第二章自动控制原理课件

机械与电子工程学院西北农林科技大学杨兵力自动控制原理6/8/2023第二章线性系统的数学模型MathematicalmodelofLinearSystem6/8/2023引言1——为什么要建立数学模型控制理论研究的问题是：

1.一个给定的控制系统，它的运动有哪些性质和特征？

——系统的分析2.怎样设计一个控制系统，使它的运动具有给定的性质和特征？

——系统的综合和设计运动——泛指一切物理量随时间的变化。自然界各种物理系统的相似性

——所有运动系统均可用微分方程描述

——建立描述控制系统运动的数学模型是控制理论的基础引言6/8/2023引言2——为什么要建立数学模型从工程角度看，建立系统的运动方程和解出方程以及得出描述系统运动的曲线不是目的，而是要解决诸如以下的问题：

这些曲线有没有什么共同性质？系统参数值的波动对曲线有什么影响？怎样修改系统的参数值甚至系统的结构才能改进这些曲线，使之满足工程要求的性质？

——建立控制系统的数学模型则是研究和解决这些问题的第一步。引言6/8/2023引言3——有关数学模型的概念数学模型的定义

—控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。数学模型的形式

—有输入—输出模型和状态空间模型两种。其中，输入输出模型又有多种形式，它们各有特长和最适用的场合。—各种数学描述方法的共同基础是微分方程。数学模型的简化性和准确性的关系—在推导数学模型的过程中，我们必须在模型的简化性和准确性之间作出折中的考虑。引言6/8/2023

本章内容简介线性系统的时域数学模型—讨论描述线性控制系统的微分方程的建立控制系统的复数域数学模型—讨论用Laplace（拉普拉斯）变换为工具来描述线性控制系统，即传递函数控制系统的结构图与信号流图—讨论描述线性控制系统各元部件之间信号传递关系的数学图形法引言6/8/2023

2.1线性系统的时域数学模型

—微分方程Unit1Time-domainmodelofLinearSystem─DifferentialEquations

6/8/2023本节内容简介2.1.1列写系统微分方程的一般方法2.1.2线性定常系统2.1.3线性定常微分方程的求解2.1.4运动的模态2.1微分方程6/8/20232.1.1列写系统微分方程的一般方法现以例2-1的RC电路为例说明建立数学模型的方法2.1微分方程6/8/2023解：根据基尔霍夫定律可列写出下列方程去掉中间变量，可以得到输入输出的微分方程2.1微分方程6/8/2023建立元件或环节数学模型的几个步骤：确定系统和各元件的输入、输出变量。

由系统原理线路图画出系统方块图。从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写变化（运动）过程中的动态方程，一般为微分方程组。消去中间变量，得到输出与输入之间的微分方程。标准化，将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，将其整理为具有一定物理意义的形式。2.1微分方程6/8/20232.1.2线性定常系统用线性定常微分方程描述的系统，称为线性定常系统。线性定常系统的重要性质齐次性（均匀性、比例性）；可叠加性；频率保持性。2.1微分方程6/8/20232.1.3线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解方法有：—经典法—拉氏变换法求解线性定常微分方程的步骤：对微分方程取拉氏变换——变为s的代数方程由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式用部分分式分解的方法对输出量拉氏变换函数求反变换，就得到输出量的时域表达式。2.1微分方程6/8/2023

数学工具－拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义

设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)分段连续

则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作

⑵拉氏变换基本定理线性定理位移定理

延迟定理

终值定理

2.1微分方程6/8/2023初值定理

微分定理

积分定理

⑶拉氏反变换F(s)化成下列因式分解形式：

a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为

2.1微分方程6/8/2023b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为

c.F(s)含有多重极点时，可展开为

其余各极点的留数确定方法与上同。2.1微分方程6/8/2023例2-2有一网络，在开关S闭合前，电容上有初始电压。求：当开关瞬时闭合后，电容的端电压。解：当开关S瞬时闭合时，相当于有阶跃电压输入，列出微分方程为：2.1微分方程6/8/2023两端进行拉氏变换，可得解此代数方程，可得到2.1微分方程6/8/2023展开成部分分式对上试两端求拉氏反变换，可得2.1微分方程6/8/2023结论：1.其解=零初始条件解+零输入解2.解的两部分的分母相同。3.解的两部分具有相同的形式：4.运动模态的概念。2.1微分方程6/8/20232.1.4运动的模态——微分方程解的结构

线性微分方程的解是一个特解与对应的齐次微分方程的解之和。其中齐次微分方程的解代表对象的自由运动，由微分方程的特征根所决定。2.1微分方程6/8/2023它的特征方程是特征方程的根是所以齐次微分方程的解就是现以例来说明运动模态的概念，设系统的齐次微分方程为

运动的模态（1）2.1微分方程6/8/2023运动的模态（2）这里，系数C1和C2是由初值决定的一组实常数，任意给定一组初值，必可确定唯一的一组实系数C1、C2。反之，任意给定一组实系数C1、C2。就确定了一解。2.1微分方程6/8/2023第一，任意两个形如（2）的解之和必仍是一个解。也即，齐次微分方程（1）的所有的解的全体在实数域上构成向量空间。亦即一个控制系统的所有的自由运动的全体，在实数域上构成向量空间。第二，齐次微分方程（1）的任何一个解总可表为这两个函数的线性组合：由此，可得出三项重要的结论：所以，是齐次微分方程的一个基本解组。2.1微分方程6/8/2023运动的模态（3）第三，我们把这一组函数称为齐次微分方程（1）的运动的模态。一般说，如果微分方程的特征根是1，2，…n，其中没有重根，则把函数定义为该微分方程所描述的运动的模态。基本解组或基不是唯一的，而模态是唯一的。模态也叫振态。每一种模态代表一种类型的运动形态。下面，我们给出了运动模态的五种形式。2.1微分方程6/8/2023Y(t)=Ce-λt特征根分布图：0-λj0运动模态1特征根为负实数-2.1微分方程6/8/2023Y(t)=Ce-σtsin(ωt+α)特征根分布图：运动模态20-σjω特征根为共轭复根=j2.1微分方程6/8/2023Y(t)=Csin(ωt+α)特征根分布图：运动模态30jω0特征根为一对共轭虚根=j2.1微分方程6/8/2023Y(t)=Ceatsin(bt+α)特征根分布图：0ajb0运动模态4特征根为共轭复根=ajba>02.1微分方程6/8/2023Y(t)=Ceat特征根分布图：0aj0运动模态5特征根为正实数a2.1微分方程6/8/2023运动模态总结j0j0j0j0j02.1微分方程6/8/20232.2非线性数学模型的线性化

Unit2

Linearizationofnonlinearmathematical

model6/8/2023非线性数学模型的线性化我们以【例2-3】为例说明非线性微分方程的线性化方法。

【例2-3】已知电加热炉的方程为其中输入为加热电压u，输出为炉温θ，Ｒ为热阻，Ｃ为热熔，r为电阻丝电阻。试求非线性微分方程在工作点附近的线性化方程。2.2非线性数学模型的线性化6/8/2023非线性方程的线性化方法：设连续变化的非线性函数为，在工作点处展成泰勒级数为：

当很小时，可忽略上式中二次以上各项，则有：2.2非线性数学模型的线性化6/8/2023或令则可得线性化增量方程为：即得到函数在工作点附近的线性化方程为和2.2非线性数学模型的线性化6/8/2023【例2-3】解：设稳定工作点为，其稳态方程为将在附近展成泰勒级数，则2.2非线性数学模型的线性化6/8/2023将上式代入原方程中，并用工作点值与增量之和表示瞬时值，得用上式减去稳态方程，得以增量表示的线性化方程2.2非线性数学模型的线性化6/8/2023非线性微分方程的线性化小结将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的曲线。2.2非线性数学模型的线性化6/8/2023说明：A.线性化时各自变量在工作点X0处必须有各阶导数或偏导数存在,如图所示的继电器特性,X0的各界导数处处不存在，本质非线性；B.必须明确工作点的参数；C.如果非线性运动方程较接近线性时，则线性化运动方程对于变量的增量在较大范围适用，反之，只能适用于变量的微小变化。继电器特性X02.2非线性数学模型的线性化6/8/20232.3线性系统的复域数学模型

—传递函数

Unit3TransferFunctionofControlSystem6/8/2023本节内容简介2.3.1

传递函数的定义2.3.2传递函数的性质2.3.3

传递函数的零点与极点2.3.4

典型环节的传递函数2.3传递函数6/8/20232.3.1传递函数的定义这一节我们用Laplace变换建立一种新的数学模型，即传递函数，并用传递函数来研究系统的运动。为什么我们要用传递函数来表示控制系统呢？2.3传递函数6/8/2023以例2-6为例说明传递函数的定义在零初始条件下，对方程两边取拉氏变换：2.3传递函数6/8/2023传递函数的定义定义：在零初值条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比值称为该系统的传递函数。传递函数的定义是以s为自变量的函数，这里s就是Laplace变换所用的复变量：2.3传递函数6/8/2023我们称s为复频率，称s的虚部为（角）频率。所以传递函数是一个复变函数。它具有复变函数理论所阐明的一切性质。传递函数包含了微分方程的全部系数，所以它是与微分方程这种数学模型相通的。但从形式上说，传递函数是一个函数，而不是一个方程。一方面，给我们带来运算上和作图上的许多方便，另一方面，也带来了分子分母之间相消问题。2.3传递函数6/8/2023自变量分析法数学形式微分方程时间t时间域分析法方程传递函数复频率s频率域分析法函数微分方程和传递函数的区别：2.3传递函数6/8/2023式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，

ai(i=1,…,n)和bj(j=0,1,…,m)是与系统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件。设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

传递函数的推导过程2.3传递函数6/8/2023即有则，这个动态系统的传递函数为对微分方程两端取拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：2.3传递函数6/8/2023传递函数只适用于线性定常系统；传递函数取决于系统的结构和参数，与输入量的大小和形式无关；传递函数只反应系统在零状态下的动态特性；传递函数一般为复变量s的有理分式，即它的分母多项式s的最高阶次n总大于或等于其分子多项式s的最高阶次m；2.3.2传递函数的性质2.3传递函数6/8/2023传递函数与微分方程有相通性；传递函数G(s)的拉氏反变换是单位脉冲响应g(t)。单位脉冲响应（单位脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。2.3传递函数6/8/2023传递函数的求取方法以RC电路为例说明系统传递函数的求法。解：（1）根据电路定理列出原始方程；

2.3传递函数6/8/2023（2）在零初始条件下，对每个方程两边取拉氏变换，得：（3）消去中间变量，化简得：2.3传递函数6/8/2023

为传递函数的零点为传递函数的极点，也即微分方程的特征根。因此，它决定了所描述系统自由运动的模态。为传递系数或根轨迹增益1）传递函数零、极点的定义2.3.3传递函数的极点与零点2.3传递函数6/8/20232）传递函数的极点与零点对于运动的影响自由运动：在输入量为零时的系统的运动。强迫运动：在有输入量作用的情况下的系统的运动。传递函数的极点就是微分方程的特征根，它们决定了微分方程的自由运动的模态。设某系统传递函数为：2.3传递函数6/8/2023传递函数的零点对于运动的影响设两个对象的传递函数分别是：在零初始条件下，它们的单位阶跃响应分别是：结论：传递函数的零点影响到各模态在运动中所占的“比重”。从工程角度来看，决不能认为系统的动态性质唯一地或主要地由传递函数的极点决定，必须注意到零点的作用。2.3传递函数6/8/2023任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：1放大环节特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。式中，K为常数，称为放大系数或增益。放大环节的传递函数为：2.3.4典型环节的传递函数放大环节的微分方程为

2.3传递函数6/8/20232积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。积分环节的微分方程为其传递函数为2.3传递函数6/8/20233理想微分环节特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。理想的微分环节的微分方程为其传递函数为实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。2.3传递函数6/8/20234惯性环节惯性环节的微分方程为其传递函数为特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，输出无振荡。实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。2.3传递函数6/8/20235一阶微分环节一阶微分环节的微分方程为其传递函数为2.3传递函数6/8/20236二阶振荡环节二阶振荡环节微分方程为传递函数为2.3传递函数6/8/2023式中ξ－阻尼比

-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。2.3传递函数6/8/20237二阶微分环节二阶微分环节的微分方程为其传递函数为2.3传递函数6/8/20232.4结构图

Unit4BlockDiagrams

ofControlSystem6/8/2023本节内容简介2.4.1结构图的组成和绘制2.4.2结构图的等效变换和化简2.4结构图6/8/20232.4.1系统结构图的组成和绘制G1(S)G2(S)H(S)R(S)X1(S)X2(S)Y(S)-C(S)(S)F(S)1系统结构图的组成2.4结构图6/8/2023控制系统的结构图是由许多对信号进行运算的方框和一些信号流向线组成，它包含四个基本单元：方框信号线比较点取出点2.4结构图6/8/2023（2）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。（1）方块（BlockDiagram）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。信号线2.4结构图6/8/2023（3）比较点（合成点、综合点）SummingPoint

两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。2.4结构图6/8/2023(4)引出点（分支点、测量点）BranchPoint

表示信号测量或引出的位置注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。2.4结构图6/8/2023系统结构图的相关概念定义：应用函数框图、引出点和比较点，将控制系统的全部变量联系起来，以描述信号在系统中流通的过程的图示表示法。实质：是系统原理图与数学方程的结合，是数学模型的另一种表示法。它表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算。用途：1.进行数学运算2.直观了解系统的结构、各部件之间的关系及作用3.可以方便地求出整个系统的传递函数。2.4结构图6/8/20232系统结构图的绘制例：画出下列R-C网络的方块图

解：（1）根据电路定理列出每个元件的方程：2.4结构图6/8/2023（2）写出每个方程对应的拉氏变换式，（3）根据以上列出的4个式子作出对应的框图；（怎么绘制基本结构图？）（4）根据信号的流向将各方框依次连接起来。2.4结构图6/8/2023由图清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压产生影响，这就是负载效应。2.4结构图6/8/2023另外也可以直接画出该电路的运算电路图（如图(b)），再列出方程式，而绘制出该系统的方框图。2.4结构图6/8/2023如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。

2.4结构图6/8/2023系统结构图的绘制方法1.分析系统，考虑负载效应写出系统各部件的运动方程2.对各部件的微分方程取Laplace变换，并将它们用方框（块）表示。3.根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。2.4结构图6/8/20232.4.2结构图的等效变换和化简框图的变换：用一个框图去代替与只之等价的另一个框图，其目的通常是为了把框图化简。框图的三种基本连接形式：串联、并联和反馈

在控制系统中，任何复杂的系统主要由串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。等效变换的原则

1.前向通道中各串联函数方框的传函乘积保持不变；

2.各反馈回路所含函数方框的传函之积保持不变。2.4结构图6/8/2023等效变换方法

通过移动引出点或比较点以及交换比较点，进行方框运算将串联、并联和反馈连接的方框合并，减少内回路。2.4结构图6/8/2023由图2-24得通式：3、反馈连接图2-252.4结构图6/8/20231）负反馈连接2）正反馈连接例如4、引出点移动1）引出点后移图2-262.4结构图6/8/20232）引出点前移5、综合点移动1）综合点后移2）综合点前移2.4结构图6/8/2023右表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。

2.4结构图6/8/20236/8/202384例题求图2-35所示系统的传递函数C(s)/R(s)。解将图中引出点A后移，然后从内回路到外回路逐步化简，其过程为图2-36所示。图2-352.4结构图6/8/2023856/8/2023求传递函数图2-37（a)图2-37（b)EiEEo++－－R1C2s+－R1C2S+++---EiEo2.4结构图6/8/2023图2-37（c)图2-23（d)图2-37（e)EiEoEoR1C2S+-EiR1C2S+-EiEo2.4结构图6/8/20232.5控制系统的传递函数设系统如图2-38所示,图中R(s)—参数输入,D(s)—扰动图2-386/8/2023开环传递函数（1）系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即(2）前向通路传递函数--假设D(s)=0

打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于

C(s)与误差E(s)之比2.5控制系统的传递函数6/8/2023

从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。2.5控制系统的传递函数6/8/2023闭环传递函数令D(s)=0，则图2-38变为图2-39图2-391、参数输入作用下的闭环传函（1）闭环传函CR（S）/R（S）2.5控制系统的传递函数6/8/2023根据式（2-46）求得系统的输出为如果H(s)=1，则图2-31所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为2.5控制系统的传递函数6/8/2023请记住2.5控制系统的传递函数6/8/2023（2）闭环传函CE（S）/R（S）2.5控制系统的传递函数6/8/2023令r(t)=0，把图2-38改画为图2-40，由该图求得2、扰动D(s)作用下的闭环传递函数（1）闭环传函CD（S）/D（S）-D(s)CD(s)H(s))(2sG)(1sG图2-40输出对扰动的结构2.5控制系统的传递函数6/8/2023图2-33（2）闭环传函ED（S）/D（S）2.5控制系统的传递函数6/8/2023当系统同时受到R(s)和D(s)作用时，由叠加原理得系统总的输出为系统总的误差为2.5控制系统的传递函数6/8/20232.6信号流图与梅逊公式

信号流图和框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是数学模型一种表示。

框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。一、信号流图及其等效变换6/8/2023x1信号流图起源于S.J.Mason

利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。dx4x3x2abce1fgx5例如，已知线性代数方程为：

信号流图是一种将线性代数方程组用图形来表示的方法。

1）基本概念2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023节点：用以表示变量或信号的点称为节点，用 “o”表示。传输：两节点间的增益或传递函数称为传输。支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段称为支路。源点：只有输出支路而无输入支路的节点（与系统的输入信号相对应）。x1x4x3x2abc12）信号流图的常用术语:2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023阱点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输出节点，与输出信号相对应。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径。开通路：如通路与任意节点相交不多于一次，称为开通路。闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，而与任何其它节点相交次数不多于一次，则称为闭通路或回路。2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023回路增益：回路中各支路增益之乘积叫回路增益。不接触回路：回路之间没有任何公共节点，则称其为不接触回路。前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益。2.6信号流图与梅逊公式6/8/20231．节点代表系统的变量，源点代表输入量，阱点代表输出量，用混合节点代表变量或信号的汇合。在混合节点处，出支路的信号等于各支路信号的叠加。3）信号流图的基本性质2．支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023x1x4x3x2abc13．增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为阱点。4．对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相转化。2.6信号流图与梅逊公式6/8/20234）信号流图的简化X1X2X3X4a1a2a3X1X2X4a1a3a2a4abX1X2X1X2

1.串联支路的总传输等于各支路传输之积;2.并联支路的总传输等于各支路传输之和;3.混合节点可以通过移动支路的方法消去;4.回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路。2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023右表列出了信号流图的等效变换规则:2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023信号流图的绘制

1）由系统微分方程绘制信号流图；

2）由系统结构图绘制信号流图。2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023例题

方框图化为信号流图

试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系统的闭环传递函数。

解（a）所示的框图可化为图(b)所示的信号流图，注意：框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。图2-30表示了信号流图的简化过程。2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023求出系统的闭环传递函数（总传输）为

2.6信号流图与梅逊公式6/8/20232.6信号流图与梅逊公式6/8/2023例题2设一系统的线性方程组为绘制的步骤如图2-43所示。图2-43方程组的信号流程2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023二、梅逊增益公式梅逊公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示2.6信号流图与梅逊公式6/8/20232.6信号流图与梅逊公式6/8/2023图2-45例1试用梅逊公式求系统的闭环传递函数和2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023解：1）2）2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023

利用梅逊公式求系统总传输时,只要求出信号流图中的n、Pk、和K,代入公式计算即可。例题2：试用梅逊公式计算下图系统的总传输。2.6信号流图与梅逊公式6/8/2023=1-L1=1+