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文档简介
高数曲线凹凸与图形第一页,共二十三页,编辑于2023年,星期二定义.
设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称为I上的上凹函数;(2)若恒有则称连续曲线上内点的凹凸分界点称为拐点
.一、函数的凹凸与拐点为I上的上凸函数;自学定义,定理1、2.
第二页,共二十三页,编辑于2023年,星期二定理1*.(凹凸判定法)(1)在
I上则为I
上的上凹函数;(2)在
I上则为
I
上的上凸函数.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕第三页,共二十三页,编辑于2023年,星期二例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在是上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,第四页,共二十三页,编辑于2023年,星期二例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)
为曲线的拐点.凹凸第五页,共二十三页,编辑于2023年,星期二例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)
及均为拐点.凹凹凸第六页,共二十三页,编辑于2023年,星期二无渐近线.点M
与某一直线L的距离趋于0,二、曲线的渐近线定义.
若曲线
C上的点M
沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C
的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”第七页,共二十三页,编辑于2023年,星期二1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例4.
求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.第八页,共二十三页,编辑于2023年,星期二2.斜渐近线斜渐近线若第九页,共二十三页,编辑于2023年,星期二例5.
求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.第十页,共二十三页,编辑于2023年,星期二三、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周第十一页,共二十三页,编辑于2023年,星期二例6.
描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点)(极小)4)第十二页,共二十三页,编辑于2023年,星期二例7.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点第十三页,共二十三页,编辑于2023年,星期二3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义第十四页,共二十三页,编辑于2023年,星期二又因即5)求特殊点为斜渐近线第十五页,共二十三页,编辑于2023年,星期二6)绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点无定义第十六页,共二十三页,编辑于2023年,星期二例8.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于
y
轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(拐点)第十七页,共二十三页,编辑于2023年,星期二(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线第十八页,共二十三页,编辑于2023年,星期二内容小结在I
上单调递增在I
上单调递减1.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上的凹凸分界点2.曲线渐近线的求法水平渐近线;垂直渐近线;
斜渐近线3.函数图形的描绘---按作图步骤进行第十九页,共二十三页,编辑于2023年,星期二思考与练习
1.曲线(A)没有渐近线;(B)仅有水平渐近线;(C)仅有铅直渐近线;(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:作业P130
1(6);2(2);3;
5;7(3),(5)第二十页,共二十三页,编辑于2023年,星期二证明:当时,有证明:令,则是凸函数即
2.(自证)第二十一页,共二十三页,编辑于2023年,星期二拐点为
,凸区间是
,3.
曲线的凹区间是
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