2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）1．下列运算结果正确的是（）A． B． C． D．2．“9的算术平方根是3”用式子表示为（）A． B． C． D．3．要使有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≤1 B．x≤1且x≠0 C．x＜1且x≠0 D．x＜14．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k＝05．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根6．关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则分解因式x2+bx+c等于（）A．（x+2）（x﹣3） B．（x﹣2）（x+3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．（x+2）（x+3）7．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝08．估计的值应在（）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16 B．6 C．12 D．3010．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（）A．①③ B．②③ C．①④ D．③④二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置）11．的倒数是．12．如图，将一个矩形纸片ABCD沿着直线EF折叠，使得点C与点A重合，直线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则线段EF的长为．13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为．14．如图，平面直角坐标系中有两条直线分别为，，若l2上一点P到l1的距离为1，则P点的坐标为．15．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是．三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）16．（1）计算：（2+）（2﹣）﹣（﹣1）2；（2）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0），当b2﹣4ac≥0时，请用配方法推导出该方程的求根公式．17．解方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）（x+2）2﹣2（x+2）＝3．18．观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．19．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．小明用这种思维方式和换元法解决下面的问题，求出了方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．方程换元法得新方程 解新方程检验求原方程的解令，则2t﹣3＝0，所以20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点．（1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由．22．如图，请在边长为1的方格纸中利用格点作图（不必说明作图步骤，标出你所连接的格点即可）：（1）如图1，画一个平行四边形EFGH，使得点A，B，C，D分别在平行四边形EFGH的四条边上，且S▱EFGH＝2S四边形ABCD，并直接写出你画的平行四边形EFGH的面积；（2）如图2，画一个矩形MNPQ，使得点A，B，C，D分别在矩形MNPQ的四条边上，且S矩形MNPQ＝2S四边形ABCD，并直接写出矩形MNPQ的边长；（3）如图3，延长DA至点K，请在AK上找一点T使得S△CDT＝S四边形ABCD．23．已知，矩形ABCD，点E在AB上，点G在AD上，点F在射线BC上，点H在CD上．（1）如图1，当矩形ABCD为正方形时，且DE⊥GF，求证：BF＝AE+AG；（2）在（1）的条件下，将GF沿AD向右平移至点G与点D重合，如图2，连接EF，取EF的中点P，连接PC，试判断BE与PC的数量关系，并说明理由；（3）如图3，点F在BC上，连接EH，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若AB＝2，BC＝4，，求线段EH的长．

参考答案一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）1．下列运算结果正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式的除法法则计算．解：A、原式＝3，∴不符合题意；B、原式＝5，∴不符合题意；C、原式＝2，∴符合题意；D、原式＝，∴不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法、二次根式的性质与化简，掌握二次根式的乘法运算法则，二次根式的基本性质，双重的非负性是解题关键．2．“9的算术平方根是3”用式子表示为（）A． B． C． D．【分析】根据算术平方根的概念写出式子即可．解：9的算术平方根是3用式子表示为＝3．故选：C．【点评】本题考查的是算术平方根的概念，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，即＝x．3．要使有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≤1 B．x≤1且x≠0 C．x＜1且x≠0 D．x＜1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．解：要使有意义，则1﹣x＞0，解得：x＜1．故选：D．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k＝0【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根【分析】分别把x＝1或x＝﹣1代入方程可得到足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．解：当x＝1时，a+b+c＝0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则分解因式x2+bx+c等于（）A．（x+2）（x﹣3） B．（x﹣2）（x+3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．（x+2）（x+3）【分析】由关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，可得方程x2+bx+c＝0为：（x+2）（x﹣3）＝0，继而求得答案．解：∵关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，∴方程x2+bx+c＝0为：（x+2）（x﹣3）＝0，∴x2+bx+c＝（x+2）（x﹣3）．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程根的性质．此题难度不大，注意根据题意可得方程x2+bx+c＝0为：（x+2）（x﹣3）＝0是解此题的关键．7．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．解：∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而x1+x2＝3，∴9﹣2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．估计的值应在（）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间【分析】根据乘法的分配律以及二次根式的运算，进行计算后，再进行估算即可．解：原式＝3×﹣×＝3﹣＝3﹣63＝，∵49＜54＜64，∴7＜＜8，∴1＜3﹣6＜2．故选：B．【点评】本题考查二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，掌握二次根式的混合运算的方法是正确解答的关键．9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16 B．6 C．12 D．30【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝2，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．解：连接AC交BD于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，∵E为AD边的中点，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×6＝6．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．10．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（）A．①③ B．②③ C．①④ D．③④【分析】①由四边形ABCD和A1B1C1O是正方形可知，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可得Rt△OEF为等腰直角三角形；②由（1）易证得S四边形OEBF＝S△BOC＝S正方形ABCD，则可得出结论；③BE+BF＝BF+CF＝BC＝OA，而EF的最小值为AC＝OA，故可得结论③正确；④由AE＝BF和EF2＝BE2+BF2，即可得结论．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF+∠COE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，BE＝CF，∴∠OEF＝45°，EF＝OE；故①正确；②由①得△BOE≌△COF∴S四边形OEBF＝S△BOF+S△BOE＝S△BOF+S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，故②错误；③由①可知BE+BF＝BF+CF＝BC＝OA，EF＝OE，△BEF周长＝BE+BF+EF＝OA+OE，∵OA为定值，则OE最小时△BEF周长的周长最小，∴当OE⊥AB时OE最小，△BEF周长的周长最小，此时OE＝OA，∴△BEF周长的周长最小值＝OA+OE＝OA+×OA＝（1+）OA．故③正确，④∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，∴EF2＝AE2+CF2，又∵2OB2＝AB2＝（AE+CF）2．∴AE2+CF2≠2OB2，故④错误．故选：A．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置）11．的倒数是．【分析】根据倒数的定义和分母有理化即可求解．解：的倒数是＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了实数的性质，关键是熟练掌握倒数的定义．12．如图，将一个矩形纸片ABCD沿着直线EF折叠，使得点C与点A重合，直线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则线段EF的长为．【分析】连接AE，EF交AC于点O，根据折叠可知AE＝CE，EF垂直平分AC，由等边对等角得∠CAE＝∠ACE，由AD∥BC可得∠FAO＝∠ACE，进而得到∠FAO＝∠CAE，以此可通过ASA证明△AOE≌△AOF，得到CE＝AE＝AF＝5，OE＝OF，再根据勾股定理分别求出AB＝4、AC＝，则OA＝，再利用勾股定理求出OE即可求解．解：如图，连接AE，EF交AC于点O，∵将一个矩形纸片ABCD沿着直线EF折叠，使得点C与点A重合，∴AE＝CE，EF垂直平分AC，∴∠CAE＝∠ACE，OA＝OC，∠AOE＝∠AOF＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠FAO＝∠ACE，∴∠FAO＝∠CAE，即∠FAO＝∠EAO，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF＝5，OE＝OF，∴CE＝AE＝5，∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，在Rt△ABE中，＝＝4，在Rt△ABC中，＝＝，∴OA＝＝，在Rt△AOE中，OE＝＝＝，∴OE＝OF＝，∴EF＝OE+OF＝．故答案为：．【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和三角形全等的判定方法时解题关键13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为0．【分析】利用α是方程x2﹣3x﹣4＝0的实数根得到α2﹣3α＝4，再根据根与系数的关系得到得αβ＝﹣4，然后利用整体代入的方法计算即可．解：∵α是方程x2﹣3x﹣4＝0的实数根，∴α2﹣3α﹣4＝0，即α2﹣3α＝4，∵αβ＝﹣4，∴原式＝4﹣4＝0．故答案为0．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．14．如图，平面直角坐标系中有两条直线分别为，，若l2上一点P到l1的距离为1，则P点的坐标为（2，）或（4，）．【分析】这样的P点一定有两个，分别位于两直线交点的两侧．先利用几何关系求出两直线交点左边的P点，再利用几何关系求出两直线交点右边的P点即可．解：设直线l1交y轴于点A，直线l2交y轴于点B，l1、l2交于点C．解方程组，得，故C（3，0）．对于直线l1，当x＝0时，y＝4，故A（0，4）；对于直线l2，当x＝0时，y＝﹣1，故B（0，﹣1）．∵AB＝4+1＝5，AC＝＝＝5，∴△ABC是等腰三角形，且BC＝＝＝．∵S△ABC＝＝，∴BN＝OC＝3．过B作BN⊥AC于N，∵P到直线l1的距离小于BN，∴在点B与C之间取一点P，作PM⊥AC于M，则有PM∥BN．∴，得PC＝．设P（xP，yP），则有yP＝xP﹣1和（3﹣xP）2+＝PC2，解得P（2，）或P（4，）．∵点P在点B与C之间，∴yp＜0，故P点坐标应为（2，）．在直线l2上，于BC延长线上取一点P'，过P'作P'M'垂直于直线l1于M'，使得P'M'＝1．在△PMC和△PM'C中，∠PMC＝∠PM'C＝90°，∠PCM＝∠PCM'（对顶角），PM＝P'M'，∴△PMC≌△PM'C（AAS），∴P'C＝PC．设P'（xP'，yP'），则有yP'＝xP'﹣1和（xP'﹣3）2+yP'2＝P'C2，解得P'（2，）或P'（4，）．∵点P'在BC延长线上，∴yP'＞0，故P'点坐标应为（4，）．故答案为：（2，）或（4，）．【点评】本题主要考查了在坐标系中两直线相交问题，综合性很强，计算量非常大．15．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm．【分析】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，由旋转的性质，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，A'BA＝60°，所以△P′BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，∵∠α＝30°，DE＝3cm，∴CD＝2DE＝6cm，同理：BC＝AD＝6cm，由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C＝＝＝6（cm），因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm，故答案为6cm．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）16．（1）计算：（2+）（2﹣）﹣（﹣1）2；（2）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0），当b2﹣4ac≥0时，请用配方法推导出该方程的求根公式．【分析】（1）利用平方差公式及完全平方公式进行计算即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．解：（1）（2+）（2﹣）﹣（﹣1）2＝12﹣6﹣（2﹣2+1）＝12﹣6﹣2+2﹣1＝3+2；（2）ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0），两边同除以a得：x2+x+＝0，移项得：x2+x＝﹣，配方得：x2+x+（）2＝﹣+（）2，即（x+）2＝，∵b2﹣4ac＞0，∴将上述方程直接开平方得：x+＝±，则x＝．【点评】本题主要考查二次根式的运算及配方法解一元二次方程，二次根式的运算法则及配方法是重要知识点，必须熟练掌握．17．解方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）（x+2）2﹣2（x+2）＝3．【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法求解即可；（2）先移项，再将x+2看做整体，利用十字相乘法将左边因式分解，进一步求解即可．解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，∴（x﹣3）2＝4，则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1；（2）∵（x+2）2﹣2（x+2）＝3，∴（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0，则（x+2﹣3）（x+2﹣1）＝0，即（x﹣1）（x+1）＝0，∴x﹣1＝0或x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．18．观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：＝5；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：＝（n+1）；（3）请证明（2）中的结论．【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；（2）根据规律写出含n的式子即可；（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．解：（1）＝5；（2）＝（n+1）；（3）＝＝＝＝（n+1）．故答案为：（1）＝5；（2））＝（n+1）．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．19．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．小明用这种思维方式和换元法解决下面的问题，求出了方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．方程换元法得新方程 解新方程检验求原方程的解令，则2t﹣3＝0，所以【分析】对于方程x﹣2+1＝0，设y＝，原方程转化为y2﹣2y+1＝0，解得y1＝y2＝1，再解方程＝1得x＝1，然后进行检验得到原方程的解；对于方程x+2+＝0，设y＝，则原方程转化为y2+y＝0，解一元二次方程得到y1＝0，y2＝﹣1，再分别解方程＝0和＝﹣1，然后进行检验得到原方程的解．解：x﹣2+1＝0，设y＝，原方程转化为y2﹣2y+1＝0，解得y1＝y2＝1，当y＝1时，＝1，解得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2+1＝0，则x＝1为原方程的解，所以原方程的解为x＝1；x+2+＝0，设y＝，原方程转化为y2+y＝0，解得y1＝0，y2＝﹣1，当y＝0时，＝0，解得x＝﹣2，当y＝﹣1时，＝﹣1，方程无解，检验：当x＝﹣2时，x+2+＝0，则x＝﹣2为原方程的解，所以原方程的解为x＝﹣2．【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答；（2）利用根与系数的关系和已知可得，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）＝4+12m2＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得：，解得：，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3m2＝﹣3，∴m＝±1，∴m的值为±1．【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点．（1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由．【分析】（1）连接AE，EC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝BD，AE＝BD，从而可得AE＝CE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；（2）根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝DE，AE＝DE，从而可得∠ECD＝∠CDE，∠EAD＝∠ADE，然后利用三角形的外角性质可得∠AEC＝2∠ADC＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得EF＝AC，即可解答．解：（1）EF⊥AC，理由：连接AE，EC，∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，∴CE＝BD，∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴AE＝BD，∴AE＝CE，∵点F是AC的中点，∴EF⊥AC；（2）EF＝AC，理由：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，∴CE＝DE＝BD，∴∠ECD＝∠CDE，∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴AE＝DE＝BD，∴∠EAD＝∠ADE，∵∠ADC＝45°，∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC＝∠EAD+∠ADE+∠ECD+∠EDC＝2∠ADE+2∠CDE＝2（∠ADE+∠CDE）＝2∠ADC＝90°，∵点F是AC的中点，∴EF＝AC．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．22．如图，请在边长为1的方格纸中利用格点作图（不必说明作图步骤，标出你所连接的格点即可）：（1）如图1，画一个平行四边形EFGH，使得点A，B，C，D分别在平行四边形EFGH的四条边上，且S▱EFGH＝2S四边形ABCD，并直接写出你画的平行四边形EFGH的面积；（2）如图2，画一个矩形MNPQ，使得点A，B，C，D分别在矩形MNPQ的四条边上，且S矩形MNPQ＝2S四边形ABCD，并直接写出矩形MNPQ的边长；（3）如图3，延长DA至点K，请在AK上找一点T使得S△CDT＝S四边形ABCD．【分析】（1）连接AC，分别过点B，D，作BL∥AC，DW∥AC，可得平行四边形EFGH；（2）连接BD，作MN∥BD，且四边形MBDN是矩形，过点C作CJ∥BD，延长MB交CJ于点Q，延长ND交直线CJ于点P，四边形MNPQ即为所求；（3）连接AC，过DB作BT∥AC，交DK于点T，点T即为所求．解：（1）如图1中，平行四边形EFGH即为所求；（2）如图2中，矩形MNPQ即为所求；（3）如图3中，点T即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．已知，矩形ABCD，点E在AB上，点G在AD上，点F在射线BC上，点H在CD上．（1）如图1，当矩形ABCD为正方形时，且DE⊥GF，求证：BF＝AE+AG；（2）在（1）的条件下，将GF沿AD向右平移至点G与点D重合，如图2，连接EF，取EF的中点P，连接PC，试判断BE与PC的数量关系，并说明理由；（3）如图3，点F在BC上，连接EH，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若AB＝2，BC＝4，，求线段EH的长．【分析】（1）过点G作GM⊥BC于M，证△DAE≌△GMF（AAS），得AE＝MF，即可得出结论；（2）过点E作EQ∥PC，交BC于点Q，证△ADE≌△CDF（ASA），得AE＝CF＝QC，再证△EBQ是等腰直角三角形，得EQ＝BE，即可解决问题；（3）过点B作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，证四边形BFGM和四边形BEHN都是平行四边形，得BM＝FG＝，BN＝EH，取AD的中点I，取BC的中点J，连接IJ，则AI＝BJ＝2，得四边形ABJI是正方形，则MI＝AI﹣AM＝1，延长IJ到L，使JL＝AM＝1，IJ交BN于K，连接MK，然后证△BAM≌△BJL（SAS），得∠ABM＝∠JBL，BM＝BL＝，进而证△MBK≌△LBK（SAS），得MK＝KL，设KJ＝x，MK＝KL