《高等数学》各章知识点总结-第1章

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结

1、极限的概念（1）数列极限的定义

给定数列{xn}，若存在常数a，对于随意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于n>N时的一切n,恒有

|xn-a|>）有定义，假如存在常数A,对于随意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X）使得当x满足不等式0时）恒有|f(x)-A|?>当00:xxxxδ-?>当()xXxX或时，恒有()fxAε-使得对,nN

+

?∈恒有nxM≤

（ii）若0

lim()xxfxA→=，则0M?>当0:0xxxδ>当xX>时，有()fxM≤

（3）局部保号性

（i）若axnn=∞

→lim且0(0)aa>时，恒有0(0)nnxx>当0:0xxxδ时有nnnyxz≤≤

②limlimnnnnyza→∞

→∞

==，

则limnnxa→∞

=

给定函数(),(),()fxgxhx，

若①当0

0(,)xUxr∈（或xX>）时，有()()()gxfxhx≤≤②00()

()

lim()lim()xxxxxxgxhxA→∞→∞→→==，

则0()

lim()xxxfxA→∞→=

（ii）单调有界准则

给定数列{}nx，若①对nN+?∈有11()nnnnxxxx++≤≥或②()Mm?使对nN+?∈有

()nnxMxm≤≥或则limnnx→∞

存在

若()fx在点0x的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0

lim()xxfx-→（或0

lim()xxfx+→）存在

4、极限的运算法则

（1）若0()

lim()xxxfxA→∞→=，0()

lim()xxxgxB→∞→=

则(i)0()

lim[()()]xxxfxgxAB→∞→±=±

(ii)0()

lim[()()]xxxfxgxAB→∞→?=?

(iii)0()

()lim

()xxxfxA

gxB

→∞→=?（0B≠）

（2）设（i）0

0()lim()xxugxgxu→==且（ii）当0

0(,)xUxδ∈时0()gxu≠

（iii）0

lim()uufuA→=

则0

lim[()]lim()xxuufgxfuA→→==

5、两个重要极限

（1）

0sinlim

1

xx

x→=()0sin()

lim

1()uxuxux→=

sinlim

0xxx∞→=，1limsin1xxx→∞=，01

limsin0xxx

→=

（2）1lim1x

xex→∞?

?+=???)

()(1lim1;()xuuxeux→∞??+=???

1

lim(1)x

xxe

→+=()

()0

1()

lim1();vxxvvxe→+=

6、无穷小量与无穷大量的概念（1）

若0()

lim

()0xxxxα→∞→=，即对0,0,εδ?>?>当0:0xxxδ）

时有()xαε?>>或当0:0xxxδ）时有()fxM>则称当0()()xxxfx→→∞或，无穷大量

7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）00()

()

lim()()(),lim

()0xxxxxxfxAfxAxxαα→∞→∞→→=?=+=其中

（2）00()

()

1

lim()0()0lim

()

xxxxxxfxfxfx→∞

→∞→→=≠?=∞（）（3）00

()

()

1

lim()lim

0()xxxxxxgxgx→∞→∞→→=∞?=（4）0()

lim()0,xxxfxM→∞

→=∞?>且当0:0xxxδ）时有()gxM≤，则

0()

lim[()()]xxxfxgx→∞→+=∞

（5）0()

lim()00,xxxfxM→∞→=?>且当0:0xxxδ）时有()gxM≤，则

0()

lim[()()]0xxxfxgx→∞→?=

（6）0()

lim()0(1,2,,)kxxxfxkn→∞→==L则01

()lim

()0,n

k

xkxxf

x→∞

=→=∑01

()lim

()0,n

k

xkxxf

x→∞

=→=∏

8、无穷小量的比较

000()

()

()

lim()0,lim()0,lim()0→∞→∞→∞→→→===xxxxxxxxxfxgxxα

若（1）0()

()

lim

0,()

xxxfxCgx→∞→=≠，则称当0()xxx→→∞或时，()fx与()gx是同阶无穷小。

（2）0()

()

lim

1()

xxxfxgx→∞→=，则称当0()xxx→→∞或时，()fx与()gx是等价无穷小，记作()()fxgx:（0()xxx→→∞或）

。（3）0()

()

lim

0()

xxxfxgx→∞

→=，则称当0()xxx→→∞或时，()fx是()gx是高阶无穷小，记作()(())fxogx=（0()xxx→→∞或）。

（4）0M?>0

0(,)xUxδ?∈（或xX>），有()

()

fxM

gx≤，则记()(())fxOgx=（0()xxx→→∞或）

（5）0

()

()

lim0(0)[()]k

xxxfxCkxα→∞→=≠>，则称当0()xxx→→∞或时，()fx是()xα是k阶无穷小，

9、常用的等价无穷小

当0x→时，有（1）sin~~arcsin~tan~arctan~ln(1)~1,+-x

xxxxxxe

（2）2

11cos~

.2

xx-（3）1~ln(01),xaxaa-?>当0:xxxδ-<时，有0()().fxfxε-<

则称函数()yfx=在点0x处延续

设()yfx=在点00(,]xxδ-内有定义，若0

0lim()()xxfxfx-→=，则称函数()yfx=在点0

x处左延续，

设()yfx=在点00[,)xxδ+内有定义，若0

0lim()()xxfxfx+→=，则称函数()yfx=在点0

x处右延续

若函数()yfx=在(,)ab内每点都延续，则称函数()yfx=在(,)ab内延续

若函数()yfx=在(,)ab内每点都延续，且lim()()xa

fxfa+→=，lim()()xb

fxfb-

→=，则称函数()yfx=在[,]ab上延续，记作()[,]fxCab∈

（2）函数的间断点

设()yfx=在点0x的某去心邻域()o

Ux内有定义

若函数()yfx=：

（i）在点0x处没有定义

（ii）虽然在0x有定义,但0

limxx→f(x)不存在;

(3)虽然在0x有定义且0

limxx→f(x)存在,但0

limxx→f(x)≠f(0x);

则函数f(x)在点0x为不延续,而点0x称为函数f(x)的不延续点或间断点。

设点0x为()yfx=的间断点，

（1）0

0lim()lim()()xxxxfxfxfx+-→→?≠，则称点0x为()yfx=的可去间断点，若（2）

00

lim()lim()xxxxfxfx+

-?

→→≠，则称点0x为()yfx=的跳动间断点，

可去间断点与跳动间断点统称为第一类间断点

（3）0

lim()lim()xxxxfxfx+-→→=∞=∞或则称点0x为()yfx=的无穷型间断点，

（4）若0

lim()lim()xxxxfxfx+-→→或不存在且都不是无穷大，则称点0x为()yfx=的振荡型间

断点，

无穷间断点和振荡间断点统称为其次类间断点11、延续函数的运算（1）延续函数的四则运算若函数()fx()gx在点0x处延续

则0()

()(),()(),

(()0)()

fxfx

gxfxgxgxgx±?≠在点0x处也延续（2）反函数的延续性，

若函数()yfx=在区间xI上单调增强（或单调削减）且延续，则其反函数1

()xfy-=在其

对应的区间{(),}yxIyyfxxI==∈上也单调增强（或单调削减）且延续。（3）复合函数的延续性

设函数[()]yfgx=由函数(),()yfuugx==复合而成，0()fgUxD?o，

若（1）0

000lim()(lim()())xxxxgxugxgxu→→===或

（2）0

0lim()()uufufu→=则0

0lim[()][lim()]()xxxxfgxfgxfu→→==

（或0

00lim[()][lim()][()]()xxxxfgxfgxfgxfu→→===）

（4）初等函数的延续性

一切初等函数在其定义区间内都是延续的（5）闭区间上延续函数的性质

（i）有界性若()[,]fxCab∈，则()yfx