2021年高考数学考前解答题专项训练：立体几何

2021年高考数学考前解答题专项训练：立体几何.如图，四面体ABCD中，AABC是正三角形，AD=CD.(1)证明：AC±BD；(2)已知4ACD是直角三角形，AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE±EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.解：(1)证明：取AC的中点。连接DO,BO.因为AD=CD，所以AC±DO.又由于4ABC是正三角形，所以AC±BO.因为DOnBO=O,所以AC，平面DOB,因为BD平面DOB,所以AC±BD.A(2)连接EO.由(1)及题设知/ADC=90°,所以DO=AO.在Rt^AOB中，BO2+AO2=AB2.又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故/DOB=90°.由题设知^AEC为直角三角形，第1页共10页

所以EO=1AC.又443©是正三角形，且AB=BD，所以EO=1BD.故E为BD的中点.从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的2，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的2，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1：1.2.如图，四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形，PA，平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明：PB〃平面AEC；(2)设AP=1,AD=/,三棱锥P-ABD的体积V=、3,求A到平面PBC的距离.解：(1)证明：设BD与AC的交点为0,连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO//PB.EO匚平面AEC,PB。平面AEC,所以PB〃平面AEC.V=1PA•AB•AD=端AB.又V=金所以AB=3,JI" 乙所以PB=-.jAB2+PA2=^2~.第2页共10页作AH±PB交PB于H..由题设知BC，平面PAB,因为AH平面PAB，所以BC±AH.,又BCnBP=B，故AH,平面PBC.. PA•AB3、；T3又AH=-PTT=什，所以A到平面PBC的距离为蜉..(2021•模拟)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//DC/ABC=90°,AD=SD,BC=CD=2aB，侧面SAD，底面ABCD.(1)求证：平面SBD，平面SAD；(2)若/SDA=120°,且三棱锥S-BCD的体积为苗，求侧面ASABJL乙的面积.解：(1)证明：设BC=a，则CD=a,AB=2a,由题意知△BCD是等腰直角三角形，且/BCD=90°,贝BD=-、.2a，/CBD=45°,所以NABD=/ABC-ZCBD=45°,第3页共10页AD=、,ALI22+DB2-2AB-DB-cos45°=承a,因为AD2+BD2=4a2=AB2,所以BDLAD,由于平面SAD，底面ABCD，平面SADn平面ABCD=AD,BD匚平面ABCD，所以BD，平面SAD,又BD匚平面SBD，所以平面SBD，平面SAD.⑵由(1)可知AD=SD=\2a,在^SAD中，/SDA=120°,SA=2SDsin60°=\；16a,作SHLAD，交AD的延长线于点H,贝ljSH=SDsin60°=*a,由(1)知BDL平面SAD,因为8方^平面SAD，所以BDLSH,又ADnBD=D，所以SHL平面ABCD,所以SH为三棱锥S-BCD的高，所以Vs-bcd=jX拳aX2Xa2="解得a=1,由BDL平面SAD,SD匚平面SAD，可得BDLSD,贝ljSB=\JSD2+BD2=飞；2书=2,又AB=2,SA=q6在等腰三角形SBA中,边SA上的高为飞/4—4=$0,则^SAB的面积为；X.\M.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且第4页共10页ZDAB=60°,EA=ED=AB=2EF=2,EF〃AB,M为BC中点.(2)若平面ADE，平面ABCD，求F到平面BDE的距离.解：(1)证明：取BD中点。连接OM,OE,因为O,M分别为BD,BC中点，所以OM〃CD,且OM=2CD,因为四边形ABCD为菱形，所以CD〃AB，因为EF〃AB,所以CD//EF,又AB=CD=2EF=2,所以EF=1CD.所以OM/£*且OM=EF,所以四边形OMFE为平行四边形，所以FM/OE.又OEu平面BDE且FMQ平面BDE,所以FM〃平面BDE.(2)由(1)得FM〃平面BDE,所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离.取AD的中点"连接EH,BH,因为EA=ED，所以EHLAD,第5页共10页因为平面ADE，平面ABCD,平面ADEn平面ABCD=AD,所以E方」平面ABCD，因为BH平面ABCD，所以EHLBH.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD=2,又/BAD=60°,所以4ABD是等边三角形，所以BH=/.易得EH=、3在RtAEBH中，因为EH=BH=p,所以BE=\：16,所以S△bde=2又平义N22一阴=华，设F到平面BDE的距离为h,连接DM，因为S△bdm=1X学义4=苧，所以由Ve-bdm=Vm-BDE，得k户X字=9hX¥，解得h=平.即F到平面BDE的距离为芈..如图，在四棱锥P-ABCD中，AD〃BC,ADLCD，Q是AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=1AD=1，CD=%;3，PB=6(1)求证：PA〃平面MQB；(2)求证：平面PADL底面ABCD；(3)求三棱锥B-PQM的体积.解：(1)证明：如图，连接AC，交BQ于N，第6页共10页连接MN,QC,P丁BC=1D,AD//BC,Q是AD的中点，.\AQ/BC,且AQ=BC,・・四边形ABCQ是平行四边形，•・N是BQ的中点，丁M是棱PC的中点，，MN/PA,丁PA。平面MQB,MNU平面MQB,•・PA〃平面MQB.(2)证明：TAD/BC,BC=1AD=1,Q是AD的中点，.二BC/QD,BC=QD,・・四边形BCDQ为平行四边形，「.CD/BQ,TAD±CD，•二BQLAD.又PA=PD=2,AD=2,Q是AD的中点，故PQ=\3又QB=CD=串,PB=/，•・PB2=PQ2+QB2,由勾股定理的逆定理可知PQLQB,又PQAAD=Q,,BQL平面PAD,又BQ匚平面ABCD，，平面PADL平面ABCD.(3)由(2)可知，PQ=\,；3BQ=\：3TPA=PD=2,Q是AD的中点，•・PQLAD,第7页共10页・•平面PAD，平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,•・PQ，平面ABCD,又M是棱PC的中点，故VB-PQM~VP-BQC-VM-BQC_1VP-BQC2VP-BQC1 111 --=2VP-BQC=2X3X2x1Xq3X336.如图，四边形ABCD中，AB±AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上，EF/AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使BE±EC.(1)若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP〃平面ABEF?若存在，求出出的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离.解：(1)线段AD上存在一点P,使得CP〃平面ABEF,AP3此时PD=2-理由如下：当PD)=3时,ADD)=1，过点P作PM/FD交AF于点及；连接EM,第8页共10页aMPAP3则有FT)=AD=5,由题意可得FD=5,故MP=3,由题意可得EC=3,又MP//FD//EC,•・MP触EC,故四边形MPCE为平行四边形，CP/ME,又丁CP。平面ABEF,ME匚平面ABEF,•・CP〃平面ABEF成立.(2)设BE=x(0<xW4),AF=x,FD=6-x,由题意可得EC±EF,又BE±EC,BEAEF=E，.二EB，平面ECDF,VAF〃BE,,AF，平面ECDF.i 11z I। 、故VA-CDF=3X2X2X(6—x)Xx=3(-x2+6x),・••当x=3时，VA_CDF有最大值，且最大值为3,此时EC=1,AF=3,FD=3,DC=2、R,AD=3%;2AC=<,/M,在aacd中，由余弦定