2023届黑龙江省大庆市高三理数第一次教学质量检测试卷（一模）及答案

高三理数第一次教学质量检测试卷〔一模〕一、单项选择题1.集合，，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

或2.是虚数单位，复数满足，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

3.在二项式的展开式中，含的项的系数是〔

〕A.

-10

B.

-5

C.

10

D.

204.，，且，那么与的夹角为〔

〕A.

B.

C.

D.

5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，分钟后物体的温度可由公式求得.把温度是的物体，放在的空气中冷却分钟后，物体的温度是，那么约为〔

〕〔〕A.

1.69

B.

2.89

C.

4.58

D.

6.616.的内角的对边分别为，且，，，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

7.设是定义域为的偶函数，假设，都有，那么，，的大小关系为〔

〕A.

B.

C.

D.

8.常用的A4打印纸的长宽比例是，从A4纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例〞．白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着广泛的应用．某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台，塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例，假设两观景台之间高度差为60米，那么以下选项中与该塔的实际高度最接近的是〔

〕A.

285米

B.

268米

C.

2558米

D.

248米9.四棱锥，底面为矩形，点在平面上的射影为的中点.假设，，，那么四棱锥的外表积等于〔

〕A.

B.

C.

D.

10.由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，假设抛物线过点，平行于对称轴的光线经过点反射后，反射光线交抛物线于点，那么线段的中点到准线的距离为〔

〕A.

2

B.

C.

D.

11.，函数在上单调递增，那么的取值范围是〔

〕A.

B.

C.

D.

12.函数，那么函数零点的个数是〔

〕A.

6

B.

5

C.

4

D.

3二、填空题13.为了研究某班学生的脚长(单位：厘米)和身高(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．这组数据的样本中心点为〔22.5，160〕，假设该班某学生的脚长为25厘米，据此估计其身高为________厘米．14.假设双曲线的右顶点到其中一条渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________．15.用总长m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m，那么该容器容积的最大值为________m3〔不计损耗〕．16.如图，正方体，点分别是的中点，与平面________〔填“平行〞或“不平行〞〕；在正方体的12条面对角线中，与平面平行的面对角线有________条．三、解答题17.等差数列的前项和为．〔1〕请从下面的三个条件中选择两个作为条件，求数列的通项公式；①；②；③；注：如果采用多种条件组合作答，那么按第一个解答计分.〔2〕在〔1〕的条件下，令，求数列的前项和．18.2021年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约荣耀的气氛．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人，高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．〔1〕第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？〔2〕现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取4人去粘贴宣传标语，设这4人中含有高二学生人，求随机变量的分布列；〔3〕食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量〔单位：公斤〕，以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前10天剩菜剩饭的重量为：后10天剩菜剩饭的重量为：借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果〔选择一种方法进行说明即可〕．19.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，，．〔1〕求证：；〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕如图，点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．21.函数．〔1〕求证：；〔2〕假设，时，恒成立，求实数的取值范围．22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线与直线交于点．〔1〕求点的直角坐标；〔2〕假设直线与圆：〔为参数〕交于两点，求的值．23.函数=．〔1〕当时，求不等式的解集；〔2〕证明：2．

答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】或，。故答案为：A.

【分析】利用条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合N，再利用交集的运算法那么，进而求出集合M和集合N的交集。2.【解析】【解答】因为，所以，所以。故答案为：D.

【分析】利用条件结合复数的乘除法运算法那么求出复数z,再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数。3.【解析】【解答】解：二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以，故含x的项的系数是-10。故答案为：A

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中含的项的系数。4.【解析】【解答】因为，所以，，而向量的夹角在上，所以。故答案为：C．

【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的运算法那么结合数量积的定义，进而求出两向量夹角的余弦值，再利用向量夹角的取值范围，进而求出两向量的夹角。5.【解析】【解答】由题意，，，，故答案为：B．

【分析】利用实际问题的条件结合公式，再利用代入法和指数与对数的互化公式，进而求出t约为的值。6.【解析】【解答】在中，，，，由正弦定理，可得，因为，所以，所以，又由。故答案为：A.

【分析】利用条件结合正弦定理，进而求出角A的正弦值，再利用大边对应大角，进而结合同角三角函数根本关系式，从而求出角A的余弦值，再利用两角和的正弦公式，进而求出的值。7.【解析】【解答】假设，都有，那么在单调递增，是偶函数，那么，，所以，所以，即。故答案为：D．

【分析】利用条件结合增函数的定义，进而推出函数在单调递增，再利用偶函数的定义结合增函数的性质，进而结合对数函数的单调性，从而比较出，，三者的大小。8.【解析】【解答】由题意可知：白银比例为；设塔底为点，第一观景台为点，第二观景台为点，塔顶为点，，，，〔米〕，〔米〕，选项中与塔的实际高度最接近的是248米。故答案为：D.

【分析】利用条件结合白银比例的定义，进而求出与该塔的实际高度最接近的选项。9.【解析】【解答】连接，平面，平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，而平面，所以，同理，因此，，，同理，，，同理，是等腰三角形，所以底边上的高为，，所以所求外表积为。故答案为：A．

【分析】连接，再利用平面结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以，同理，又因为，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以，同理，再利用三角形面积公式和矩形的面积公式，进而得出，同理，，再利用勾股定理结合等腰三角形的性质，进而求出底边上的高，再利用四棱锥的外表积公式，进而求出四棱锥的外表积。10.【解析】【解答】设抛物线方程为：，将点代入可得，解得：，所以抛物线方程为：，焦点为，，由题意可得：直线的方程为：，即，由可得：，解得：或，所以，，可得的中点为，所以线段的中点到准线的距离为。故答案为：C

【分析】设抛物线方程为：，再利用条件结合代入法，从而求出p的值，进而求出抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标和准线方程，再利用点斜式求出直线AB的方程，再结合直线与抛物线相交，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用中点坐标公式，进而求出线段AB的中点坐标，再利用点到直线的距离公式，进而求出线段的中点到准线的距离。11.【解析】【解答】由，又因为在上单调递增，所以，，解得，由得，又因为，因此，所以。故答案为：C．

【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数在给定区间的单调性，再结合条件，函数在上单调递增，从而求出的取值范围。12.【解析】【解答】，，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，且当时，，令得：或，所以有两个解，有三个解，所以函数零点的个数是5个。故答案为：B.

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而解一元二次方程求出或，所以有两个解，有三个解，所以函数零点的个数是5个。二、填空题13.【解析】【解答】根据题意，计算，，；∴，∴，当时，计算，据此估计其身高为170〔厘米〕。故答案为：170。

【分析】利用条件结合最小二乘法求出线性回归方程，再利用线性回归方程结合代入法，进而估计出某学生身高。14.【解析】【解答】右顶点为，一条渐近线方程为，即，由题意，即，所以。故答案为：2。

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出右顶点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率。15.【解析】【解答】设长方体的底面边长为，高为，那么由题可得，，那么可得，那么，那么该容器容积，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，即该容器容积的最大值为。故答案为：。

【分析】利用条件结合长方体的体积公式，进而推出，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而求出该容器容积的最大值。16.【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，那么，，，，，，，，，，，所以，，设平面的法向量为，所以，令，那么，，所以，，所以，所以直线与平面不平行，因为，所以，所以直线

与平面平行，因为，所以与平面平行，同理可得，，，与平面平行，，，，，，与平面不平行，故与平面平行的面对角线有6条。故答案为：不平行，6。

【分析】利用条件建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合线面平行的判定定理，进而推出直线与平面不平行；再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合线面平行的判定定理，进而推出直线

与平面平行，因为，所以与平面平行，同理可得，，，与平面平行，，，，，，与平面不平行，故与平面平行的面对角线有6条，从而求出在正方体的12条面对角线中，与平面平行的面对角线的条数。三、解答题17.【解析】【分析】〔1)从三个条件中选择两个作为条件，再结合等差数列的通项公式结合等差数列前n项和公式，再解方程组求出等差数列的首项和公差，进而结合等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式。

〔2〕在〔1〕的条件下得出的数列的通项公式，再令，进而求出数列的通项公式，再结合等比数列的定义推出数列是以为首项，8为公比的等比数列，再结合等比数列前n项和公式，进而求出数列的前项和。18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合分层抽样的方法，进而求出第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取的人数。

〔2〕利用从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取4人去粘贴宣传标语，设这4人中含有高二学生人，进而结合条件求出随机变量X的可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量X的分布列。

〔3〕利用两种方法解答。方法一：利用条件结合平均数公式，再结合比较法推出宣传节约粮食活动的效果很好。方法二：利用条件结合茎叶图，再利用茎叶图得出前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好。19.【解析】【分析】〔1〕因为、分别为、的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，进而推出线线平行，即，因为平面，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即，因为为矩形，，，再利用勾股定理，所以，在三角形中结合勾股定理，进而证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即证出。

〔2〕以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立如下列图的空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出平面与平面所成锐二面角的余弦值。20.【解析】【分析】〔1〕利用焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，进而求出