中考数学精创专题复习-高频压轴题突破-二次函数与四边形

试卷第=page11页，共=sectionpages1010页试卷第=page1010页，共=sectionpages1010页中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形1．如图1，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的负半轴上，点在第二象限，点在第一象限，对角线交轴于点，线段交轴于点，抛物线经过点，，，已知点的横坐标为，点是直线上的一点不与点，重合．(1)求点，，的坐标和直线的函数表达式；(2)当点在线段上时，连接，，若与面积相等，求点的坐标；(3)过点作轴的平行线，交抛物线于，两点点在点的左侧，如图，直线上是否存在这样的点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接AC，BC，点P是线段OB上一动点，过点P作直线，交y轴于点D，交线段BC于点E，交x轴上方二次函数的图象于点F．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P为线段的三等分点时，求点P的坐标．(3)在线段上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为．点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为，直线交轴于点，过点作交轴于点，轴，交直线于点，交直线于点．(1)直接写出点，，的坐标；(2)当时，求的值；(3)试探究点在运动过程中，是否存在，使四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移1个单位后得到新抛物线．为直线上一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．5．综合与探究如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点A，连接．(1)求抛物线的解析式以及点A的坐标；(2)若点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作交直线于点Q，求线段的最大值；(3)若点M在直线上运动，在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H．(1)直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线的表达式；(2)连接、，求面积的最大值；(3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线交于点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点C，求的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后点P，B的对应点分别为E，F，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．8．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)求；(2)求对称轴方程；(3)在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点和点，抛物线恰好经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，点P是抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在第一象限，连接，交直线于点D，且，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线的顶点为M，抛物线的对称轴交直线于点N，Q是直线上一动点．是否存在以点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标；(3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长．12．如图，在平而直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，直线是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D的坐标为，M是抛物线对称轴上一点，N是平面内一点，是否存在以点A，D，M，N为顶点的矩形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在请说明理由；(3)点P为抛物线对称轴上的一个动点，Q是平面直角坐标系内一点，当以点A，C，Q，P为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点P的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于另一点E．(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．则的最小值为．此时点M的坐标为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点E，在上取点D，连接，其中，过点E作轴交于点F，求长度的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．平移前后的抛物线交于点N，M为新抛物线上一点，点G、H为直线上的两个动点，直接写出所有使得以点G、H、M、N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．16．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，连接，是第二象限内抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求最大值以及此时点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新抛物线，为新抛物线对称轴上一点，为新抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并把求其中一个点的过程写出来．17．已知抛物线（）交轴于和，交轴于．(1)求抛物线的解析式；(2)若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标；(3)若是对称轴上一动点，是抛物线上一动点，是否存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．18．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．(1)如图1，若，则n的值为______（直接写出结果）；(2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若，求n．答案第=page5151页，共=sectionpages5151页答案第=page5050页，共=sectionpages5151页参考答案：1．(1)，，，(2)(3)点的坐标为或【分析】（1）分别令，，求得的坐标，待定系数法求得的解析式，进而求得点的坐标；（2）根据菱形的性质，与面积相等，得出点到的距离与点到的距离相等为，进而将代入的解析式，得出的坐标，即可求解．（3）根据平行四边形的性质得出，设，则，将代入得，点的横坐标，进而根据，建立方程，即可求解．【解析】（1）解：令，则，解得，∴，将代入得，，，设直线的解析式为，将，代入得，，∴，∴直线的解析式为，当时，，∴；（2）∵四边形是菱形，∴，∵，∴点到的距离与点到的距离相等为∴，将代入得，，∴；（3）存在这样的点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：轴，，四边形是菱形，∴，∴，即，要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则，设，则，将代入得，，解得，∴点的横坐标为，∴，∵，∴，即，解得当时，，当时，，∴点P的坐标为或．【点评】本题考查了二次函数综合，面积问题，菱形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．(1)(2)点P的坐标为或；(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）利用正切函数求得，即，推出．得到，设，则，由，得到，分两种情况讨论，或，列式计算即可求解；（3）假设存在．则，过点F作于点H，交于点G，利用面积公式得到，设，得到，利用根的判别式即可判断．【解析】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点，，∴设二次函数的表达式为．将点代入，得，解得．∴二次函数的表达式为；（2）解：∵，，，∴，，．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，∴，．∴．设，则．∴，．∵，∴，∴．∵点P为线段DE的三等分点，∴或，即或．∴或．∴点P的坐标为或；（3）解：不存在．理由：假设在线段上存在点P，使得四边形为平行四边形，则．连接，如图所示，则．过点F作于点H，交于点G，则．∴．∵，，设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为．设，则，．∴，整理，得．∵，∴该方程无实数解．∴假设不成立．∴在线段上不存在点P，使得四边形为平行四边形．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，锐角三角函数，平行四边形的性质，三角形的面积公式，一元二次方程根的判别式．解决问题的关键是转化条件，列出方程．3．(1)．，(2)或；(3)点P的坐标为或．【分析】（1）令，可得，再解方程可得A，B的坐标，再把抛物线化为顶点式可得D的坐标；（2）过点D作轴于点Q，交于点N．设，由轴，可得，根据，列出比例式，解方程求解，根据点P在抛物线对称轴的右侧，对的值进行取舍．（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，根据，表示出，根据点E的坐标为表示出，利用，分别求解即可．【解析】（1）解：，当时，，解得，．∵点A在点B的左侧，∴．，∵，即，∴，（2）如图，过点D作轴于点Q，交于点N．∵点P的横坐标为m，∴，∵，∴，，∵轴，∴，当时，，∴，即，当时，，∵点P在抛物线对称轴的右侧，∴；当时，，∵点P在抛物线对称轴的右侧，∴，综上所述，或；（3）存在，理由：设直线的函数表达式为，∵直线过点，，则，解得，∴，当点P在x轴上方时，设点，则点E的坐标为，把点E的坐标代入的表达式得：，解得，故点E的坐标为，则，，，，则，则，∵四边形是菱形，则，即，解得（舍去）或，故点P的坐标为；当点P在x轴下方时，，∴，解得（舍）或，代入得点坐标为，综上，点P的坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的综合问题，求一次函数解析式，平行线分线段成比例，解直角三角形，菱形的性质与判定，综合运用以上知识，并分类讨论是解题的关键．4．(1)(2)最大值是，点的坐标为(3)，，，过程见解析【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）过点作轴交于点．解直角三角形求得，设点，则点，得到，利用二次函数的性质即可求解；（3）分两种情况讨论，①以为对角线，②以为边，利用平行四边形的性质即可求解．【解析】（1）解：把点，代入中，得解这个方程组，得，所以，该抛物线的函数表达式为；（2）解：过点作轴交于点．，轴，，．在中，．，，．，，直线的函数表达式为．设点，则点．．，的最大值是，点的坐标为；（3）解：满足条件的点的坐标有，，．由题意，平移后抛物线的函数表达式为，，．设．①若四边形是以为对角线，则，．点在直线上，．，，解这个方程，得．，．点与点重合，舍去．．②若四边形是以为边，则或，或．点在直线上，或．或，或，解这两个方程，得或．，或，．点与点重合，舍去．，，．综上所述，满足条件的点的坐标有，，．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，根据平行四边形的顶点坐标，利用中点坐标公式列方程是解题的关键，同时注意分类讨论．5．(1)抛物线的解析式为，；(2)的最大值为；(3)点N的坐标为或或或．【分析】（1）先求得，再利用待定系数法即可求解；（2）过A作交y轴于点F，过点P作轴于点E，交于点D，证明，得到，当取得最大值时，也取得最大值；设，得到，利用二次函数的性质即可求解；（3）分四种情况讨论求解即可．【解析】（1）解：在中，令，则，令，则，解得，∴，把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为，令，则，解得或，∴；（2）解：过A作交y轴于点F，过点P作轴于点E，交于点D，∵，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，令，则，∴，∴，∵，，∴，∵，

∴，∵，∴，∴，∴，

∴，当取得最大值时，也取得最大值；设，则，则，∵，∴当时，有最大值为2，∴的最大值为；（3）解：当点N在第二象限时，作轴于点G，∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；同理，当点N在第四象限时，；当点N在第一象限时，作轴于点Ｈ，同理可得，∴，，∴，当是对角线时，设，由菱形的性质知，则，解得，则，∴，

同理，，∴，综上，点N的坐标为或或或．【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，两直线平行时k值相等是解题的关键．6．(1)；；；(2)(3)存在，Q的坐标为或【分析】（1）分别令，，求出对应的x、y的值，即可求出A、B、C的坐标，然后根据待定系数法求出直线的表达式即可；（2）过点H作轴，交直线于点M，设点H的坐标为，则点M的坐标为，可求，，然后根据二次函数的性质求解即可；（3）分或两种情况讨论即可．【解析】（1）解：当时，，解得，，，，当时，，，设直线的解析式为，则，解得；（2）解：过点H作轴，交直线于点M，，设点H的坐标为，则点M的坐标为，，，当时，．（3）解：以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，存在或两种情况，设（1）当，延长，交轴一点，，，，即为等腰直角三角形，即：，，则，为等腰直角三角形，则，则，设PC解析式为，代入，，得，解得，，令，解得（舍去），，，，，；②当交x轴于点N，，，即为等腰直角三角形，即：，，则，为等腰直角三角形，则，则，同理可得解析式为：，令，解得（舍去），，，，综上，点Q的坐标为或．【点评】本题考查了二次函数与面积问题、特殊四边形问题等，涉及到的知识有待定系数法，二次函数的性质，矩形的性质等，明确题意，合理分类讨论，找出所求问题需要的条件是解题的关键．7．(1)(2)，(3)，，，过程见解析【分析】（1）利用待定系数法即可直接求出函数表达式；（2）过点P作轴交于点Q，得出，将的最大值转化为的最大值，即可解决问题；（3）先求出平移后的函数表达式为，得出，，设，，然后分三种情况：①当为对角线；②为对角线；③为对角线分别计算即可．【解析】（1）将代入抛物线中，得：，解得∴该抛物线的函数表达式为：．（2）过点P作轴交于点Q，如图∴，．∵，则∴当最大时，取得最大值．设直线的解析式为，∵，∴，解得：，∴，设，则，∴，∵，且，∴当时，有最大值，此时，的最大值为，．（3）∵，∴将抛物线沿水平方向向右平移3个单位后得到的抛物线为，∴新抛物线的对称轴是直线，又∵，，∴，，设，，①当为对角线时，和的中点重合，∴，∴，∴，②为对角线，同理可得，∴，∴，∴，③为对角线，同理可得，∴，∴，∴，综上所述，，，．【点评】本题主要考查了二次函数和几何的综合运用，属于中考常考题型，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是转化思想和方程思想的应用．8．(1)4(2)(3)存在【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值，据此求得A、B的坐标；然后根据三角形的面积公式，可得答案；（2）根据，可得函数图像的对称轴；（3）分类讨论：P点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案．【解析】（1）解：当时，，即点坐标是，当时，，解得，即A点坐标是；（2）解：的对称轴方程是；（3）解：对称轴上存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：当P点坐标是时，，，四边形是平行四边形；当P点坐标是时，，，四边形是平行四边形．【点评】本题考查了二次函数综合题，平行四边形的判定，掌握二次函数的图像和性质，分类讨论是解题关键．9．(1)该抛物线的解析式为；(2)或；(3)或或或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）过点P作轴于点F，交直线于点G，设，，求得，证明，推出，列方程计算即可求解；（3）分两种情况讨论，当为边，则且，设，，由题意得，解方程即可求解；当为对角线，设，，利用中点坐标公式列方程求解即可．【解析】（1）解：将点和点代入，得：，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）解：过点P作轴于点F，交直线于点G，设，，则，因为，∴，结合题意可知：，∴，，∴，∴，即：，解得：，，把，，代入，得，，∴或；（3）解：∵，∴，，，分两种情况讨论，当为边，则且，设，，则，∴，或，解，得或(点P在对称轴上，舍去)，∴；解，得或，∴或；当为对角线，设，，∴，，解得或(点P在对称轴上，舍去)，则，∴；综上，Q点坐标为或或或．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．10．(1)(2)取得最大值，此时点的坐标为(3)存在，满足条件的的坐标为或【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可；（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标．【解析】（1）解：，，，，，抛物线经过点，，，，解得：，该抛物线的解析式为；（2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接，设直线的解析式为，，，，解得：，直线的解析式为，设，则，，直线与轴交于点，，，轴，即，，，，，，当时，取得最大值，此时点的坐标为；（3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．①当是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形是矩形时，由（2）可知，代入中，得到，直线的解析式为，可得，，由可得，,，，．根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点，，即，b、如图2﹣2中，四边形是矩形时，直线的解析式为，，直线的解析式为，，根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，，即．②当是对角线时，设，则，，，是直角顶点，，，整理得，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的的坐标为或．【点评】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．11．(1)(2)点P的坐标是(3)【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可；（2）先求出抛物线的对称轴是直线，由点P是的外接圆的圆心得到点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．点P横坐标是．设点P坐标为，由，求出，即可得到点P的坐标；（3）先说明点，N关于原点对称．设点M的横坐标为m（），则点M坐标是，点N坐标是，把点坐标代入，解得（负值已舍），得到点M坐标是，点N坐标是，利用两点间距离公式即可得到线段的长．【解析】（1）解：把代入得，∴点B坐标是，把代入，得，∴点A坐标是，将点A、B坐标代入，得，解得．∴抛物线的表达式是．（2）∵，∴抛物线的对称轴是直线，∵点P是的外接圆的圆心．∴点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．∴点P横坐标是．设点P坐标为，∵，∴，解得，∴．点P的坐标是．（3）∵点O是中点，即O是平行四边形对角线交点，又∵四边形是平行四边形，∴点，N关于原点对称．设点M的横坐标为m（），则点M坐标是，点N坐标是，把点坐标代入，得，解得（负值已舍），当时，，∴点M坐标是，点N坐标是，∴．【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、两点间距离公式、三角形的外接圆等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．12．(1)(2)m的最大值，此时点P的坐标为(3)存在，，；，【分析】（1）根据已知条件求得点C的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作轴于E，交于F，先证，根据相似三角形的性质可得，设，则，用n表示出的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点N的坐标．【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）解：当时，，∴点，如图1，过点P作轴交直线于E，连接，设直线的解析式为，∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为，设，则，∴，∵直线与y轴交于点D，∴，∴，∵轴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为；（3）解：存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当是矩形的边时，有两种情形，a、如图2-1中，四边形是矩形时，有（2）可知，代入中，得到，∴直线的解析式为，可得，由可得，∴，∴，∴，∴．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴，即b、如图22中，四边形是矩形时，∵直线的解析式为，，∴直线的解析式为，∴，根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴，即．②当是对角线时，设，则，，，∵Q是直角顶点，∴，∴，整理得，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的，；，．【点评】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．13．(1)(2)存在，或或或(3)或或或或【分析】用待定系数法即可求解；分为对角线，为对角线，三种情况讨论求解即可；分是对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行求解即可．【解析】（1）解：由题意得，点、的坐标分别为、，则设抛物线的表达式为：，∵抛物线与轴相交于点，当时，，∴，将代入，得：，解得：，则抛物线的表达式为：；（2）存在，理由：设点，点，当为对角线时，由中点坐标公式和得：，解得：，即点的坐标为或；当为对角线时，由中点坐标公式和得：或，解得：或，即点或；综上，点的坐标为：或或或；（3）存在，理由：设点，点，当是对角线时，由得：，解得，即点的坐标为或；当为对角线时，由中点坐标公式和得：，解得：；即点的坐标为：；当为对角线时，由中点坐标公式和得：，解得：，即点的坐标为：或；综上，点的坐标为：或或或或．【点评】此题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．14．(1)抛物线的解析式为(2)存在，点的坐标为或或或(3)，（-1，）【分析】（1）由四边形为正方形，点坐标为，可得出点坐标为，把点的坐标代入抛物线即可求解．（2）设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可．（3）由题意可得如图3所示的图象，连接由题意可得进而可得四边形是平行四边形，从而可得则有若使的值为最小，即为最小，当点三点共线时，的值为最小，即可求解．【解析】（1）∵四边形为正方形，点坐标为∴，A点坐标为∴，∴点坐标为把点的坐标代入抛物线得：

解得：∴抛物线的解析式为．（2）由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称∴点坐标为∴由两点距离公式可得

设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当时，如图1所示：∴由两点距离公式可得，即解得：∴点F的坐标为；

②当时，如图2所示：∴由两点距离公式可得

解得：

∴点F的坐标为或；综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或．（3）如图3所示：由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，点坐标为∴∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为∴，∴四边形是平行四边形

∴

∴若使的值为最小，即为最小

∴当点三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图4所示：∵点坐标为，∴∴的最小值为，即的最小值

设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得∴线段OD的解析式为当时，∴点坐标为．的最小值【点评】本题主要考查了二次函数的综合，菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合，菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．15．(1)(2)当时，长度的有最大值，点(3)或或【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）先求出点C、D的坐标，然后再运用待定系数法求得直线、的解析式，设P点坐标为，则,，再表示出线段的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答；（3）由可得，设平移后的解析式为，再根据平移后的抛物线过点可求得t，进而确定点N坐标，然后分为边和为对角线两种情况解答即可．【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点∴，解得：∴抛物线先的解析式为．（2）解：∵∴∵，∴设直线的解析式为则，解得∴同理：直线的解析式为设P点坐标为，则,∴，∴∴当时，长度的有最大值，点．（3）解：∵∴如图：设平移后的解析式为，∵当平移后的新抛物线经过时停止平移，得到新抛物线∴，解得：或（舍弃）∴平移后的新抛物线的解析式为联立，解得：∴①如图：为平行四边形的一边时，∴设直线的解析式为，则，解得：∴∵点M在新抛物线上一点∴，解得：（舍弃）或∴点M的坐标为；②如图：为平行四边形的对角线时，设点M的坐标为，∴的中点D坐标为∵D同时为的中点∴点D在直线上∴，化简得：∴点M的坐标为：或．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．16．(1)(2)的最大值为；；(3)或或【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先求得点的坐标，进而得出直线的解析式为,设，则，表示出，证明，根据相似三角形的性质得出，则，根据二次函数的性质，即可求解；（3）根据题意得到新抛物线，点，点，点在新抛物线的对称轴上，为新抛物线上