高考数学一轮复习第十章计数原理103二项式定理课件理

§10.3

二项式定理基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.二项式定理知识梳理二项式定理(a＋b)n＝______________________________

(n∈N*)二项展开式的通项公式

，它表示第

项二项式系数二项展开式中各项的系数

(k∈{0,1,2，…，n})k＋12.二项式系数的性质11二项展开式形式上的特点(1)项数为

.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按

排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按

排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.知识拓展n＋1降幂升幂判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)an－kbk是二项展开式的第k项.(

)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(

)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(

)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.(

)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(

)思考辨析××√××

考点自测1.(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是答案解析(x－y)n展开式中第m项的系数为

2.(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为A.－15x4

B.15x4

C.－20ix4 D.20ix4答案解析

答案解析A.130 B.135 C.121 D.139式中含x2项的系数为4.在

的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________.答案解析7题型分类深度剖析题型一二项展开式例1

(1)(2016·全国乙卷)(2x＋

)5的展开式中，x3的系数是_______.(用数字填写答案)答案解析命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数10∴x3的系数是10.

(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为A.10 B.20 C.30

D.60答案解析方法一利用二项展开式的通项公式求解.(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，方法二利用组合知识求解.例2

(1)(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝______.答案解析命题点2已知二项展开式某项的系数求参数令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，

①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.3－2答案解析求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.思维升华跟踪训练1

(1)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)－20答案解析(2)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)答案解析题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例2在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.解答设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，

(*)各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，

①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，

②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝

，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝

.思维升华

跟踪训练2

(1)(2016·北京海淀区模拟)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于A.5 B.6 C.7 D.8答案解析经检验符合题意，故选B.解答当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.

题型三二项式定理的应用例4

(1)设a∈Z且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a等于A.0 B.1 C.11 D.12答案解析(2)1.028的近似值是________.(精确到小数点后三位)1.172答案解析(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.思维升华

A.－1 B.1 C.－87 D.87∵前10项均能被88整除，∴余数是1.答案解析

(2)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值.解答原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a显然正整数a的最小值为4.典例

(1)(2016·河北武邑中学期末)若

展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中含x项的系数为________.(2)(2016·河北邯郸一中调研)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________.

二项展开式的系数与二项式系数现场纠错系列15错解展示现场纠错纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.解析

答案(1)5

(2)27－1返回解析

故展开式中含x项的系数为－15.

答案

(1)－15

(2)1令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1.令x＝0，∴a0＝(－m)7.∴m＝1.∴a0＝(－m)7＝－1.在(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，返回课时作业1.在x2(1＋x)6的展开式中，含x4项的系数为A.30 B.20 C.15 D.10答案解析√12345678910111213142.(2015·湖南)已知

的展开式中含

的项的系数为30，则a等于答案解析1234567891011121314√3.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是A.－20 B.－15

C.15

D.20√答案解析1234567891011121314∵12x－3kx＝0恒成立，∴k＝4，4.(2015·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A.29

B.210 C.211 D.212√答案解析12345678910111213145.若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为1234567891011121314∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4的系数为4a－1＝15，∴a＝4.答案解析√6.若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于答案解析在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，1234567891011121314√7.若(x＋a)2(－1)5的展开式中常数项为－1，则a的值为A.1 B.9

C.－1或－9 D.1或91234567891011121314√答案解析依题意－a2＋10a－10＝－1，解得a2－10a＋9＝0，即a＝1或a＝9.8.(2016·北京)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为_____.(用数字作答)答案解析6012345678910111213149.(2016·天津)

的展开式中x7的系数为________.(用数字作答)答案解析1234567891011121314－5610.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.答案解析123456789101112131410f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，11.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________.答案解析1234567891011121314168解答12.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.12345678910111213141234567891011121314令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(2)(