高二数学函数的最值与导数

高二数学函数的最值与导数第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期二aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期二二、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期二xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6观察下列图形,你能找出函数的极值吗？观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的极大值。第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期二求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)（3）求方程f’(x)=0的根（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期二

在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题

函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入

极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期二知识回顾

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

1．最大值:

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值

2．最小值:

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值

第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期二观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.

在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此：该函数没有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期二xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在[a,b]上的最值？一般的如果在区间，[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期二

观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)

问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？xX2oaX3bx1yy=f(x)第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期二(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)

比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.

求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；

新授课注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期二※典型例题1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。例1、1、第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期二※动手试试求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期二※典型例题反思：本题属于逆向探究题型：

其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期二※拓展提高1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？如下图：不一定2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。3、如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期二有两个极值点时，函数有无最值情况不定。第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期二※动手试试第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期二第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期二4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为()A.-4B.0C.16 D.20C6/8/202319第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期二1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值

法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理选做题：第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期二1.求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值

故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2

解法二、

f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期二2、

解令解得x0(0,)

(,)+-+00

(,)0第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期二

应用(2009年天津（文）21T)处的切线的斜率；设函数其中（1）当时，求曲线在点（2）求函数的单调区间与极值。答:（1）斜率为1;(2)第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期二四、实际应用1.实际问题中的应用.

在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.

在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.

在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期二例1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期二类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,则令,解得,从而

,即h=2r.由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期二例2:如图,铁路线上AB段长

100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?BDAC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期二令,在的范围内有唯一解x=15.所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离不超过15千米时,所选D点与B点重合.练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3

时,圆柱体的体积最大.2.与数学中其它分支的结合与应用.第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期二xy例1:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0<x<2),则

A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以当时,因此当点B为时,矩形的最大面积是第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期二例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.设,由x,y为正实数得:设令,得又,又f(0)=f(π)=0,故当时,第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期二例3、证明：当x>0时，x>ln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x≥0上单调递增，从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期二练习3:当x>1时,证明不等式:证:设显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0.第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期二显然,当x>1时,

,故f(x)是[1,+∞)上的增函数.所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即当x>1时,第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期二例4:证明不等式:证:设则令,结合x>0得x=1.而0<x<1时,;x>1时,,所以x=1是f(x)的极小值点.所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:

成立.第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期二思考题：（04浙江文21）（本题满分12分）已知a为实数，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在(-∞，-2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。－2≤a≤2第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期二五、小结1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.2.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期二3.应用问题要引起重视.(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很有用.六、作业第一次p.253~254课后强化训练第1~8题;第二次p.255~256课后强化训练第1~6题及9,10题.第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期二导数导数的定义求导公式与法则导数的应用导数的几何意义 多项式函数的导数函数单调性函数的极值函数的最值第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期二基本练习

1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为()(A)–5(B)–6(C)–7(D)–8

2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为()y’=100(x99+x49+x24)(B)y’=100x99

(C)y’=100x99+50x49+25x24

(D)y’=100x99+2x49

第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期二3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为

.4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a>0(B)–1<a<1(C)a>