向量和子空间投影定理

向量和子空间投影定理第一页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.0、预备知识1、向量和子空间投影定理(1)n维欧氏空间：Rn

点（向量）：x

Rn,x=(x1,x2,…,xn)T

分量xi

R(实数集)

方向（自由向量）：d

Rn,d0d=(d1,d2,…,dn)T

表示从0指向d的方向实用中，常用x+d表示从x点出发沿d方向移动d长度得到的点d0xx+(1/2)d第二页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.0、预备知识（续）1、向量和子空间投影定理(2)向量运算：x,y

Rn

n

x,y的内积：xTy=xiyi=x1y1+x2y2+…+xnyn

i=1

x,y的距离：

‖x-y‖=[(x-y)T(x-y)](1/2)

x的长度：

‖x‖=[xTx](1/2)

三角不等式：

‖x+y‖≤‖x‖＋‖y‖

点列的收敛：设点列｛x(k)｝Rn

,xRn

点列｛x(k)｝收敛到x，记limx(k)=x

lim‖x(k)-x‖=0limxi(k)=xi,ikkkx+yyx第三页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.0、预备知识（续）1、向量和子空间投影定理(3)子空间：设

d(1),d(2),…,d(m)

Rn,d(k)

0

m

记L(d(1),d(2),…,d(m))={x=

jd(j)

jR

}

j=1为由向量d(1),d(2),…,d(m)

生成的子空间，简记为L。正交子空间：设L

为Rn的子空间，其正交子空间为

L＝{xRn

xTy=0,

yL

}子空间投影定理：设L为Rn的子空间。那么

xRn，唯一xL,yL,使z=x+y,且x

为问题

min‖z-u‖

s.t.uL

的唯一解，最优值为‖y‖。特别，

L

＝Rn时，正交子空间L＝{0}（零空间）第四页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.0、预备知识（续）规定：x,y

Rn，x≤yxi≤

yi，i

类似规定x≥y，x=y，x<y,x>y.一个有用的定理设xRn，R，L为Rn

的线性子空间，

(1)若xTy≤,

yRn

且y≥

0，

则x≤0，≥

0.(2)若xTy≤,

yLRn

，

则xL，≥

0.(特别,

L＝Rn时,x=0)定理的其他形式：“若xTy≤,

yRn

且y≤

0，则x≥0，≥

0.”“若xTy≥,

yRn

且y≥

0，则x≥0，≤

0.”“若xTy≥,

yRn

且y≤

0，则x≤0，≤

0.”“若xTy≥,

yLRn

，则xL，≤

0.”第五页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.0、预备知识（续）2、多元函数及其导数(1)n元函数：f(x):Rn

R

线性函数：f(x)=cTx+b=cixi

+b

二次函数：f(x)=(1/2)xTQx+cTx+b=(1/2)ijaijxixj

+cixi

+b

向量值线性函数：F(x)=Ax+dRm其中A为mn矩阵，d为m维向量

F(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))T记aiT为A的第i行向量，fi(x)=aiTx第六页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.0、预备知识（续）2、多元函数及其导数(2)梯度（一阶偏导数向量）：

f(x)＝(f/x1,f/x2,…,f/xn)TRn

.

线性函数：f(x)=cTx+b,

f(x)=c

二次函数：f(x)=(1/2)xTQx+cTx+b

f(x)=Qx+c

向量值线性函数：F(x)=Ax+dRmF/x=AT第七页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.0、预备知识（续）2、多元函数及其导数(3)Hesse阵（二阶偏导数矩阵）：

2f/x12

2f/x2x1

…2f/xnx1

2f(x)=

2f/x1x2

2f/x22

…2f/xnx2

…

…

……

2f/x1xn

2f/x2xn

…2f/xn2

线性函数：f(x)=cTx+b,

2f(x)=0

二次函数：f(x)=(1/2)xTQx+cTx+b,

2f(x)=Q第八页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.0、预备知识（续）2、多元函数及其导数(4)n元函数的Taylor展开式及中值公式：

设f(x):Rn

R

，二阶可导。在x*的邻域内一阶Taylor展开式：

f(x)=f(x*)+fT(x*)(x-x*)+o‖x-x*‖二阶Taylor展开式：

f(x)=f(x*)+fT(x)(x-x*)+(1/2)(x-x*)T

2f(x*)(x-x*)+o‖x-x*‖2一阶中值公式：对x,,使

f(x)=f(x*)+［f(x*+(x-x*))]T(x-x*)Lagrange余项：对x,,记xx*+(x-x*)

f(x)=f(x*)+fT(x)(x-x*)+(1/2)(x-x*)T

2f(x)(x-x*)第九页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.1数学规划模型的一般形式

minf(x)

--------目标函数

s.t.xS

--------约束集合，可行集其中，SRn，f:SR，xS称（fS)的可行解最优解:x*S，满足f(x*)≤f(x),xS。则称

x*为(fS)的全局最优解(最优解),

记g.opt.(globaloptimum),简记opt.最优值:x*为(fS)的最优解,则称f*=f(x*)

为

(fS)的最优值(最优目标函数值)(fS)第十页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.1数学规划模型的一般形式（续）局部最优解:x*S，x*的邻域N(x*)，使满足

f(x*)≤f(x),xSN(x*)

。则称x*为(fS)的局部最优解,记l.opt.(localoptimum)在上述定义中，当xx*时有严格不等式成立，则分别称x*

为(fS)的严格全局最优解和严格局部最优解。严格l.opt.严格g.opt.l.opt.第十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.1数学规划模型的一般形式（续）函数形式:

f(x),gi(x),hj(x):RnRminf(x)(fgh)s.t.gi(x)

≤0,i=1,2,…,m

hj(x)=0,j=1,2,…,l矩阵形式:minf(x)，f(x)

:RnR(fgh)s.t.g(x)

≤0,g(x):RnRm

h(x)=0,h(x):RnRl

当f(x),gi(x),hj(x)均为线性函数时，称线性规划；若其中有非线性函数时，称非线性规划。第十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划一、凸集1、凸集的概念：定义：设集合SRn，若x(1),x(2)S,[0,1]，必有

x(1)＋(1-)x(2)S，则称S为凸集。规定：单点集{x}为凸集，空集为凸集。注:x(1)＋(1-)x(2)=x(2)＋(x(1)-x(2))

是连接x(1)与x(2)的线段。凸集非凸集非凸集第十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)一、凸集1、凸集的概念：例:证明集合S={x∣Ax=b}是凸集。其中，A为mn矩阵，b为m维向量。凸组合：设

x(1),x(2),…,x(m)

Rn,j≥

0

mm

j=1,那么称

jx(j)为x(1),x(2),…,x(m)的

j=1j=1凸组合。

m比较:z=

jx(j)

j=1jR

—

构成线性组合——

线性子空间j≥0,

j>0—

构成半正组合——

凸锥j≥0,

j=0—

构成凸组合——

凸集第十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)一、凸集1、凸集的概念：定理：S是凸集S中任意有限点的凸组合属于S多胞形H(x(1),x(2),…,x(m))：由x(1),x(2),…,x(m)的所有凸组合构成。单纯形：若多胞形H(x(1),x(2),…,x(m))满足，

x(2)-x(1),x(3)-x(1),…,x(m)-

x(1)

线性无关。多胞形单纯形单纯形第十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)一、凸集

2、凸集的性质：凸集的交集是凸集；（并？）凸集的内点集是凸集；（逆命题是否成立？）凸集的闭包是凸集。（逆命题是否成立？）分离与支撑：凸集边界上任意点存在支撑超平面两个互相不交的凸集之间存在分离超平面支撑强分离分离非正常分离第十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)一、凸集3、凸锥：定义：C

Rn,若xC,>0

有xC,则称C是以0为顶点的锥。如果C还是凸集，则称为凸锥。集合{0}、Rn是凸锥。命题：C是凸锥C中任意有限点的半正组合属于S0第十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)二、凸函数

1、凸函数及水平集定义:设集合SRn为凸集，函数f:SR

若x(1),x(2)S,(0,1)，均有

f(x(1)＋(1-)x(2))≤f(x(1))+(1-)f(x(2))，则称f(x)为凸集S上的凸函数。若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则称f(x)为凸集S上的严格凸函数。当-f(x)为凸函数（严格凸函数）时，则称f(x)为凹函数（严格凹函数）。严格凸函数凸函数严格凹函数第十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)二、凸函数1、凸函数及水平集：定理：f(x)为凸集S上的凸函数S上任意有限点的凸组合的函数值不大于各点函数值的凸组合。思考：设f1,f2是凸函数，设1,2>0,1f1+2f2,1f1-2f2是否凸函数？f(x)=max{f1(x),f2(x)},g(x)=min{f1(x),f2(x)}是否凸函数？

第十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)二、凸函数1、凸函数及水平集：定义：设集合SRn，函数f:SR，R

，称S={xS∣f(x)≤

}为f(x)在S上的水平集。定理：设集合SRn是凸集，函数f:SR是凸函数，则对R

，S

是凸集。注：水平集的概念相当于在地形图中，海拔高度不高于某一数值的区域。上述定理的逆不真。考虑分段函数f(x)=1(x≥0)或0(x<0)，函数非凸，但任意水平集是凸集。第二十页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)二、凸函数2、凸函数的性质：方向导数：设S

Rn为非空凸集，函数f:SR，再设x*

S,d为方向，使当

>0

充分小时有x*+d

S,

如果

lim

[f(x*+d)-f(x*)]/

存在（包括）

则称f(x)为在点沿方向的方向导数存在，记

f`(x*;d)=lim

[f(x*+d)-f(x*)]/

若f(x)在x*可导，则f`(x*;d)=[f(x*)]Td.第二十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)二、凸函数2、凸函数的性质：以下设S

Rn为非空凸集，函数f:SR2）若f凸，则f在S的内点集上连续；注：f在S上不一定连续。

例:f(x)＝2(当x=1)；f(x)＝x2(当x<1).

3）设f凸，则对任意方向方向导数存在。4）设S是开集，f在S上可微，则

f凸x*S，有f(x)≥f(x*)+fT(x*)(x-x*),xS.5)设S是开集，f在S上二次可微，则

a)

f凸xS，2f(x)半正定；

b)若xS，2f(x)正定，则f严格凸。第二十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)二、凸函数2、凸函数的性质：例：

f(x)＝x12+2x1x2+2x22+10x1-4；

f(x)＝-3x12+x1x2-x22-2x32-2x2x3+26;

f(x)＝3x12+ax1x2+2x22-4x1+6(a=5,4.5)；第二十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.2凸集、凸函数和凸规划(续)三、凸规划：当（fS）中，S为凸集，f是S上的凸函数（求min），称（fS）为凸规划；对于（fgh）,f,gi为凸函数，hj为线性函数时，（fgh）为凸规划。定理：设集合S

Rn为凸集，函数f:SRf(x)为凸集S上的凸函数。X*为问题（fs）的l.opt，则X*为g.opt；又如果f是严格凸函数，那么X*是（fs）的唯一g.opt。第二十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.3多面体、极点、极方向1）多面体：有限个半闭空间的交例：S={xRnAx=b,x≥0}第二十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.3多面体、极点、极方向2)多面体的极点（顶点）：

xS，不存在S

中的另外两个点x(1)和x(2)，及λ(0,1)，使x=λx(1)+(1-λ)x(2).3)方向：xS,dRn,d

0及λ>0,总有x+λd

S.

d(1)=λd(2)(λ>0)时，称d(1)和d(2)同方向。4)极方向：方向d

不能表示为两个不同方向的组合(d=d(1)+d(2)).第二十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.3多面体、极点、极方向多面体S={xRnAx=b,x≥0}的极点和极方向定理1（极点特征）设A

满秩，x

是S极点的充分必要条件是:

存在分解A=[B,N]，其中B为m阶非奇异矩阵，使xT=[xBT,xNT],

这里xB=B-1b≥0,xN=0.S中必存在有限多个极点。(≤Cnm)第二十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期二2.3多面体、极点、极方向多面体

S={xRnAx=b,x≥0}的极点和极方向定理2（极方向特征）设A=[p1,p2,…,pn]满秩，d

是S

极方向的充分必要条件是:存在分解A=[B,N]，其中B为m阶非奇异矩阵，对于N中的列向量pj

使B-1pj≤0,

dT=[dBT,dNT],这里j

dB=-B-1pj

,dN=(0,...,1,…,0)TS中必存在有限多个极方向。(≤(n-m)Cnm)第二十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期二考虑多面体

S={xRnAx=b,x≥0}，其中

3210065

A=21010b=400300175

即

3x1+2x2+x3=652x1+x2+x4=403x2+x5=75x1,x2,x3,x4,x5≥0

例题第二十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期二32100A=[P1,P2,P3,P4,P5]=2101003001

A矩阵包含以下10个3×3的子矩阵：

B1=[p1，p2，p3]B2=[p1，p2，p4]

B3=[p1，p2，p5]B4=[p1，p3，p4]

B5=[p1，p3，p5]B6=[p1，p4，p5]

B7=[p2，p3，p4]B8=[p2，p3，p5]

B9=[p2，p4，p5]B10=[p3，p4，p5]

例题第三十页，共三十三页，编辑于2023年，星期二

其中B4=0，因而B4不能构成极点和极方向。其