2021年江苏省南通市启东东南中学高三数学文测试题含解析

2021年江苏省南通市启东东南中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列{an}的前n项和为,若，,则当取最大值时等于（）A．4

B．5

C．6

D．7

参考答案：B2.将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．3.若集合，集合,则

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.函数的零点属于区间A.

B.

C.

D.

参考答案：B略5.下列命题错误的是(

)

A．若则；B．点为函数的图象的一个对称中心；C．已知向量与向量的夹角为°，若，则在上的投影为；D．“”的充要条件是“，或（）”.参考答案：C略6.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.（5分）（2015?嘉兴二模）已知函数，其中a∈R．若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的取值范围为（）A．k≤0B．k≥8C．0≤k≤8D．k≤0或k≥8参考答案：D【考点】：分段函数的应用．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，得到x=0时，f（x）=k（1﹣a2），进而得到，关于a的方程（3﹣a）2=k（1﹣a2）有实数解，即得△≥0，解出k即可．解：由于函数f（x）=，其中a∈R，则x=0时，f（x）=k（1﹣a2），又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立．∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，∴（3﹣a）2=k（1﹣a2）即（k+1）a2﹣6a+9﹣k=0有实数解，所以△=62﹣4（k+1）（9﹣k）≥0，解得k≤0或k≥8．8.若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（

）.A.相交而不过圆心

B.相交过圆心

C.相切

D.相离参考答案：A略9.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是A.2016

B.2

C.

D.参考答案：B10.设全集,，则图中阴影部分表示的集合为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B，.图中阴影部分为，所以，所以，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式：1×2=×1×2×3，

1×2+2×3=×2×3×4，

1×2+2×3+3×4=×3×4×5，……，照此规律， 计算1×2+2×3+……+n（n+1）=

。（n*）参考答案：观察等式规律：1×2=×1×2×3，

1×2+2×3=×2×3×4，

1×2+2×3+3×4=×3×4×5，……，等式右边和相乘的有三个数，第几个式子就从几开始乘起，照此规律，1×2+2×3+……+n（n+1）=。12..已知函数定义在上，对任意的，已知，则

参考答案：1略13.已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，xR}，B＝{x|x＜1，xR}，则(?UA)∩B＝

▲

．参考答案：14.若函数的最小值为，最大值为，则＝_________．参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【试题分析】因为，所以，所以，.15.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是

参考答案：30略16.等差数列的前项和为，若，，，则

．参考答案：2117.已知上所有实根和为

参考答案：10

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M（m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且?为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由?为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使?为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，19.函数在闭区间上的最小值记为.试写出的函数表达式；作出的图像并求出的最小值.参考答案：略20.已知数列满足：，其中为数列的前项和.（Ⅰ）试求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，试求的前项和公式.参考答案：解：（Ⅰ）

①②ks5u②-①得

又时，……6分[（Ⅱ）

③④③-④得整理得：…………12分-略21.如图，正方形的边长为4，点，分别为，的中点，将△，△，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接．（Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ），平面，又平面,,由已知可得，平面；…………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面平面，则为与平面所成角，设，交于点，连，则，，又平面，平面，，………………12分在△中，，与平面所成角的正弦值为．…………………15分22.公差不为零的等差数列{an}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设an=bn+1﹣bn，b1=1，求数列{bn}的通项公式．参考答案：考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由等差数列{an}中a2，a4，a9成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的通项公式化简，得出首项与公差的关系，根据a3的值，确定出首项与公差，即可得到等差数列的通项公式；（2）分别把n=1，2，…，n﹣1代入an=bn+1﹣bn，等式左右两边分别相加，左边利用等差数列的求和公式化简，右边抵消合并后将b1的值代入，整理后即可得到数列{bn}的通项公式．解答： 解：（1）∵等差数列{an}中，a2，a4，a9成等比数列，∴a42=a2?a9，即（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d），整理得：6a1d+9d2=9a1d+8d2，即d2=3a1d，∵d≠0，∴d=3a1，又a3=a1+2d=7a