随机过程试题

(完整word版)随机过程试题电子科技大学研究生试卷(考试时间：至，共小时)课程名称应用随机过程 学时60学分3教学方式讲授考核日期2009年元月5日成绩FD£3It答 考核方式： (学生填写)……一、(12分)已知随机过程｛X(t),tg[-2,2]｝,X(t)=U+1,U为随机变量,服从(0,兀)上…分布.试求：的均匀..效任意两个样本函数，并绘出草图；随机过程X(t)的特征函数；(3)随机过程X(t)的均值函数，自协方差函数.解⑴饥t;u)=E[ejuX(t)]=E[eju(u+1)]=ejutE[ejuu]ej兀u—1=ejut jnuE(X(t))=E(U+1)=E(U)+1=t+-；2C(s,t)=E[X(s)X(t)]—E[X(s)]E[X(t)]=E[(U+s)(U+1)]—E[U+s]E[U+1]一，、一，、、一、n2=E(U2)—[E(U)]2=D(U)=—JL」二、(12分)设随机过程｛X(tq),-8<t<+8｝只有两条样本函数X(t,w)=2cost，且P(w1)=0.8，P(w2)=0.2，分别求：(1)一维分布函数E(0；x)和f£；x);X(t,%)=—2cost,一8<t<+8(2)二维分布函数F(0,-；x,y)。41)对任意实数teR，有 X(t)一2cos'2costp0.2 0.8特别有X(0)x(4)-克0.2 0.80.2 0.8'0, x<-2;F(0;x)=P{X(0)<x}=[0.2-2<x<2;1 2<x,x.0,x<f2;F(4；x)=P{X(-4)<x}=<0.2,-J2<x<*21, <2<x.2)F(0,2)F(0,j;x,y)=P{X(0)<x,X(4)<y}0,x<-2^y<很;=<0.2,-2<x<2,y>->/2或者一寸2<y<厄,x>-2;1,x>2,y>41.三、(12分)设随机过程W)=Xcos(®t+0)，其中s为常数，随机变量X服从瑞利分布:xL、nTOC\o"1-5"\h\zr/\ e2Q2 x>0 /八、fX(x)=[b2 (b>0)I。 x<00〜U(0,2兀)，且X与0相互独立，试求随机过程K(t)的均值函数与自协方差函数E[Y(t)]=E(X)E[cos(①t+0)]=1j+8x2e一#dxx—j2ncos(®t+y)dy=0

o20 2兀0C(s,t)=E[X(s)X(t)]—E[X(s)]E[X(t)]=E[X(s)X(t)]=E(X2)E【cos(%+0)cos(®t+0)]x2x3e"2o2=J_j+8x3e~2。2dxx-!-j2ncos(ros+y)cos(rox2x3e"2o2o20 2兀0=4o2j+8ue-udux j2n[cos"(t—s)+cos(&(t+s)+20)d00 4n0, 1=4o2x-cos"(t-s)=2o2cos"(t-s).四、(12分)设在[0,t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是X=2.5(人/分)的泊松过程，试求：在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率;第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率;相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。解记泊松过程为{N(t),t>0}

n (5X2.5)10 (12.5)10(1)P]=P{N(5)=10}=——10!——e-5乂2.5=—10-—e-12.5(2)设W10为第10位顾客出现的到达时间P2=P{W0<5}=P{N(5)>10}=井(12：)*e-12.5,t>0_ k=10 •(3)设丁是两位顾客到达间隔时间，因参数为入的泊松过程{N(t),t>0}的间隔时间序列相互独立同服从参数为入的指数分布，故两位顾客到达的平均间隔时间E{T}=1/A.五、(12分)设X(t)是一宽平稳随机过程,其自相关函数为R(t,t)=et'；2)2TOC\o"1-5"\h\z若y(t)=2X(t)+dx(t)，试求Y(t)与Y(t)的自相关函数。

dt 1 2解记R(t,t)=R(t-1)=R(t)=e-(2)2X12X1 2X因R(t)=[e-(；)2]〃=[--e<?]'=(反--)e-(；)2,即R^T)在T=0处二次可微，其均方导数过程Xf(t)x 2 42为平稳过程，有R(t，t)=E{[2X(t)+X'(t)][2x(t)+X'(t)]}Y12 1 1 2 2=E[4X(t)X(t)]+2E[X'(t)X(t)]+2E[X(t)X'(t)]+E[X'(t)X'(t)]}12 12 12 12=4R(t)+2[R(t)]+2[R(t)]+R (t)=4RXx(t)+2[RX(T)]-2[Rf(?)]-R〃(S=4Rx(t)-R"(t)=[4-§+ 仕[9-:]e-(2)242 24X(n)-1六、(12分)设X(1),XX(n)-1P.i试求下列概率：-n>1令Y(n)=弋X(k)(n>1)P.i试求下列概率：k=1(1)P{X⑴>0,Y(2)>0,Y⑶>0,Y(4)>0}(2)P{Y(1)丰0,Y(2)丰0,Y(3)丰0,Y(4)丰0}解因X(1),X(2),…是独立同分布的随机变量序列，所以和过程Y(n),(n>1)是平稳独立增量过程，从而是齐次马氏链。又因Y(n)=Y(n-1)+X(n),且Y(n-1)和X(n)相互独立，故对n=1,2,3,...P..=P{Y(n)=jY(n-1)=1}=P{Y(n-1)+X(n)=j|Y(n-1)=1}=P{Y(n-1)+X(n)=j|Y(n-1)=1}=P{X(n)=j-l|Y(n-1)=1}0.3,j=1-1;=P{X(n)=j-1}={0.7,j=i+1；0,其他P{X⑴>0,Y⑵>0,Y(3)>0,Y(4)>0}=P{Y(1)>0,Y(2)>0,Y(3)>0,Y(4)>0}=P{Y(1)=1,|JY(2)=)UY(3)=》UY(4)=i}=，2=02 i3=1,3 i4=0,2,423ZZ£P{Y⑴=1,Y(2)=i,Y(3)=i,Y(4)=i}4P{X(1)>0,Y(2)>0,Y(3)>0,Y(4)>0}=£££P{Y(1)=1}ppp=0.72x1.3=0.637i2=0,2i3=1,3i4=0,2,4 "2”3』4P{Y(1)了0,Y(2)更0,Y(3)，0,Y(4)更0}=P{Y⑴丰0}P{Y⑵丰01Y(1)丰0}P{Y⑶丰01Y⑴丰0,Y(2)丰0}P{Y(4)更01Y⑴了0,Y⑵了0,Y⑶了0}=P{Y(1)丰0}P{Y⑵丰01Y⑴了0}P{Y⑶了01Y⑵丰0}P{Y(4)丰01Y⑶丰0}P{Y(1)手0,Y(2)，0,Y(3)丰0,Y(4)丰0}=0.73+0.73x0.3+0.33+0.33x0.7=0.4918状态转移矩阵为七、(16分)已知齐次马氏链{X(n),n=0,1,2,...}的状态空间为E={1,2,3},状态转移矩阵为-31-20-31-43-4-31-41-47(1)画出概率转移图；(2)求二步转移矩阵及转移概率p(4)；13(3)此链是否为遍历的，试求其平稳分布.解(1)(2)P2=3311---5dIL一r-/-24一5410243一8L/2。-cc]4J/*£因｛X(n),n=0,1,2,...｝齐次马氏链，有p(4)=P4=P2P2，故15 15 24 7 15 2P(4)=p(2)p(2)+p(2)p(2)+p(2)p(2)=一x 1 X 1 X—=0。456813 1^13 1^23 与3七3 54 54 54 24 54 8(3)因对任意i,jeE，有p(2)>0,P是正则阵，根据遍历性定理此马氏链是遍历的，且正则(遍历)马氏链的极限分布是平稳分布，需求P的不动点概率向量n=(匕,兀2,兀J，即满足1312131312131434兀Xz=l

-3•z•z兀sz=l2•z•z兀Xz=l3n解得平稳分布为「兀nn]=三二2L1 2 3」292929八、(12分)设｛W(t),t>0｝是参数为c2的维纳过程，a为一正常数，令X(t)=W(t+a)-W(t) t>0试证明｛X(t),t>0｝是严平稳的正态过程。证明维纳过程是平稳独立增量且有X(t)=W(t+a)・W(t)~N(0,a”，故m(t)=E[X(t)]=E[W(t+a)-W(t)]=0,R(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]X=R(t+a,t+a+t)-R(t+a,t+t)—R(t,t+a+t)+R(t,t+t)=o2[min(t+a,t+a+t)—min(t+a,t+t)—min(t,t+a+t)+min(t,t+t)]=o2([t+a+min(0,t)]—[t+min(a,t)]—[t+min(0,t+a)]+[t+min(0,t)]=o2[a+2min(0,t)—min(a,t)—min(0,a+t)]o2(a—|t|), \t\<a;=<0, |t|>aRX(t,t+T)与t无关，X(t)是宽平稳过程得证.又因｛W(t),t>0｝是正态过程，下面证明｛X(t),t>0｝也是正态过程。TOC\o"1-5"\h\z对V0vt<tv・・・vt,n是任意的正整数.把t,t，…,t和t+a,t+a，…,t+a重新按从小到从的顺序1 2 n 12n1 2 n列如下：0vt'<t'〈…<t' <t',1 2 2n-1 2n考虑随机向量[W(t),W(t•)-W(t•),...,W(t• )-W(t1 ),W(t1)-W(t• )]T1 2 1 2n—1 2n-2 2n 2n—1因为维纳过程｛W(t),t>0｝是平稳独立增量的正态过程，则上述随机向量是由2n个相互独立的正态随机变量(可以是退化的)所构成的随机向量。从而它是2n维的正态随机向量(可以是退化的)。对任意的t，一定存在m和k，使得匕=t'vt'+^=t+a从而有X(t)=W(t+a)-W(t)=W(t' )-W(t'