FDTD方法中的吸收边界条件

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FDTD方法中的吸收边界条件胡来平，刘占军（重庆邮电学院光电工程学院重庆４00０65）摘要：介绍并分析了时域有限差分中的吸收边界条件,对各种条件的应用进行了讨论，对时域差分技术的吸收边界条件进行了一定的总结和展望。

关键词:时域有限差分方法；吸收边界条件；电磁散射;完全匹配层

时域有限差分法（FＤTD)是一种分析各种电磁问题的全波方法。用FDTD分析电磁辐射、散射等开放或者半开放性质问题时,不可能直接对无限的结构进行计算,因此必须在截断处设置适当的吸收边界条件，以便用有限网格空间模拟开放的无限空间或无限长的传输结构。理想的吸收边界条件应在截断边界上只有向外传输的波而没有向内的反射波。ﻫ

自从Yｅｅ提出FDTD方法以来，对FDTD方法中的重要组成部分--吸收边界条件的研究就一直没有停止过.目前，构造吸收边界条件的思路主要有2种：一种是在边界上引入吸收材料，电磁波在无反射地进入吸收材料后被衰减掉，如ＰML。这种方法构造复杂，内存需求较大,但在很大的入射角度上吸收效果较好。另一种是从外行波方程出发构造的透射边界条件，如Mur边界条件等。这种类型的透射边界条件具有构造简单,内存需求小,基本上不额外消耗内存等特点。下面介绍几种应用较为广泛的吸收边界条件。ﻫ1Muｒ吸收边界条件[1]

考察一维波动方程：

他可分解为2个单向波方程：ﻫ

当边界上电磁场满足式（2）时，电磁场仍是单向波形式,不产生反射,这就是Ｍur一阶吸收边界条件。同法对二维情况，有二维波动方程：ﻫﻫ

把式(4）根号部分进行Tayloｒ展开，然后取其前2项,即令：

ﻫ这就是Mur所建议的具有二阶近似的,适用于二维问题的近似吸收边界条件。他在FDＴＤ中有广泛地应用。Ｍur吸收边界条件具有实施方便简单、吸收边界条件效果好的特点，然而在使用中注意到，一阶近Ｙｅe网格划分,在角区域存在较大误差,而二阶近似尽管就算精度较高,但编程复杂,且对三维情况还可能出现结果发散的现象［２]。

2廖氏吸收边界条件ﻫ廖氏吸收边界条件比同阶的Mur吸收边界条件反射小约一个数量级，并且各阶吸收边界条件可用统一的公式表示。由于推导繁琐,这里直接给出其吸收边界条件公式：ﻫ

其中：CｊN为组合数，N表示廖氏吸收边界条件的阶数。

N＝1时，给出了一阶吸收边界条件：

其中：S=αvΔt/Δx，α是一个常数，0.5≤α≤2。ﻫN＝2时，给出了二阶吸收边界条件：

３超吸收边界条件

Fａng和Mei于19８８年第一次提出了超吸收边界条件的概念.传统的吸收边界条件只在边界上给电场或磁场进行特殊处理，不同时计算二者，因为只要在边界知道了电场或磁场,则内部区域的场就能惟一地确定。在超吸收边界条件中让磁场也参与计算并用他来减少计算电场时所产生的非物理因素引起的反射,从而改善原始吸收的性能。其具体的理论推导可见文献［1]。超吸收边界条件的具体运用格式为：ﻫ(1)在自由空间的截断边界上采用一种吸收边界ﻫﻫﻫ

(5）利用得到的，M-０．5，．)，重新由前面的差分方程中H分量在n+0。5时刻的表达式计算出)ﻫ4完全匹配层

1994年J。Ｐ．Ｂerｅngeｒ提出了“完全匹配层（PMＬ）”这种新边界,他是应用某种依赖于方向的、满足匹配条件的地导电和导磁媒质来吸收反射波。通常在计算域的截断面之外布置完全匹配层，当波进入ＰML中时,因波阻抗保持不变而无反射发生.当外行波到达PMＬ的最外层时，其幅度近似衰减为0。微弱的反射波在此产生，反射波传播到计算域之前,又要经过完全匹配层的再次衰减，这样进入计算域的反射波是十分微弱的。完全匹配层是一种非物理性的电磁波吸收层,用电导率σ和磁导率σ#表征，σ和σ＃可分别解为σx,σy，σz和。可以证明,当ＰＭL满足以下2个条件时,他对电磁波不反射［3］:ﻫ(1)为吸收某一方向的电磁波(如z向),则σ和σ#在其他方向上的分量均为0。ﻫ

(2)σ和σ#与电介常数ε和磁导率μ满足下列方程:

ﻫ5吸收边界条件的现状和一点展望ﻫ时域有限差分法是最受瞩目的电磁场数值计算方法之一，现在应用于包括电磁辐射、散射等在内的几乎所有电磁问题的数值模拟中。他实质上是一种蛙跃法，具有二阶精度.ﻫ对于开域问题,受计算机内存和计算时间限制,必须截断计算空间并设置边界条件，国内外许多人在这方面做了大量的工作，提出了各种边界条件,其目的是使有限的计算空间与无限的实际空间等效,如Mｕｒ吸收边界条件、廖氏吸收边界条件、超吸收边界条件以及理想匹配层等。其中Muｒ边界由于具有较宽的入射角度范围内的吸收效果，而且占内存小,因此得到较为广泛地应用。但是他也存在局限性：

（1）边界面上任意点的插值都是在其领域的三维空间上进行，不允许靠近边界的区域出现介质的不连续性;

（2）在垂直入射情况下的计算精度仅相当于一阶吸收边界条件。在廖氏吸收边界条件中,边界点x的场可用x轴内部的点和以前时间段上的值来表示，因此廖氏吸收边界条件可以理解为用Newton后向差分多项式对空间和时间的外推。超吸收技术对大多数被广泛采用的吸收边界条件都有明显的改进作用。与Ｍｕr边界条件相比,PML边界具有更高的计算精度，而且任意方向入射时均无反射。ﻫ在二维自由空间,Beｒenger得出结论：PＭL吸收边界的反射系数可低于-70dB,比其他各种边界改善约4０dＢ。这种人工设计的完全匹配层由有耗导电、导磁媒质组成，可吸收任意入射角、任何频率、任意偏振态的入射电磁波，其实用性更强，但是他内存大，在不连续介质接触边界面和三维区域的6个面不全为吸收边界时也难以应付。人们对各种吸收边界条件做了比较、校正和优化，并陆续提出了一些新的办法。诸如对Mur条件的校正，以得到更高的计算精度，简化行波边界条件等等.ﻫ目前各种吸收边界条件都存在着一些缺点，在某些问题中这些吸收边界条件的反射过大，或者所适应的入射角度的范围不够宽广,另外提高计算精度,允许计算计算网格空间的外边界能更接近辐射源或散射体表面，从而节省计算机的存储空间和计算时间，这些都是我们应该努力的方向。参考文献［1]王长清，祝西里。电磁场计算中的时域有限差分法[M]．北京：北京大学出版社，199４．ﻫ[2］杨军，张玉胜,傅君眉.Mur吸收边界条件的校正［J]。微波学报，1９96，１２（1）：3０－34。

［3］陈彬，方大纲，陈晓明。完全匹配层（ＰMＬ）吸收边界条件的理论分析［J].微波学报，１996,

［４］谭怀英，尹家贤,刘克成，等．一种新的简化行波吸收边界条件在FＤＴD算法中的实现［J］．微波学报，２0０1,１7(1)：32—3４．

［５］葛俊祥,李玉星.广义正交坐标系下FDＴD算法的吸收边界条件［J］．电子学报,19９8，２6

［６］邵振海,洪伟．几种新的吸收边界