

y0

)

+y

(

x0

)(z

-

z0

)

=

0.切线方程为特殊地：2.空间曲线方程为G(

x,

y,

z)

=

0F

(

x,

y,

z)

=

0,切线方程为,Gy

Gz

Gz

Gx

Gx

Gy0

0

0z

-

z0Fy

Fz

Fz

Fx

Fx

Fy==x

-

x0

y

-

y0法平面方程为=

0.0(z

-

z

)0(

y

-

y

)

+0(

x

-

x

)

+G

Gy

0G

Gx

0G

Gy z

0Fy

FzxF

FyxzF

Fxz例2求曲线x

2

+

y2

+

z

2

=

6，

x

+

y

+

z

=

0在dx

dx

dy

dzdx

dx+ =

-1

y

dy

+

z

dz

=

-

x点(1,-2,

1)处的切线及法平面方程.解

1

直接利用公式;解

2

将所给方程的两边对x

求导并移项，得dy

=

z

-

x

,,dx y

-

zdx y

-

zdz x

-

y=由此得切向量T

=

{1,

0,-1},所求切线方程为x

-

1

=

y

+

2

=

z

-

1,1

0

-

1法平面方程为

(

x

-

1)

+

0 (

y

+

2)

-

(z

-

1)

=

0,

x

-

z

=

0=

0,dx

(1,-2,

1)dy=

-1,dx

(1,-2,

1)dz设曲面方程为F

(

x,

y,

z)

=

0在曲面上任取一条通过点M的曲线

x

=

f(t

)T

=

{f

(t0

),

y

(t0

),

w

(t0

)},曲线在M处的切向量z

=

w

(t

)G

:

y

=

y

(t

),二、曲面的切平面与法线nTM令n

={Fx

(x0

,y0

,z0

),Fy

(x0

,y0

,z0

),Fz

(x0

,y0

,z0

)}则n^T

,由于曲线是曲面上通过M

的任意一条曲线，它们在M

的切线都与同一向量n

垂直，故曲面上通过M

的一切曲线在点M

的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M

的切平面.切平面方程为Fx

(

x0

,

y0

,

z0

)(

x

-

x0

)

+

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

)(

y

-

y0

)+

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)(z

-

z0

)

=

0通过点M

(x0

,y0

,z0

)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为Fx

(

x0

,

y0

,

z0

)

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

)

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)z

-

z0=

=x

-

x0

y

-

y0垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在M处的法向量即n

=

{Fx

(

x0

,

y0

,

z0

),

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

),

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)}特殊地：空间曲面方程形为z

=f

(x,y)曲面在M处的切平面方程为fx

(

x0

,

y0

)(

x

-

x0

)

+

f

y

(

x0

,

y0

)(

y

-

y0

)

=

z

-

z0

,曲面在M处的法线方程为=

z

-

z0

.=x

-

x0

y

-

y0fx

(

x0

,

y0

)

f

y

(

x0

,

y0

)

-

1F

(

x,

y,

z)

=

f

(

x,

y)

-

z,令f

x

(

x0

,

y0

)(

x

-

x0

)

+

f

y

(

x0

,

y0

)(

y

-

y0

)z

-

z0

=切平面上点的竖坐标的增量函数z

=f

(x,y)在点(x0

,y0

)的全微分全微分的几何意义因为曲面在M处的切平面方程为z

=f

(x,y)在(x0

,y0

)的全微分，表示0

0

0曲面

z

=

f

(

x,

y)

在点(

x

,

y

,

z

)

处的切平面上的点的竖坐标的增量.全微分的几何意义xzOz

=

f

(

x,

y)(

x0

,

y0

)z0

=

f

(

x0

,

y0

)Dzdz平面z

=z0切平面曲面z

=

f

(

x,

y)(

x0

,

y0

)x0(

x0

+

Dx,

y0

+

Dy)x0

+

Dxyy0

+

Dyy0z0若a

、b

、g表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角g

是锐角，则法向量的方向余弦为,1

+

f

2

+

f

2x

ycosa

=-

fx,cos

b

=-

f

y.1

+

f

2

+

f

2x

y1cosg

=2y2x+

f1

+

f其中f

x

=

f

x

(

x0

,

y0

)f

y

=

f

y

(

x0

,

y0

)例3求旋转抛物面z

=x

2

+y2

-1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解F(x,y,z)=x2

+y2

-z

-1,n

(

2,1,4)

=

{2

x,

2

y,-

1}(

2,1,4)=

{4,

2,-1},切平面方程为法线方程为4(

x

-

2)

+

2(

y

-

1)

-

(z

-

4)

=

0,

4

x

+

2

y

-

z

-

6

=

0,x

-

2

=

y

-

1

=

z

-

4

.4

2

-

1例

4

求曲面z

-

ez

+

2

xy

=

3

在点(1,2,0)处的切平面及法线方程.解令F

(x,y,z)=z

-ez

+2

xy

-3,Fx

(1,2,0)

=

2

y

(1,2,0)

=

4,Fy

=

2

x

(1,2,0)

=

2,(1,2,0)=

0,F

=

1

-

ezz

(1,2,0)(1,2,0)切平面方程法线方程4(

x

-

1)

+

2(

y

-

2)

+

0

(z

-

0)

=

0,

2

x

+

y

-

4

=

0,x

-

1

=

y

-

2

=

z

-

0

.2

1

0例

5

求曲面

x2

+

2

y2

+

3z2

=

21

平行于平面x

+4

y

+6z

=0的各切平面方程.解设(x0

,y0

,z0

)为曲面上的切点,切平面方程为2

x0

(

x

-

x0

)

+

4

y0

(

y

-

y0

)

+

6z0

(z

-

z0

)

=

0依题意，切平面方程平行于已知平面，得61

40

002

x

4

y

6z=

=

,000

2

x

=

y

=

z

.因为(x0

,y0

,z0

)是曲面上的切点，x0

=

–1,(1,2,2), (-1,-2,-2),满足方程\所求切点为切平面方程(1)2(

x

-

1)

+

8(

y

-

2)

+

12(z

-

2)

=

0x

+

4

y

+

6z

=

21切平面方程(2)-

2(

x

+

1)

-

8(

y

+

2)

-

12(z

+

2)

=

0

x

+

4

y

+

6z

=

-21思考题如果平面3

x

+ly

-3z

+16

=0与椭球面3

x

2

+y

2

+z

2

=16相切，求l

.思考题解答n

=

{6

x0

,

2

y0

,

2z0

},{3,

l,-3}设切点(x0

,y0

,z0

),依题意知切向量为6

x0

=

2

y0

=

2z0

y0

=

lx0

,3

l

-

3切点满足曲面和平面方程z0

=

-3

x0

,,20+

9

x

-

16

=

02

20203

x3

x0

+

l

x

+

9

x

+

16

=

020

0+

l

x

l

=

–2.三、一元向量值函数及其导数引例:已知空间曲线G

的参数方程:

y

=y

(t)

t

˛

[a

,

b]

z

=

w

(t)

x

=

j(t)f

(t)

=

(j

(t),y

(t),w

(t))记r

=(x,y,z),MrGxzyOG

的向量方程

r

=

f

(t),

t

˛

[a

,

b]此方程确定映射

f

:[a

,

b]

fi

R3

,称此映射为一元向量值函数.对G

上的动点M,

显然

r

=

OM，即G

是

r

的终点M的轨迹

,

此轨迹称为向量值函数的终端曲线

.要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.定义:

给定数集

D

R

,

称映射f

:

D

fi

Rn

为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为r

=

f

(t),

t

˛

D定义域tfi

t0导数：f

(t)

=

(

f1

(t),

f2

(t),

f3

(t))Δ

t000f

¢(t

)

=

lim

f

(ttfi

t0+

Dt)

-

f

(t

)因变量

自变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,因此下面仅以n

=3

的情形为代表进行讨论.设

f

(t)

=

(

f2

(t),

f1(t),

f3

(t)),

t

˛

D,

则极限：lim

f

(t)=(lim

f1(t),lim

f2

(t),lim

f3

(t))tfi

t0

tfi

t0

tfi

t0

tfi

t0连续：lim

f

(t)=f

(t0

)d

t(3)

d

[u(t)

–

v(t)]

=

u¢(t)

–

v¢(t)d

t(4)

d

[j(t)u(t)]

=

j¢(t)u(t)

+j(t)u¢(t)d

t(5)

d

[u(t)

v(t)]

=

u¢(t)

v(t)

+

u(t)

v¢(t)d

t(6)

d

[u(t)·v(t)]

=

u¢(t)

·v(t)

+

u(t)·v¢(t)向量值函数的导数运算法则:设u,v

是可导向量值函数,C

是常向量,c

是任一常数,j(t)是可导函数,则(1)

d

C

=

O