直接开平方法 人教版九年级数学上册

21.2.1直接开平方法人教版九年级上册知识回顾一2整式教学目标1．掌握形如x2=p(p≥0)型方程的解法．2．掌握形如(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)型方程的解法．新知导入问题：求出或表示出下列各数的平方根．121；(2)25；(3)0.81；

(4)0；(5)3；(6)

.（1）121的平方根为±11；（2）25的平方根为±5；（3）0.81的平方根为±0.9；（4）0的平方根为0；

新知探究问题1:一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程10×6x2=1500，即x1=5，x2=－5.∵棱长不能是负值.由此可得x2=25开平方得x=±5，∴正方体的棱长为5dm．新知探究对照上面方法，怎样解方程（x+3）2=5解：我们知道，=5，由此想到:当（x+3)2=5，得于是，方程（x+3）2=5的两个根为一元二次方程降次转化思想一元一次方程新知小结(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根

；(3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)

无实数根

.一般的，对于可化为方程x2=p,(I)(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根

，

；=0知识点一可化为x2=p（p≥0）型方程的解法新知小结

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.解一元二次方程的思路

把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程新知探究解方程：例1(1)x2－36＝0；(2)2y2＝100；(3)16p2－5＝0.分析：用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化成x2＝p

(p≥0)的形式，再根据平方根的意义求解．新知探究(1)x2－36＝0解：移项，得x2=36.直接开平方，得x=±6，∴x1=6,x2=－6.(2)2y2＝100解：系数化1，得y2＝50直接开平方，得y=

，∴y1=,

y2=

.新知探究(3)16p2－5＝0解：移项，得16p2=5.直接开平方，得∴p1=,p2=

.系数化1，得用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．新知练习1.解下列方程：（2）36x2-1=0．（1）4x2=81；

解：

解：新知探究∴(x+3)2

=5，

（1）解方程：(x+3)2=5得x+3=，

一元二次方程降次转化思想一元一次方程例2∵方程x2=25得x=±5.新知探究(2)解方程：2(2x－1)2－10＝0；解：移项，得2（2x-1）2=10二次项系数化为1，得（2x-1）2=5开平方，得即或所以例2新知小结如何解形式为(x+m)2=n(其中m，n

是常数)的一元二次方程呢？

知识点二形如方程（mx+n）2=p（p≥0）的解法新知练习2.解下列方程：（1）(x+5)2=25；（2）4(x-3)2-32=0．

解：

解：新知典例解方程：y2－4y+4＝8；例3归纳：解形如(mx+n)²=p(p≥0，m≠0)的方程时，先将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一次方程，再求解.解：整理，得（y-2）2=8开平方，得即

或所以完全平方公式新知练习3.解方程（1）4x2﹣4x+1=4（2）25x2﹣10x+1=9

解：整理，得（2x-1）2=4开平方，得2x-1=±2即2x-1=2或

2x-1=﹣2∴x1=1.5或x2=﹣0.5解：整理，得（5x-1）2=9开平方，得5x-1=±3即5x-1=3或

5x-1=﹣3

新知典例解方程：4（3x-1）2-9（3x+1）2＝0；例4解：整理，得4（3x-1）2=9（3x+1）2两边开平方，得2（3x-1）=±3（3x+1）∴即2（3x-1）=3（3x+1），或2（3x-1）=﹣3（3x+1）6x-2=9x+3，或6x-2=﹣9x﹣3∴整体思想{新知练习4.解方程4(2x－1)2＝9(2x＋1)2.解：整理，得4（2x-1）2=9（2x+1）2两边开平方，得2（2x-1）=±3（2x+1）即2（2x-1）=3（2x+1），或2（2x-1）=﹣3（2x+1）∴4x-2=6x+3，或4x-2=﹣6x﹣3

课堂总结开方求解变形将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式；利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；解一元一次方程，得出方程的根．1．直接开平方法解一元二次方程的步骤：2．两种数学思想：整体思想、转化思想．课堂练习1．方程x2－16＝0的根为(

)A．x＝4

B．x＝16C．x＝±4D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是(

)A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0

C

D

课堂练习3.解方程(2)2x2＋4＝12；