高等代数线性代数集合映射线性空间的定义及简单性质

高等代数线性代数集合映射线性空间的定义及简单性质1第一页，共二十九页，编辑于2023年，星期二一、集合二、映射§6.1

集合·映射2第二页，共二十九页，编辑于2023年，星期二一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：

当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：

1、定义组成集合的这些事物称为集合的元素．

用小写字母a、b、c等表示集合的元素．

☆3第三页，共二十九页，编辑于2023年，星期二☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法

描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2N＝，2Z＝例3

M＝｛x|x具有性质P｝

M＝｛a1，a2，…，an｝4第四页，共二十九页，编辑于2023年，星期二2、集合间的关系

☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是

A的子集，记作，（读作B包含于A）当且仅当

☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ

☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称

A与

B相等，记作A＝B

.A＝B当且仅当且

约定：

空集是任意集合的子集合.5第五页，共二十九页，编辑于2023年，星期二3、集合间的运算

交：；

并：

显然有，6第六页，共二十九页，编辑于2023年，星期二二、映射设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应,则称

σ为称a´为a在映射σ下的象，而a称为a´

在映射σ下的M到M´的一个映射，记作:原象，记作σ(a)＝a´1、定义7第七页，共二十九页，编辑于2023年，星期二①设映射,集合称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ．②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．

显然，注

8第八页，共二十九页，编辑于2023年，星期二例1判断下列M到M´对应法则是否为映射

1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝

σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4

2）M＝Z，M´＝Z＋，σ：σ(n)＝|n|,

τ：τ(n)＝|n|＋1,

（不是）

（是）

（不是）

（不是）

（是）

9第九页，共二十九页，编辑于2023年，星期二σ：σ(a)＝a0，

4）M＝P，M´＝，（P为数域）τ：τ(a)＝aE，（E为n级单位矩阵）5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个固定元素.

（是）（是）6）M＝M´＝P[x]（P为数域）

σ：σ(f(x))＝f´(x)，（是）3）M＝，M´＝P，（P为数域）

σ：σ(A)＝|A|，（是）

10第十页，共二十九页，编辑于2023年，星期二例2

M是一个集合，定义I：

I(a)＝a，即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，例3

任意一个在实数集R上的函数y＝f(x)

都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是称I为M上的恒等映射或单位映射．

映射的一个特殊情形．

11第十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期二2、映射的乘积设映射，

乘积定义为：

(a)＝τ(σ(a))

即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个

映射．

①对于任意映射，有

②设映射，

有注：12第十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期二3、映射的性质:设映射1）若，即对于任意，均存在（或称

σ为映上的）；

2）若M中不同元素的象也不同，即

（或），

则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；

3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射,，使

，则称σ是M到M´的一个满射（或称σ为1—1对应）

13第十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期二例4判断下列映射的性质1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

（既不单射，也不是满射）

τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1

2）M=Z，M´＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是满射，但不是单射）

3）M＝，M´＝P，（P为数域）

σ：σ(A)＝|A|，（是满射，但不是单射）

（双射）14第十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期二4）M＝P，M´＝

P为数域,E为n级单位矩阵τ：τ(a)＝aE，（是单射，但不是满射）

σ：σ(a)＝a0，（既不单射，也不是满射）

6）M＝M´＝P[x]，P为数域σ：σ(f(x))＝f´(x)，（是满射，但不是单射）

7）M是一个集合，定义I：I(a)＝a，

8）M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,（双射）

（双射）

5）M、M´为任意非空集合，

为固定元素

15第十五页，共二十九页，编辑于2023年，星期二①对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条件是它们所含元素的个数相同；

②对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A的真子集），则

A、B之间不可能存在1—1对应；但是对于无限集未必如此.注：如例4中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．

M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,16第十六页，共二十九页，编辑于2023年，星期二4、可逆映射定义：设映射若有映射使得则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，①若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且（σ－1）－1＝σ．注：②为可逆映射，，若σ的逆映射是由σ唯一确定的记作σ－1．17第十七页，共二十九页，编辑于2023年，星期二③σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．证：若映射为1—1对应，则对均存在唯一的，使σ(x)＝y，作对应

即；

即∴σ为可逆映射．

则τ是一个M´到M的映射,且对

18第十八页，共二十九页，编辑于2023年，星期二即,

所以σ为满射.

其次，对，则

即σ为单射.所以．σ为1—1对应．反之，设

为可逆映射，则

19第十九页，共二十九页，编辑于2023年，星期二补充双射（或者1——1对应）的传递性20第二十页，共二十九页，编辑于2023年，星期二小结：集合的概念我们并不陌生。这里重要的集合的表达和运算。另外一个重要的是映射。我们要了解映射其实就是一种法则，这种法则使得集合之间的元素产生联系，我们可以说这种联系使得某个集合中的每一个元素有了自己的老师（当然也可以是其他关系）。请你们再去思考：单射、满射和双射吧。作业：复习集合映射，P268:1,2(选一个)21第二十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期二一、线性空间的定义二、线性空间的简单性质§6.2

线性空间的定义与简单性质22第二十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期二而且这两种运算满足一些重要的规律,如对引例1空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量23第二十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期二同样满足上述这些重要的规律，即对

数域P上的一元多项式环P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算引例224第二十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期二一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对，

在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为的和，记为；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：25第二十五页，共二十九页，编辑于2023年，星期二加法满足下列四条规则：

①

⑤

⑥

数量乘法与加法满足下列两条规则：

⑦

（具有这个性质的元素0称为V的零元素）

数量乘法满足下列两条规则

:②

⑧

④

对

都有V中的一个元素β，使得

;（β称为的负元素）

③

在V中有一个元素0，对26第二十六页，共二十九页，编辑于2023年，星期二3．线性空间的判定：注：

1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．称为线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者27第二十七页，共二十九页，编辑于2023年，星期二例1引例1,2中的Pn,P[x]均为数域P上的线性空