2021年湖南省邵阳市洲下桥中学高二数学理期末试卷含解析

2021年湖南省邵阳市洲下桥中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，，则f(x)的值域是()A．[－，0]∪(1，＋∞)

B．[0，＋∞)

C．[－，＋∞)

D．[－，0]∪(2，＋∞)参考答案：D2.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（

）

A．

B．

C

D．参考答案：D3.设a∈Z，且0＜a＜13，若532016+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12参考答案：D【考点】整除的基本性质．【分析】把532016=（52+1）2016按照二项式定理展开，再根据

（52+1）2016+a能被13整除，求得a的值．【解答】解：∵a∈Z，且0＜a＜13，∵532016+a=（52+1）2016+a=?522016+?522015+…+?52+1+a能被13整除，∴最后2项的和能被13整除，即1+a能被13整除，故a=12，故选：D．4.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C5.在正方体ABCD—AlB1C1D1中，P是正方体的底面AlB1C1D1(包括边界)内的一动点(不与A1重合)，Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有

A．1个

B．2个

C．3个

D．无数个参考答案：C略6.已知，则f'（2）=（）A． B． C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】导数的运算．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．【解答】解：∵f′（x）=﹣+3f′（2），∴f′（2）=﹣+3f′（2），解得：f′（2）=，故选：A．7.已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是(

)A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1参考答案：A【考点】轨迹方程．【专题】直线与圆．【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．9.复数（i是虚数单位）的实部是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】直接利用复数的除法运算把给出的复数化为a+bi（a，b∈R）的形式，则复数的实部可求．【解答】解：=．所以复数的实部为．故选B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．10.设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m?α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m?α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与直线，直线与平面的位置关系及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①如果α∥β，m?α，那么m∥β，故正确；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m?β，故错误；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；④如果m∥β，m?α，α∩β=n，那么m∥n，故正确故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数（是虚数单位），则复数的实部为

.参考答案：略12.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．参考答案：(x-1)2+y2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，利用组中值计算200辆汽车的平均时速为▲km/h．

参考答案：67略14.三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是________．参考答案：①②③④由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离a，④正确．15.已知命题：“若数列为等差数列，且(),则”，现已知数列为等比数列，且若类比上述结论，则可得到=

.参考答案：16.已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是 参考答案：解：由已知是（-∞，+∞）上的减函数，

可得

，求得≤a＜，

故答案为：．17.已知直线的极坐标方程，则极点到直线的距离为_____．参考答案：【分析】先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】由得，所以直线的直角坐标方程为，又极点的直角坐标为，所以极点到直线的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l：y=kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点．（Ⅰ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试求点P的坐标；（Ⅱ）若直线l过焦点F，且与圆x2+（y﹣1）2=1相交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|?|BE|是定值．参考答案：【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与抛物线的位置关系；圆锥曲线的范围问题．【分析】（Ⅰ）求出抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2=4y与y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0，则△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1?x2=﹣4a，求出导函数利用切线方程，结合韦达定理，化简求解即可．（Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．求出圆x2+（y﹣1）2=1圆心为F（0，1），半径为1，由抛物线的定义有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，吐槽|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，利用|AD|?|BE|=y1y2，转化求解|AD|?|BE|为定值．【解答】解：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），…设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2=4y与y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0，则△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1?x2=﹣4a．…（Ⅰ）由x2=4y有，则，…则抛物线C在处的切线为，即…①…同理抛物线C在处的切线为…②…联立①②解得，代入①式解得，即P（2k，﹣a）．…（Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．由条件可知圆x2+（y﹣1）2=1圆心为F（0，1），半径为1，…由抛物线的定义有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，…则|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，…10分，|AD|?|BE|=y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=，（或）即|AD|?|BE|为定值，定值为1．…19.（本小题满分13分）已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足。数列满足，为数列的前n项和。（I）求；d和；（II）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（I）在中，令得解得

（II）（1）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立。

，等号在n=2时取得。

此时需满足<25.

（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立.是随n的增大而增大，取得最小值－6.此时需满足<－21.

综合（1）（2）可得<－21的取值范围是.20.已知数列中，前项和（1）求这个数列的通项公式，并证明该数列是等差数列；（2）当为何值时，取得最小值，此时最小值是多少。参考答案：解：（1）

当n≥2时，

当n＝1时，适合上式

故………………4分

当n≥2时，

故数列｛a-n｝是以a1=－18为首项，以2为公差的等差数列……4分（2）

∴当n＝9或10时有最小值－90………4分

21.已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的中垂线与交于点．（I）求点的轨迹的方程；（II）设轨迹与轴的两个左右交点分别为，点是轨迹上异于的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交过且垂直于轴的直线交于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．参考答案：解：（Ⅰ）由题意得，圆的半径为，且从而所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中长轴，焦距，则短半轴，

椭圆方程为：……………….4分（Ⅱ）设，则．因为，所以，所以，所以点在以为圆心，为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．又，所以直线的方程为．令，得．又