等腰三角形-优质课获奖课件

等腰三角形本课内容本节内容2.3

我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？探究

任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图.

作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D12射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线

；线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段

；点B的像是点C，点C的像是点

；线段BC的像是线段CB.从而等腰三角形ABC关于直线

对称.ABABBAD由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段

，从而AD是底边BC上的

.由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线

，因此∠BDA

∠CDA=

°，从而AD是底边BC上的

.由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线

，因此∠B

∠C.DC中线DA=90高CB=结论由此得到等腰三角形的性质定理：

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.

等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).

结论

等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).动脑筋因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，从而∠C=∠A=∠B.由三角形内角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.结论

由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E

在边BC上，且AD=AE.

求证：BD=CE.举例证明

作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴

BF=CF，∴

BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F

如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？议一议练习1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答：∠BAD=24.5°，

DC=2.2.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC

的度数.答：∠DPC=20°.

我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？探究

如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C.沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得∠ADB=∠ADC.D12沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而点B与点C重合，于是AB=AC.结论有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).结论三个角都是60°的三角形是等边三角形.

由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E

分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.

求证：△ADE为等腰三角形.举例证明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE为等腰三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？动脑筋如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°.如果顶角∠A=60°，则∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：结论有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形例3已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E

分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.

求证：△ADE是等边三角形.举例证明∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）练习1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.

求证：△OBC为等腰三角形.ABCDEO证明∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO2.

已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°.

求证：△ACE是等边三角形.证明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB，∴∠ACD=∠DCB=60°，又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等边三角形.3.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.

求证：△ABC是等边三角形.证明∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，中考试题例1

等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析

另一边长为2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，故选5.∴周长为5+5+2=12cm.中考试题例2

若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A.50°B.80°C.65°或50°

D.50°或80°解析

因为50°可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.D结束湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）执教：黄亭市镇中学

列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面产生关系。一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等）设未知数(直接设，间接设),包括单位名称.把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程.解方程,求出未知数的值(x=a).代入方程检验。检验所求解是否符合题意，写出答案。审设列找答解回顾与复习动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料?解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg.由题意可知方程变形为：1000x=800(x+20)x=80检验:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合题意.答：B型机器人每小时搬运80kg，A型机器人每小时搬运100kg.引入问题课前热身

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；

归纳概括列分式方程解应用题的一般步骤：检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根。（5）写出答案（要有单位）。例题讲解与练习例1.

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，完成全部工程，哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的

,设乙队如果单独完成施工1个月能完成总工程的

,那么甲队半个月完成总工程的

，乙队半个月完成总工程的

，两队半个月完成总工程的

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

所以乙队的施工速度快。

例2

A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。分析：

已知两边的速度之比为5：2，所以设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，而A、B两地相距135千米，则大车行驶时间

小时，小车行驶时间

小时，又知大车早出发5小时，比小车早到30分钟，实际大车行驶时间比小车行驶时间多4.5小时.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得解之得x=9经检验x=9是原方程的解当x=9时，2x=18，5x=45

答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时.例3：农机厂到距工厂15km的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。分析：设自行车的速度是xkm/h，汽车的速度是3xkm/h请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表速度(km/h)路程(km)时间（h）自行车

汽车

x3x1515x153x15找出等量关系。列出方程。汽车所用的时间＝自行车所用时间－时3232x153x15=-借助表格分析数量关系解答由学生完成。1、甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距离为30㎞，甲每小时比乙多走3㎞，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x㎞，则可列方程为()A、B、C、D、当堂练习2、某农场挖一条960m长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务。若设原计划每天挖xm，则根据题意可列出方程（）A、C、B、D、BA1、一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同.已知水流的速度是2km/h，求轮船在静水中航行的速度.练习2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。3、甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．7、一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？

6、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？4.某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.5.某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？1.甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？

2.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？

3.甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等，求甲、乙每件商品的价格各多少元？下面三个问题有什么区别和联系？议一议小结

列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.4.解:认真仔细.5.验:有两次检验.6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.作业：P36练习1、P36A2、4湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）执教：黄亭市镇中学

列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面产生关系。一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等）设未知数(直接设，间接设),包括单位名称.把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程.解方程,求出未知数的值(x=a).代入方程检验。检验所求解是否符合题意，写出答案。审设列找答解回顾与复习动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料?解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg.由题意可知方程变形为：1000x=800(x+20)x=80检验:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合题意.答：B型机器人每小时搬运80kg，A型机器人每小时搬运100kg.引入问题课前热身

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；

归纳概括列分式方程解应用题的一般步骤：检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根。（5）写出答案（要有单位）。例题讲解与练习例1.

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，完成全部工程，哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的

,设乙队如果单独完成施工1个月能完成总工程的

,那么甲队半个月完成总工程的

，乙队半个月完成总工程的

，两队半个月完成总工程的

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

所以乙队的施工速度快。

例2

A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。分析：

已知两边的速度之比为5：2，所以设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，而A、B两地相距135千米，则大车行驶时间

小时，小车行驶时间

小时，又知大车早出发5小时，比小车早到30分钟，实际大车行驶时间比小车行驶时间多4.5小时.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得解之得x=9经检验x=9是原方程的解当x=9时，2x=18，5x=45

答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时.例3：农机厂到距工厂15km的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。分析：设自行车的速度是xkm/h，汽车的速度是3xkm/h请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表速度(km/h)路程(km)时间（h）自行车

汽车

x3x1515x153x15找出等量关系。列出方程。汽车所用的时间＝自行车所用时间－时3232x153x15=-借助表格分析数量关系解答由学生完成。1、甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距离为30㎞，甲每小时比乙多走3㎞，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x㎞，则可列方程为()A、B、C、D、当堂练习2、某农场挖一条960m长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务。若设原计划每天挖xm，则根据题意可列出方程（）A、C、B、D、BA1、一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同.已知水流的速度是2km/h，求轮船在静水中航行的速度.练习2、我