2021-2022学年江西省景德镇市安福中学高二数学理联考试题含解析

2021-2022学年江西省景德镇市安福中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

考点：基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的应用问题，其中解答中根据题设条件构造基本不等式的条件，利用基本基本不等式是解得的关键，解答中有一定的技巧性，但覆盖知识较少，试题比较基础，属于基础题，着重考查了学生构造思想和转化思想，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力．2.12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为A．

B．

C．

D．

参考答案：B3.下列叙述错误的是()A.若事件A发生的概率为,则B.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件C.两个对立事件的概率之和为1D.对于任意两个事件A和B,都有参考答案：D4.①已知a，b是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；②设a为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且.则（

）A.①的假设正确，②的假设错误 B.①的假设错误，②的假设正确C.①与②的假设都错误 D.①与②的假设都正确参考答案：B分析：根据反证法的概念判断正误即可.详解：已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设或，故选项不合题意；②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且，是正确的.故答案为：B.点睛：这个题目考查了反证法的原理，反证法即将原命题的结论完全推翻，假设时取原命题结论的补集即可，注意在假设时将或变为且，且变为或，不都变为全都.5.设分别为两个不同的平面，直线，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A6.设，且O≤a<13,若能被7整除，则（

）

A.0

B．1

C．6

D．12参考答案：C7.已知两点,给出下列曲线方程：

①;

②;

③;

④.在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是A．①③

B．②④

C．①②③

D．②③④参考答案：D略8.设f(x)=x2－6x+5，若实数x，y满足条件f(y)≤f(x)≤0，则的最大值为（

）A．5

B．3

C．1

D．9－4参考答案：A略9.已知，函数，下列四个命题：①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π；②当时，f（x）有最小值；③是函数f（x）的一个单调递增区间；④点是函数f（x）的一个对称中心．正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数=+2．再利用三角函数的图象与性质即可判断出正误．【解答】解：∵函数====+2．对于①：函数f（x）的周期为，∴①为错误的；对于②：当时，f（x）取得最小值，此时，即，当k=0时，，∴②为正确的；对于③：令，解得，∴函数f（x）的增区间为，当k=﹣1时，函数f（x）的增区间为，∴③为正确的；对于④：令=kπ（k∈Z），解得，∴函数f（x）的对称中心为，当k=0时，得点是函数f（x）的一个对称中心，∴④为正确的．综上所述，②③④是正确的命题．故选：D．【点评】本题考查了数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.

甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。则这三个电话中恰有两个是打给甲的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设角，则的值等于

．参考答案：略12.已知直线的方向向量分别为，若，则实数=

▲

．参考答案：2略13.若平面向量与满足:,,则与的夹角为

．参考答案：考点：平面向量的数量积的运算．14.已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线3x﹣4y+20=0相切，则r=

．参考答案：4【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．【解答】解：由x2+y2=r2，可知圆心坐标为（0，0），半径为r，∵圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线3x﹣4y+20=0相切，由圆心到直线的距离d==4，可得圆的半径为4．故答案为：4．15.经过点（1，0），（0，2）且圆心在直线y=2x上的圆的方程是

．参考答案：（x﹣）2+（y﹣1）2=

【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2，由（1，0），（0，2）两点在圆上建立关于a、r的方程组，解出a、r的值即可得出所求圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆心在直线y=2x上，得b=2a，∴可得圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2，∵圆经过点（1，0），（0，2），∴（1﹣a）2+（0﹣2a）2=r2，（0﹣a）2+（2﹣2a）2=r2，解之得a=，r=，因此，所求圆的方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=．故答案为（x﹣）2+（y﹣1）2=．【点评】本题给出圆的圆心在定直线上，在圆经过两个定点的情况下求圆的方程．着重考查了圆的标准方程及其应用的知识，属于基础题．16.下列说法正确的为

.①集合A=，B={}，若BA，则-3a3；②函数与直线x=l的交点个数为0或l；③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；④，+∞）时，函数的值域为R；⑤与函数关于点（1，-1）对称的函数为（2-x）.参考答案：②③⑤17.某县中学高二年级文科班共有学生350人，其中，男生70人，女生280人，为了调查男女生数学成绩性别差异，现要从350名学生中抽取50人，则男生应抽取

人.参考答案：10略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．参考答案：【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）将f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，x∈Z列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式，及f（）=﹣，求出sin（B﹣）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意B和C的度数．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=，又b=1，c=，∴由正弦定理=得：sinC==，∵C为三角形的内角，∴C=或，当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），则B=，C=．19.已知函数，．(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围；(3)设m，n为正实数，且，求证：．参考答案：（1）；（2）；（3）见解析【分析】(1)求出导函数，得到函数的极值点，解得，求出切线的斜率为，切点为，然后利用点斜式求解切线方程；(2)由(1)知，利用函数在区间上为单调递减函数，得到在区间上恒成立，推出，设，，，利用基本不等式，再求出函数的最大值，可得实数的取值范围；(3)利用分析法证明，要证，只需证

，设，，利用导数研究函数的单调性，可得,从而可得结论．【详解】，．

是函数的极值点，，解得，经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意此时切线的斜率为，切点为，则所求切线的方程为(2)由(1)知因为函数在区间上为单调递减函数，所以不等式在区间上恒成立即在区间上恒成立，当时，由可得，设，，，当且仅当时，即时，，又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，且，，所以当时，恒成立，即，也即则所求实数a的取值范围是，n为正实数，且，要证，只需证即证只需证

设，，则在上恒成立，即函数在上是单调递增，又，，即成立，也即成立.【点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围绕性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．20.计算，写出算法的程序.参考答案：s=1n=2i=1WHILE

i＜=63

s=s+n∧i

i=i+1

WEND

PRINT

“1+2+2∧2+2∧3+…+2∧63=”；s

END21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF∥PC即可得EF∥平面PAC．（Ⅱ）证明AE⊥平面PBC即可得AE⊥PF．（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），求出平面AEF的一个法向量为，由二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求出m，即可【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，所以EF∥PC．…..又因为EF?平面PAC，PC?平面PAC，…．所以EF∥平面PAC．

…..（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．PA∩AB=A所以BC⊥平面PAB．

…..由于AE?平面PAB，所以BC⊥AE．由已知PA=AB，点E是PB的中点，所以AE⊥PB．…..又因为PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．…..因为PF?平面PBC，所以AE⊥PF．…..（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0）．于是，．设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r），由得取p=2，则

q=﹣m，r=m，…．得=（2，﹣m，m）．…..由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD．即平面ABF的一个法向量为．

…..根据题意，，解得．

…..由于BC=AB=2，所以．…..22.经销商销售某种产品，在一个