第18讲幻方与数阵图

第十八讲 性质一：幻和=中心数×3把幻方中填上字母：幻和=M，abcdefghk证明：a+e+k=M，b+e+h=M，c+e+g=M，d+e+f=M，四个式子加在一起得：(a+e+k)+(b+e+h)+(c+e+g)+(d+e+f)=4M，即(a+b+c+d+e+f+g+h+k)+3e=4M，所以3M+3e=4M，得M=3e。性质二：在幻方中，满足b+f=2g，b+d=2k，d+h=2c，f+h=2a，即幻方明角上的数的2倍是与它对角相邻的两个数的和。证明：a+b+c=M，d+e+f=M，g+d+a=M，所以(a+b+c)+(d+e+f)=2×(g+d+a)，所以(b+f)+(c+e)=2g+(d+a)，又(c+e)=3M–g=a+d，所以b+f=2g。同理可以证明其他的结论。1．在幻方中，每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在下图所示的未完成的幻方中，x应该是。13515x答案：12；解：右下角的数是5+15–13=7，上面一行中间的数是15+7–13=9，下面一行中间的数是5+15–9=11，根据幻方性质二，有2x=9+15=24，所以x=12。2．幻方是将n2个数（不重复）排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上n个数相加的和都相等，请问下图3×3幻方中x是。x35891答案：194；解：左下角的数是35+89–1=123，所以中间数是(123+89)÷2=106。所以幻和是106×3=318，所以x=318–35–89=194。3．在下图所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。答案：9；解：设三个顶点内的数分别是D、E、F，则D+A+E=12，D+B+F=12，E+C+F=12，三个式子相加的2(D+E+F)+(A+B+C)=36，所以2(D+E+F)=18，D+E+F=9。4．下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行、每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若a=4，d=19，l=22，那么b=，h=。abcdefghl答案：25；1；解：由a+d=h+l，即4+19=h+22，得h=1，由b+h=a+l，即b+1=4+22，得b=25，5．在图1，图2的空格中分别填入适当的数，使得横、竖及对角线上的三个数之和都相等，那么“？”处的数字分别为多少？8？1112？93

图1图2答案：（1）9；（2）6；解：（1）中间数是(8+12)÷2=10，所以幻和是30，中间一行最右边的数是20–11=9，所以“？”=30–12–9=9。（2）由幻方的性质二得2ד？”=9+3=12，所以“？”=6。6．在下图中每个小方格中填入一个数，使得每一行、每一列都有1、2、3、4、5，那么右上角小方格内填入的数字x应该是。54x1353231答案：1；解：左上角得空格只能填3，于是第一列的第三个数应该填4，最下面的方格填5，第二行的第三个数应该填2，第四行的第二个数填4，第五个数填5，右下角填3，第二行的第四个数填5，第五个数填4，第一行的第四个数填2，所以右上角数x=1。3542x132544153224315521437．下图是一个3×3幻方，满足每行、每列及两条对角线上三个数之和都相等，那么其中“★”代表的数是。★8102答案：21；解：由幻方的性质二知，右下角的数是(8+2)÷2=5，第三行中间数是20–2=18，所以★+2=18+5，★=21。8．下面的一排方格中，除9、8外，每个方格中的汉字都表示一个数（不同的汉字可表示相同的数），已知任意3个连续方格中的数加起来都为22，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=。走进9数学花8园答案：40；解：因为任意3个连续方格中的数加起来都为22，所以9+“数”+“学”=22，“数”+“学”+“花”=22，所以“花”=9，同理“数”=8，“园”=22–9–8=5，“走”+“进”=22–9=13，所以“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=13+22+5=40。9．所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及两条对角线上的三个数之积都相等，请将下图中“乘法幻方”补充完整，则其中的“x”所代表的数是。20x164答案：8；解：在空格中写入字母，如图所示，20ax16bcd4e则20×16=4×e，所以e=80，又20×e=16×c，所以c=100，20×a=c×e，所以a=80×100÷20=400，由20×a×x=16×b×c，所以b=5x，d×16=a×x，所以d=25x，所以20×a=b×d，即20×400=5x×25x，所以x2=64，x=8。解：仿照性质二，可得x2=16×4，解得x=8。10．将1至8这八个自然数分别填入下图中的正方体的八个顶点处的○内，并使每个面上的四个○内的数字之和都相等，则与填入数字1的○有线段相连的三个○内的数的和的最大值是。答案：21；解：因为1+2+3+…+8=36，所以每个面上的数的和是18，要使得与1相连的三个数较大，则可以考虑8、7、6，因为每个面上的数字和为18，则与1、8、7在同一面上的数为18–1–8–7=2；与1、8、6在同一面上的数为18–1–8–6=3；与1、7、6在同一面上的数为18–1–7–6=4；成下面的形式：验证符合题意，所以与1相邻的三个数的和最大是8+7+6=21。11．将从8开始的11个连续自然数分别填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数之和都相等，中间数共有种填法。答案：3；解：8+9+10+11+…+18=143，设中间○的数为a，则4×a+143可以被5整除，即4×a除以5的余数是2或7，逐一验证，4×8=32，4×13=52，4×18=72，满足要求，其他各数都不适合，所以中间数共有3种填法。12．将1到12这十二个自然数分别填入下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为。答案：26；解：一共有六条直线，每四个数相加，其中每个数都加了2次，设每四个数的和都为M，则6×M=2×(1+2+3+…+12)=2×78，解得M=26。13．如果将9个不同的自然数填入下图的9个空格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，已知A和B的差是14，B和C的差也为14，那么D和E的差是。ADBEC答案：49；解：已知A和B的差是14，B和C的差也为14，所以A与C的差是28，根据幻方性质2，2A=C+E，2D=B+C，因为B和C的差为14，所以B、D、C成等差数列，公差为7，D与C的差是7，A和C的差为28，所以E、A、C也成等差数列，公差为28，所以E与C的差是56，所以D与E的差是56–7=49。14．将1~8这8个自然数分别填入下图中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A和B两个圆圈中所填的数之差（大数减小数）是。答案：4；解：把空格填上字母：设各条直线上三个数之和都为S，则a+b+c+d+e+f=2S，a+A+e+b+A+d+c+B+f=3S，所以2A+B=S，a+b+c+d+e+f+A+B=2S+A+B=5A+3B，而a+b+c+d+e+f+A+B=1+2+3+…+8=36，所以5A+3B=36，所以A是3的倍数，如果A=3，则B=7；如果A=6，则B=2，它们的差都是4.15．在下图的每个圆圈中各填入一个不为零的数字，使得所以有线段相连的相邻两个圆圈内数的差至少为2，且每个数字都恰好出现两次，那么A×B的值是。答案：18；解：如图，标上字母：F只能为1或2，则E必为6，A只能是1或2，可得C为9，D为3，I为5或6，（图2）若B为7，则I、G、H、J、K都不能填6，所以B只能为9，G、K为7，H为3，F为1，A为2，A×B=2×9=18。16．从1、2、3、…、20这20个数中选出9个不同的数放入3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这9个数中最多有个质数。答案：7；解：若用到2，则根据奇偶性原理，最多用到6个奇数，另外3个为偶数，这样最多可以有7个质数，若不用2，在1~20之间，最多也是7个质数（不算2），所以答案为7。构造7个质数的幻方。9195711151731317．在下图的空格中填上不同的自然数，使每行、每列和两条对角线上的四个数之和都等于264，求A+B–C+D+E–F+G–H的结果是。6889A96B91C8899DEFGH9819答案：16；解：由题意知，68+89+A+96=264，所以A=11；96+88+F+19=264，所以F=61，68+91+E+19=264，所以E=86，99+D+86+61=264，所以D=18，89+91+18+H=264，所以H=66，G+66+98+19=264，所以G=81，81+18+C+96=264，所以C=69，68+B+99+81=264，所以B=16，所以A+B–C+D+E–F+G–H=11+16–69+18+86–61+81–66=16。18．A、B、C、D、E、F、G、H、M各代表一个互不相同的非零数字，其中A+B=14，M÷G=M–F=H–C，D×F=24，B+E=16，那么H代表。答案：4；解：因为B+E=16，所以B、E分别为7和9，A+B=14，所以A、B为6和8，或5和9，所以B只能为9，E=7，且A=5，D×F=24，所以D、F可能为4和6，或3和8，因为B=9，所以M≠9，F<M，所以F不能取8，这样F可能是3、4、6，若F=4，D=6，M只能取8，G=2，剩下H–C=4，只能取H=5，与A=5矛盾；若F=6，D=4，则M只能取8，G也取4，矛盾；所以只有F=3，M=6，G=2，H=4，C=1。19．如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J表示0~9这10个各不相同的数字，表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“G+C=14”，请将表中其他的数全部填好。+ABCDEF514G14H7I76J答案：+ABCDEF5141187G817141110H110743I4131076J71613109解：由题意知：A+F=5，B+F=14，所以F≤5，若F为小于等于4的数字，则B将大于9，舍去，只有F=5，B=9，A=0，由C+G=14和C+H=7看出，C<7，C≠5，也不能小于5，所以C=6，G=8，H=1，再由I+D=7，I+E=6，只能是I=4，D=3，E=2，最后是J=7.所以答案是+ABCDEF5141187G817141110H110743I4131076J7161310920．将1、2、3、…、15、16填入下图的16个方格中，并满足条件：（1）A+C+F=10；（2）B+H=R；（3）D–C=13；（4）E×M=126；（5）F+G=21；（6）G÷J=2；（7）H×M=36；（8）J×P=80；（9）K–N=Q。那么L=。ABCDEFGHJKLMNPQR答案：6；解：由E×M=126，所以E和M应该是9和14；H×M=36=4×9=3×12，所以M只能是9，E=14，H=4；又J×P=80=8×10=5×16，所以J和P可能是8和10，或5和16，由G÷J=2，J不能大于10，所以J=8或者J=5，如果J=5，则P=16，G=10，而F+G=21，则F=11，与A+C+F=10矛盾，所以只有J=8，P=10，G=16，F=21–16=5，A+C=10–5=5，因为H=4，所以A和C只能是2和3，又D–C=13，所以C≠3，取C=2，A=3，D=15，现在还没有填的数只剩下1、6、7、11、12、13，所以B+H=B+4=R，只能是7+4=11，即B=7，R=11，还有K–N=Q，只能是13–12=1，或13–1=12，即K=13，N=12，Q=1，或N=1，Q=12，最后剩下L=6.21．如下图所示，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中的数的和都是234，那么，标有★的圆圈中填入的数是。答案：78；解：给图中部分圆圈填上字母：如图所示，使★处用x表示。则a+b+e=d+c=234，a+x+d=x+c+e=x+b=234，所以a+b+e+b+c=234+234，a+x+d+x+c+e+x+b=234+234+234，所以3×x=2