原子物理第二章

原子物理第二章第一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二主要内容：2、玻尔模型3、实验验证之一：光谱4、实验验证之二：弗兰克-赫兹实验5、玻尔模型的推广重点：

玻尔模型，光谱1、背景知识第二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二§2.1、背景知识经典力学、经典电磁场理论、经典统计力学物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的“乌云”。

“紫外灾难”，由经典理论得出的瑞利－金斯公式，在高频部分趋于无穷。

“以太漂移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，以太不存在。正是这两朵乌云(后来还出现了其它更多的乌云)，不久便掀起了物理学上深刻的革命：一个导致相对论的建立，一个导致量子力学的诞生。第三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二迈克尔逊—莫雷实验量子力学狭义相对论

黑体辐射光电效应氢原子光谱康普顿效应大厦将倾经典物理学第四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二一、量子假说根据之一：黑体辐射

黑体——能完全吸收各种波长电磁波而无反射或折射的物体。且只与温度有关，而和材料及表面状态无关。若一个物体在任何温度下，对于任何波长的入射电磁波都吸收而无反射，则它被称为绝对黑体——简称黑体。第五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二热辐射的基本概念1）辐射出射度(辐出度)---R（T）单位时间内从物体表面单位面积上所辐射出来的各种波长电磁波能量的总和。2）单色辐射出射度（单色辐出度）式中dR(T)

是单位时间从物体表面单位面积上辐射的波长在vv+dv范围内的电磁波的能量。3）吸收本领物体吸收的波长在vvdv范围内电磁波的能量与相应波长入射电磁波能量之比。第六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二1、基尔霍夫定律——

任何物体的辐射在同一温度下的辐射本领和吸收本领成正比。

表明：吸收本领大的物体，其发射本领大，如果该物体不能发射某一波长的辐射能，也决不能吸收此波长的辐射能。好的吸收体也是好的辐射体。黑体是完全的吸收体，因此也是完全的辐射体。散热器件通常都要对其表面进行“发黑”处理，以增加它的散热效果。

第七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二2、斯特藩-玻耳兹曼定律——

黑体辐射的总本领与它的绝对温度的四次方成正比３、维恩定律——辐射能量分布定律

维恩位移律在波长比较短、温度比较低时符合第八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二4、瑞利－金斯定律和紫外灾难

从经典能量按自由度均分定律当时，即时，引起发散，R趋于无穷大，即所谓的“紫外灾难”。在波长比较长、温度比较高时适用第九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二５、普朗克的量子假说

对一定频率的电磁波，物体只能以h为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。h=6.62606896×10－34J·s或第十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

正因为普朗克在能量子学说与经典物理是如此不同，因此在普朗克公式正式提出后5年内，没有人对其加以理会，直到1905年，才由爱因斯坦作了发展，提出了光量子说支持普朗克的量子论。普朗克因此获得了1918年诺贝尔物理学奖。普朗克尽管有许多局限，但他毕竟是科学变革时代的一个新理论的开拓者，他放出了量子幽灵，而这个幽灵最终改变了人们对世界的看法。劳厄曾说：只要自然科学存在，普朗克的名字就永远不会被遗忘。第十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二“量子化”过程“经典”过程第十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二二、量子假说根据之二：光电效应1、光电效应的发现1887年赫兹（Hertz）发现电磁波，并确定其速度。1888年霍尔瓦希斯（Hallwachs）发现锌板在紫外线照射下产生电荷。1900年勒纳德（Lenard）实验证明，金属在紫外线照射下发射电子。1905年爱因斯坦提出光量子假说用以解释光电效应。1916年密立根验证光量子假说，测定普朗克常数。第十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二（2）截止频率或红限频率

（1）遏止电势－与入射光强无关－光电子的最大能量与光强无关

只有当入射光频率大于一定的频率o时，才会产生光电效应，光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大。2、光电效应的实验规律第十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二（3）实验结果A、响应时间非常快。几乎在光照的同时产生电流。B、光电流i与光强I成正比。C、光电流i随减速势V的增加而减小，但对于不同的I，有相同的V0。实验参数：光强I、光频率

、光电流i、减速势VD、遏止电压V0依赖于光的频率而与光强无关，与光电流也无关。第十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二3、光电效应的经典解释矛盾二：经典的决定光电子能量的是光强,因此只要时间足够长，一定能产生光电子；而光电效应必须在大于一定的频率o时，才会产生光电效应。矛盾一：经典的W与光强有关，与频率无关；而光电效应的W与光强无关，与频率有关。矛盾三：经典的驰豫时间107s

；光电效应的不超过10-9s

经典物理理论无法解释光电效应实验结果！第十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二4、光电效应的量子解释爱因斯坦公式1905年爱因斯坦发展了普朗克的量子说，认为光在空间的传播正像粒子那样运动，能量是量子化的。辐射场是由光量子（光子）组成，即光具有粒子的特性，光子既有能量又有动量。

遏止电势与频率成线性关系

光电子获得能量与光强无关，与频率有关

当入射光频率大于频率o时，才会产生光电效应第十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二三、光谱

原子的核式模型的建立，只是肯定了原子核的存在，但还不知道原子核外边的电子的情况。而且，如果应用牛顿力学和经典电磁理论分析原子的运动，就会发现与实验事实存在着尖锐的矛盾。

电磁波的频率=电子绕核转动的频率，能量的损失—转动频率变化—电磁波的频率不断改变。

想要了解原子内部的结果，研究其光谱是非常重要的。事实上电子可以在原子核的周围处于无辐射的状态，原子光谱不是连续光谱，而是分离的线状光谱。

电子绕核运动—辐射电磁波—损失能量—不稳定的系统。第十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二1666年，牛顿观察到，通过小孔的太阳光在透过棱镜时其后面形成一条彩色带，他称这条彩色带为太阳光的光谱。

光谱——电磁辐射（不论在可见区或在可见区以外）的波长（频率）成分和强度分布的纪录；有时只是波长成分的纪录。光谱是研究原子结构的重要途径之一！1、光谱每一种元素都有它自己特有的光谱线，原子谱线“携带”着大量有关原子内部结构或原子能态变化特色的“信息”。第十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二摄谱仪——把按波长展开后的光谱摄成图像。光谱仪（摄谱仪）的组成：光源、分光器、记录仪，照相设备。

不同波长的光线会聚在屏上的不同位置，因此谱线的位置就严格地与波长的长短相对应。2、光谱仪光谱仪——可以将光按波长成分展开，把不同成分的强度纪录下来。第二十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

传统的光谱仪用棱镜或光栅作为分光器，典型的棱镜摄谱仪工作原理如图所示。可见光波长范围：390nm~760nm第二十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二（a）白光光谱（b）氢光谱第二十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二线状光谱第二十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二3、光源

研究光谱的光源，除了自然光之外，传统的有火焰、高温炉、电弧、火花放电、化学放电和荧光灯。

光谱可以提供的信息的多少主要取决于光谱测量的灵敏度和分辨率。近年来，发展了利用光干涉原理的傅立叶变换光谱仪，它能有效利用光源的辐射能量，有较高的光谱分辨率和测量精度。

激光出现以后，稳定的单模激光器提供谱线非常窄的单色光，并且单色亮度高，时间特性好的光源，可用来研究快速、动态过程。第二十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二4、光谱的类别线状光谱——谱线是分明、清楚的细线状，波长的数值有一定的间隔，是不连续的。原子所发出的光谱。连续光谱——谱线是密接起来而形成连续的光谱的，波长是连续变化的。固体加热所发出的光谱。带状光谱——分段密集的，每段中不同的波长数值很多，相近的差别很小，呈一系列宽度不等的光带。分子所发出的光谱。（1）按形状分：第二十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二（2）按波长分：红外光谱、可见光谱、紫外光谱（3）按产生分：原子光谱、分子光谱第二十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二几种原子光谱第二十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二发射光谱——光源所发出的光谱。通过分析光谱，可以研究光源中的物质成分。吸收光谱——把要研究的物质放在发射连续光谱的光源和光谱仪之间，使光先通过样品后，再进入光谱仪。这样，在光谱仪上测得的光谱将是在连续背景上出现由暗线或暗带组成的光谱。

在光谱学测量中，通常测定的是波长而不是频率，用波长的倒数来表示光谱线，称之为波数，表示单位长度包含波的个数，记为。波数和频率的关系是。5、吸收与发射第二十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

氢原子光谱的发现起始于1853年，这一年埃格斯特朗首先从气体放电的光谱中找到了氢的红线，即著名的线，并测定了其波长，人们把这一年视为光谱学的开始。以后在可见区又陆续发现了另外几条谱线，即，和。谱线颜色波长红656.21nm深绿486.07nm青434.01nm紫410.12nm6、氢光谱第二十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

到1885年从某些星体的光谱中观察到的氢光谱线已达到14条。这年巴耳末（Balmer）对这些谱线进行研究，发现它们的波长有一定的规律，并可以用下式来表示：

这就是巴耳末公式，由它计算所得的结果与实验符合得很好，它所表达的一组谱线称作巴耳末系。第三十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二1889年里德伯（Rydberg）将巴耳末公式改写为用波数来表示RH称为里德伯常数

n称为主量子数。第三十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二后来，氢原子光谱的其他线系陆续被发现。普丰特系（远红外区，1924）：

赖曼系（紫外区，1914）：巴耳末系（可见光区，1985）：帕邢系（近红外区，1908）：布喇开系（红外区，1922）：第三十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二显然，以上公式可用一个普遍公式来概括：称为广义巴耳末线系，上式称为里德伯公式。上式也可以表示为：其中称为光谱项。第三十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

每条谱线的波数都可以表达为二光谱项之差。氢的光谱项是，n是整数。由氢原子光谱的情况，我们可以看出：

光谱是线状的，谱线有一定位置。即有确定的波长值，而且是彼此分立的。

谱线间有一定的关系，每个谱线系的波长可以用一个公式表达出来。不同系的谱线有些也有关系，例如有共同的光谱项。

以上是所有原子光谱的规律，对于不同的原子只是光谱项不同。第三十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

根据卢瑟福的核式模型，原子的质量几乎都集中在原子核上。这使人们联想起一个非常熟悉的图像——太阳系模型，人们把电子在核外绕原子核的运动和行星绕太阳的运动相类比，电子和原子核之间由静电引力（类似于太阳系的万有引力）作用，维持着电子在一定的轨道上不停地绕原子核旋转。这就是原子的行星模型。§2.2、玻尔模型N.Bohr(1885–1962)解释了原子光谱分立性和原子的稳定性TheNobelPrizeinPhysics1922第三十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二原子的行星模型电子在原子核库仑场中的运动电子做圆周运动的向心力为这个向心力只能由库仑力来提供，则第三十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二由此可以计算出原子系统的能量

由上式可知电子绕原子核的轨道半径r与原子的能量E有关，轨道半径r越大，能量越大（它的绝对值越小，因为E是负数）；而r越小，则能量越小，原子中的电子b被束缚得越紧。

这里，能量出现了负值，是由于把无穷远定为势能零点的原因。并不是必须这么做，只是这样做使公式最简单。第三十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二2、按照电动力学，原子所发光的频率应等于原子中电子运动的频率，由以上讨论可知，随着原子能量的减小，电子运动的轨道半径r不断变小，因此频率f也将不断增大，而且是连续变化的。因此原子发射的应该是连续光谱。但是实验观察到的原子光谱却是一系列的线状光谱，其谱线具有确定的分立的频率。1、按经典理论电子绕核旋转，作加速运动，电子将不断向四周辐射电磁波，它的能量不断减小，电子绕核运动的半径就会逐渐减小，从而将逐渐靠近原子核，最后落入原子核中。显然，这是与实际观察的事实不符，实验表明原子的大小是稳定的，其大小约为。经典理论的困难+第三十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

玻尔根据实验事实以及前人的研究成果于1913年提出了如下假设：新的规律——量子化（玻尔假设）1、定态假设。原子存在一系列具有确定能量的稳定状态，称为定态。玻尔注意到原子发射波长分立的线光谱，也就是说原子发射出的光子具有分立的，确定的能量。由此，他假设原子的能量状态也是分立的，不连续的，可分别以表示这些能量。处于一定能量状态的原子是稳定的，即使电子绕原子核作加速运动也不会发生电磁辐射，这就是玻尔的定态假设。

第三十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二2、频率条件。当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，原子的能量状态发生改变，这时原子才发射或吸收电磁辐射，所发射或吸收的电磁辐射的频率由决定。和分别为跃迁前后原子的能量，h为普朗克常数。上式称为玻尔的频率规则。

上述两条假设是玻尔理论的核心，对整个量子理论的建起起了基础作用。光的吸收和辐射过程第四十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

通常用一些水平线或同心圆表示能量状态。能量最低的状态称为基态。玻尔通过这条假设将原子的状态和原子光谱联系起来。

第四十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二辐射的电磁波能量为因为则可以得到原子定态的能量为再根据得——量子化轨道半径第四十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

即：电子只可能在轨道角动量等于广义普朗克常数的整数倍的圆轨道上运动。由此可见，是轨道角动量的最小单元。——

量子条件

3、角动量量子化条件。氢原子中，电子能够实现的轨道必须满足下列条件或第四十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

角动量量子化还可以从电子的波动性来理解，德布罗意认为物质的运动伴随以波，要使电子绕核运动稳定的存在，伴随电子的波必须是一个驻波，波的相位不变，否则，电子波必将毁掉。

因而，电子绕核回转一周的周长必须是其相应波长的整数倍，即又根据德布罗意波长得即玻尔的角动量量子化条件第四十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

玻尔将这三个假设和行星模型结合在一起，推导出了氢原子的大小和能级。玻尔的这几个假设是否正确？只有通过实验检验。4、数值计算法引入组合常数：第四十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二根据氢原子的半径公式，可求得最小半径（n=1）为这就是玻尔第一轨道半径。同理，根据氢原子的能量公式，可求各能级的能量其他轨道半径分别是它的1、4、9…n2倍。第四十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二令——精细结构常数则能量表达式为当n=1时，基态能量当时，电离能物理意义：它实际上是氢原子的基态轨道上电子的速度与光速之比。是电磁相互作用中电荷之间耦合强度的一种度量，或者说就是电磁相互作用的强度。第四十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二可以看出，当n=1时所以——玻尔第一轨道速度即电子的速度为光速的137分之一。hc——联系两种能量表达形式的桥梁！则里德伯常数可以表示为第四十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二§2.3、实验验证之一：光谱一、氢光谱核系里德伯常数的理论值与实验值的差异质心系第四十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二1914年玻尔提出二体运动的模型当时，则在里德伯公式中电子与核之间的距离第五十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

一般用能级图来形象地表示原子量子化的能量值，在能级图上用一条横线或一个轨道表示原子可能有的一个能量值，称为一个能级。其高度或间隔是按能量大小成比例画出来的。能量随n增加而迅速升高，其绝对值反比于。氢原子的玻尔轨道和能级第五十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二n氢原子光谱中的不同谱线αβγδ6562.794861.334340.474101.74巴尔末系-13.6-3.39-1.51-0.850EeV12348连续区n=n=n=1215.681025.83972.54赖曼系18.75帕邢系40.50布喇开系第五十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二激发态（excitedstate）赖曼系巴耳末系帕邢系能级（energylevel）电子轨道第五十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二注意：

能量越大，波长越短

能量可以直接相加或相减，而波长却不能

光谱中显示的每一条谱线，都是原子在能级之间跃迁时所发出的辐射。玻尔模型成功地解释了氢原子光谱，解开了近三十年的“巴尔末公式”之谜。第五十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

玻尔理论不仅讨论了氢原子的具体问题，还包含着关于原子的基本规律。现在作为普遍的规律表述为：玻尔理论中的普遍规律

从以上的讨论中我们可以看到玻尔理论是建立在物理学三个方面的进展基础上的：（1）光谱的实验资料和经验规律；（2）以实验为基础的原子的核式结构模型；（3）从黑体辐射的事实发展出来的量子论。第五十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二①原子只能较长久地停留在一些稳定状态（定态）。原子在这些状态时，不发出或吸收能量；各定态有一定的能量，其数值是彼此分立的。原子的能量不论通过什么方式发生改变，只能使原子从一个定态跃迁到另一个定态。②原子从一个定态跃迁到另一个定态而发射或吸收辐射时，辐射的频率是一定的。

这些规律不仅对一切原子是正确的，而且对其他微观客体也是适用的，因而是很重要的普遍规律。量子化是微观客体的特征，也可以说是它的基本性质。第五十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二例1、氢原子由基态被激发到n=4的激发态，请问：（1）原子吸收的能量。（2）原子回到基态时可能发出的波长，并表明它们所属的谱系。解：（1）由量子化能量表达式可知所以原子吸收的能量为第五十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二（2）从第四激发态回到基态时，其可能的辐射波长为：（赖曼系）（巴尔末系）（帕邢系）（赖曼系）（巴尔末系）（赖曼系）第五十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二二、类氢光谱类氢离子

——

是指原子核外只有一个电子，而核电荷大于1的体系。例如：

这一系列也叫作氢原子的等电子序列。玻尔理论也可以成功应用于这些体系中。所不同的是，以上公式中的需要置换成。其里德伯公式为第五十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二1897年天文学家毕克林（Pickering）在星体的光谱中发现了一个很像氢原子巴耳末系的光谱线系，称为毕克林线系。类氢离子光谱的具体例子He+光谱第六十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

由玻尔原子理论可以很好地解释氦离子的毕克林系，并预言了后来发现的氦离子的其他谱线系：福勒系及第一和第二赖曼系。第二赖曼系（1916）：毕克林系（1897）：福勒系（1914）：第一赖曼系（1916）：第六十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二对二次电离的，Z=3，三次电离的，Z=4。这两种离子的光谱，应分别由以下二式代表对于类氢离子，按玻尔理论的，若量子数m，n取得合适，类氢离子的部分谱线应和氢原子的谱线完全重合。但实验观察到的它们的波数略有差别。导致此差别的原因是由于不同原子或离子的里德伯常数的差别，这又是由不同的原子核质量引起的。第六十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二三、肯定氘的存在

利用R与原子核质量的相关关系，可以用来识别元素的同位素，重氢氘的发现就是一个例子。

起初有人从原子质量的测定问题中估计有质量是氢的2倍的重氢存在。但即使存在，含量也很低（现在知道是氢的0.0148%），因此它的谱线很弱，不容易观察到。1932年美国化学家尤雷（Ureg）把3L液氢蒸发到不足1mL，这样就提高了剩余液氢中重氢的含量（平常氢很容易蒸发），将其装入放电管摄取其光谱。

第六十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二结果发现，在氢的线（656.279nm）的旁边还有一条谱线（656.100nm）两者只差0.179nm。他假定这条谱线是重氢氘（D）发出的，并认为这种重氢的质量，是氢的一种同位素。由里德伯常数所以第六十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二选择氢和氘与光谱表达式中m和n都相同的同一条谱线，则由公式得于是

计算值与实验值符合得很好，从而证实了氘的存在。尤雷的这一工作促进了同位素化学的进展，为此他获得了1934年的诺贝尔化学奖。第六十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二例2、试计算氘的里德伯常数，并给出轻氢和重氢的巴耳末系中前四条谱线的波长差。解：重氢原子的里德伯常数为

设和为氢和氘从n态到m=2态跃迁辐射的光波长，则

第六十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二所以计算结果列表如下：656.285486.132434.049410.1730.1790.1320.1180.112第六十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二四、非量子化轨道前面介绍了量子化轨道及能量当时，，而，电子已远离原子核，不再受到核电场束缚作用，成为一个自由电子，这时的原子处于电离状态，相应的势能为零。

已知基态的能量为-13.6eV，则氢原子电离能和结合能都为13.6eV。第六十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二自由电子的能量由它的动能决定，等于，所以能量是正值，并可以连续地变化。这相当于能级图上的连续能量区。

具体情况是，有些电子离原子核很远时，具有动能（是正值），这时势能是零，所以总能就等于动能。当这电子向原子核接近时，它走的路径按照力学是一个双曲线的一支，轨道是不闭合的，在这轨道上任何点的能量等于电子离原子核很远时的能量，是正值，可写成

这个能量不是量子化的，可以取任何正值。第六十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

如果电子从这个非量子化轨道跃迁到一个量子化的轨道，原子就要发射一个光子，其能量为右边第一项可以是零起的任何正值，第二项相当于一个线系限的能量。所以发出的光的频率是连续变化的，它的数值从线系限起向上增加，即这连续带从线系限起向短波方向延伸。第七十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二§2.4实验验证之二：弗兰克—赫兹实验原子光谱分立性原子内部能量量子化证据一、基本想法光谱实验：从电磁波发射或吸收的分立特征证明量子态。玻尔理论：原子内部存在稳定的量子态；电子在量子态之间跃迁时伴随有电磁波的发射或吸收。TheNobelPrizeinPhysics1925第七十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

根据以上原理，1914年德国的物理学家弗兰克（Franck）和赫兹（Hertz），用电子碰撞原子的方法使原子激发，由低能态跃迁到高能态，从而进一步证实了原子能级量子化的理论。弗兰克-赫兹实验：用电子束激发原子，测量原子的激发电势和电离电势，证实原子有不连续的能级存在。

原子只能吸收或辐射相当于两定态间能量差的能量。如果处于基态的原子要发生状态改变，所具备的能量不能少于原子从基态跃迁到第一激发态时所需要的能量。第七十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

弹性碰撞——

碰撞前后电子的动能基本不变，电子几乎不损失能量，只是运动方向改变，

非弹性碰撞

——电子失去了一部分或全部动能，所失去的动能转化为原子内部的能量，使原子激发或电离。如果原子的能量状态是分立的，原子从基态跃迁到较高的能态，那电子的能量损失将也是分立的。电子在碰撞后的动能有两种可能情况：第七十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二二、弗兰克-赫兹实验K：热阴极，发射电子KG区：电子加速与Hg原子碰撞GA区：电子减速，能量大于0.5eV的电子可克服反向偏压，产生电流

弗兰克-赫兹实验的装置图如下所示A：接收极，接收电子第七十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二非弹性碰撞，电子损失能量，激发Hg原子弹性碰撞，电子几乎不损失能量电子经过次加速和非弹性碰撞，能量全部损失，电流最小。缺陷：电子动能达到4.9eV便经碰撞失去能量，无法达到更高动能。实验结果第七十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

前面所讨论的4.9伏特称为汞的第一激发电势。它表示一个电子被加速，获得4.9电子伏特的能量，这个电子如果与汞原子碰撞，则刚好能把汞原子从最低能级激发到最近的较高能级。如果汞原子从这个激发态又跃迁到最低能级，就应当释放出4.9电子伏特的能量，这时可能有光的发射，其波长可以计算出来：

实验中确实观察到这个光谱线，测得波长是253.7nm，与由激发电势算出的符合。第七十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二三、改进的弗兰克-赫兹实验K：旁热式热阴极，均匀发射电子，提高能量测量精度KG1区：电子加速G1G2区：电子与原子碰撞G2A区：电子减速1924年，Hertz测得4.9eV以上的高激发能1920年，Franck改进实验装置A：接收极，接收电子第七十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

图中显示有多处电流的下降，其中4.9伏特是以前测得的第一激发电势。其他测得的激发电势中，只有6.73伏特有相应的光谱线被观察到，波长是184.9nm。其余相当于原子被激发到一些状态，从那里很难发生自发跃迁而发出辐射，所以光谱中不出现相应的谱线。这些状态称为亚稳态。

从以上的实验结果可以看到，原子被激发到不同的状态时，吸收一定数值的能量，这些数值不是连续的，足见原子内部能量是量子化的，也就是说确实证实了原子能级的存在。这是对玻尔理论的有力支持。第七十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二电离电势的测定

如果给予原子足够大的能量，可以使原子中的电子离去，这个过程叫做电离。把电子在电场中加速，如使它与原子碰撞刚好足以使原子电离，则加速时跨过的电势差称为电离电势。赫兹曾用右图所示的仪器测量电离电势。K，K1：热阴极G：圆柱形金属网A：圆柱形阳极G1：金属网第七十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二用这种方法测量氖的电离电势

氖的电离电势为21伏特。用这种方法曾测定了多种原子的电离电势。第八十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

在光谱实验中，用波数来表示原子中量子态的能量，而弗兰克-赫兹实验则是用电子伏特来表示量子态的能量，两个实验中的观察量通过hc联系起来。第八十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

例2、在气体放电管中，一束能量为10eV的电子和单原子气体发生碰撞，发射出的辐射波长有：140.2nm，253.6nm和313.2nm。其中253.6nm的光谱较其他两个成分强。请给出相应的能级图，并给出到达阳极的电子的能量。

解：由光子波长可算得各辐射相应的能量间隔的跃迁，若以nm为单位，则由式

算得能级间隔：

由题意知253.6nm的谱线较强，说明这可能相应于原子获取能量后，由基态跃迁到第一激发态，再退激发而发出的辐射。第八十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二而它相应的能量间隔为4.89eV。

由此，可推测8.84eV相应于第二激发态。3.96eV几乎正好等于这两个激发态之间的能量差。因此，这些跃迁有关的能级图如图所示。第八十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二到达阳极的电子能量有下列几种情况：①没有和原子发生非弹性碰撞的电子，其能量仍为10eV。②和原子发生非弹性碰撞，使原子激发到第一激发态，因而电子的能量损失4.89eV，所以到阳极的电子能量为。④和原子发生非弹性碰撞，使原子激发到第二激发态，因而电子的能量损失8.84eV，所以到阳极的电子能量为。③②中的电子继续和其他原子碰撞，损失4.98eV能量，所以到阳极的电子能量为。第八十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二四、结语原子物理、量子力学发展史中的三类实验：

证实光量子的实验。黑体辐射、光电效应、康普顿效应等。

证实原子量子态的实验。光谱实验、弗兰克-赫兹实验等。

证实物质波的实验。戴维逊-革末实验等。

弗兰克-赫兹实验从另一个角度证实了原子体系中量子态的存在，并实现了对原子的可控激发。它是原子物理中非常重要的一个实验。第八十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二§2.5玻尔模型的推广一、玻尔-索末菲模型索末菲和玻尔

索末菲为了解释在实验中观察到的氢光谱的精细结构，对玻尔模型进行了修正，主要内容包括：（1）原子核的质量并非无穷大，所以电子并不是绕固定不动的原子核转动，而应该是原子核和电子绕着他们的共同质心转动。（2）电子绕核运行的轨道与行星绕日运行的轨道相似，不必是一个正圆，也可以是椭圆。（3）因为核外电子的运动速度很快，有必要考虑质量随速度变化的相对论效应。第八十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

在玻尔理论中，电子沿圆轨道运动，有一个量子化条件和一个相应的量子数n。索末菲根据经典力学理论，一个在与距离平方成反比的中心力作用下的粒子运动轨迹是椭圆，对玻尔理论作了改进，假定电子轨道是椭圆，于1916年提出了他的椭圆轨道理论。

电子在一个平面上作椭圆运动，是二自由度的运动，索末菲提出应该有两个量子化条件。用极坐标，表示轨道上的位置，与对应的动量为，与对应的角动量为。第八十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二索末菲提出的两个量子化条件是式中，和分别称为径量子数和角量子数，主量子数第八十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二对玻尔的圆轨道来说，只有一个变量,所以有

由于在有心力场中角动量守恒，因而上式积分变为

这就是玻尔的量子化条件。第八十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二对于这个体系，总能量为

在力学中我们知道，作椭圆运动的物体的总能量E只依赖于主轴的数值式中a为椭圆的长半轴。第九十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

根据上面各式可进一步推算求得椭圆轨道长半轴a和短半轴b的关系和数值为

其中，是氢原子中玻尔第一轨道半径。第九十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

从上面的式中可以看出，椭圆轨道的大小和形状仅决定于主量子数n和，而长半轴a仅由主量子数n来确定，与

无关。

因此，主量子数n相同的各椭圆轨道的长半轴相等。由上式知，短半轴b由n和共同决定，对于同一个n，如果不同，则短半轴就不相等，即角动量不相等。这样，轨道的大小和形状都是量子化的，不得任意变化的。

考虑到主量子数第九十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二所以当n取确定的值后，和的取值如下对一个n值，有n对和，其中一对是和。这就相当于n个不同形状的轨道，其中一个是圆形，n-1个是椭圆。第九十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二现在以n=3为例，其轨道数据如下表形状11圆212椭圆圆3123椭圆椭圆圆第九十四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二在索末菲的理论中，同样可求得原子的能量为这与玻尔理论的结果是相同的。

从上式中我们可知能量只决定于主量子数n，而与无关。对于同一个n，有几个可能的轨道，即有几种不同的运动状态，但这几个不同的状态的能量却都是相同的，这种情况称为n重简并（也称为退化）。

第九十五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二二、相对论修正

按照相对论原理，物体的质量随它的运动速度而改变，质量与速度的关系是式中v是物体的速度，c是光在真空中的速度。当v等于零时，，所以是物体的静止质量。当v趋近于c时，m趋近于无限大。

第九十六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二因此，按照相对论原理，运动物体的动能是这与经典公式不同。当v比c小得多时，对上式右边第一项作级数展开，且略去高阶小量，得即动能的经典表达式。第九十七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

电子在椭圆轨道中运动时，速度是变的，近原子核时快，远离原子核时慢，而保持角动量不变。所以电子的质量在轨道中是一直在改变的。这样的情况产生的效果是，电子的轨道不是闭合的，好像一个椭圆轨道有一个连续进动。n相同而不同的那些轨道，速度的变化不同，因而质量的变化和进动的情况不完全相同。因此这些轨道运动的能量是略有差别的。一个电子轨道的进动第九十八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

索末菲按相对论的力学原理进行推算，进一步揭示了电子轨道运动的这类复杂情况，并求得氢原子的能量等于可以看到，第一项就是玻尔理论的结果，第二项起是相对论效应的结果。对同一n，不同的，第二项的数值是不同的，可见同一n而不同的那些轨道运动具有不同的能量。但第二项代表的数值比第一项要小得多，所以只有微小的差别。第九十九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二三、碱金属原子的光谱

碱金属原子是具有一个价电子的原子，内部是封闭壳层，它们的结构比单电子的氢原子和类氢离子要复杂些，但同其他原子相比，还是比较简单的。

碱金属元素是锂Li、钠Na、钾K、铷Rb、铯Cs和钫Fr。它们的原子序数分别为3、11、19、37、55和87。这些元素在周期表中属于同一族，具有相仿的化学性质，都是一价的。它们的电离电势都比较小，容易被电离，它们具有金属的一般性质。第一百页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

早在19世纪末，人们就发现了碱金属原子光谱可以归纳为几个线系。以锂原子为例，可观察到4个线系，即主线系，第一辅线系，第二辅线系和柏格曼系。

从图中可以看到，各线系中相邻谱线的间隔随波数的增大而减小；每个线系都有一个线状谱和连续谱的分界线，叫线系限，两个辅线系有同一个线系限。其他的碱金属元素也有相仿的光谱系，只是波长不同。例如钠主线系的第一条线就是很熟悉的黄色光，波长是589.3nm。第一百零一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

与氢光谱的情形类似，里德伯研究出碱金属原子光谱线的波数也可以表示为两项之差式中，是谱线的波数；是线系限的波数；称为有效量子数，是由实验数据计算出来的，它不是整数，这是碱金属原子与氢原子不同之处。

对于每一个线系，测出各谱线的波数后，用适当的数据处理方法可以比较准确的求得线系限的波数，把每一条谱线的波数

代入上式，就可以求出第二光谱项和有效量子数。

第一百零二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二锂的光谱项值和有效量子数值第一百零三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二钠的光谱项值和有效量子数值第一百零四页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

在第二列中的s、p、d、f等字母是不同线系有关谱项的标记，也是相应的能级和电子态的标记。例如，对应于主线系，上式中的第二光谱项都称为p项，相应的能级是p能级，具有这样能级的电子态称为p态。

表中的有效量子数都比对应的量子数n略小一些，因此可以写成

式中，称为量子数亏损或量子改正数或量子缺。

从表中可以看出，对同一线系，值差不多相同；而对不同线系相比较，量子数l值越小的，值越大，即是l的函数，记为。

第一百零五页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二因而碱金属原子每一光谱项可写为式中的n仍为整数。于是碱金属原子光谱各谱线波数可以一般性地表示为第一百零六页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二由玻尔的频率法则，可知所以即

由此可见，下标nl表示能量与这两个量子数有关，即碱金属原子的能级不仅与主量子数有关，而且还与轨道角动量量子数l有关。在这里，原子能量E与角量子数l有关，是原子实极化和轨道贯穿的结果，这使得能量简并部分解除。第一百零七页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

从图中可以看到碱金属原子能级与氢原子能级的不同点：n相同而l不同的能级有较大差别，l越小能级越低；若n越小，则不同l的能级差别越大。当n很大时，碱金属原子能级与氢原子能级趋于一致。锂原子的最低能级是n=2。锂原子能级图第一百零八页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

在这些光谱线系中，每一个线系的线系限的波数恰好是另一个线系的第二光谱项中最大的。以锂原子为例，两个辅线系的线系限等于主线系的第二光谱项中最大的那一个，即28581.4厘米-1；柏格曼系的线系限等于第一辅线系的第二光谱项中最大的那一个，即12202.5厘米-1。从这些讨论中，就可以把锂的四个光谱线系表示为主线系第二辅线系第一辅线系柏格曼线系第一百零九页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

里德伯的研究表明：锂的主线系是由p能级跃迁到2s能级时产生的光谱线；第一和第二辅线系分别是从d能级和s能级跃迁到2p能级时产生的，因而二者应该有共同的线系限波数；柏格曼系则是由f能级跃迁到3d能级时产生的。在光谱学上，形如的光谱项可以简写为nL第一百一十页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

碱金属原子的光谱可以用同氢原子的公式类似的公式来表达。这些原子的能级，当n较大时，很接近氢原子的能级，只有当n比较小时差别较大。

考虑碱金属原子在化学上是一价的，它们很容易电离成为带一个单位电荷的离子等情况，可以设想前面讨论的那些光谱也是由于单电子的活动产生的。

碱金属元素锂、钠、钾、铷、铯、钫的原子序数分别是3、11、19、37、55、87，这些数可以列成如下形式第一百一十一页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二原子序数元素各层上的原子数KLMNsspspdsp1H1

2He2

3Li21

4Be22

5B221

6C222

7N223

8O224

9F225

10Ne226

11Na2261

规律：电子优先占据最低能态，按照s、p、d、f能量递增的规律第一百一十二页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

碱金属元素的原子都具有相似的结构，原子核和内层电子形成一个稳固的结构，称为原子实，原子实外的电子称为价电子。

碱金属原子中那些较小的电子轨道已被原子实的电子所占据，价电子只能在离核较远的许多轨道上运动，或在这些轨道之间跃迁，产生碱金属原子的光谱。例如锂原子中，原子实的两个电子占据了n=1的轨道，价电子只能处在的轨道上。

由此可见，碱金属原子和氢原子或类氢离子有相同之处，即最外层都只有一个电子；当然也有不同之处，前者原子实与一个价电子相互作用，后者是原子核与一个电子相互作用。第一百一十三页，共一百二十五页，编辑于2023年，星期二

因此，这里有两种情况是氢原子中所没有的，这都是由于原子实的存在而发生的。这就是原子实的极化和轨道在原子实中的贯穿。它们导致碱金属原子能级的这种分裂。原子实的极化

原子实是一个球形对称的结构，其中原子核带有Z个正电荷，核外有Z-1个电子。