2023届北京市丰台区高三数学一模试卷及答案

北京市丰台区高三数学一模试卷一、单项选择题1.集合，，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

2.在复平面内，复数，那么对应的点位于〔

〕A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限3.双曲线的离心率是，那么〔

〕A.

B.

2

C.

D.

44.在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

5.假设直线是圆的一条对称轴，那么的值为〔

〕A.

B.

-1

C.

1

D.

26.某三棱锥的三视图如下列图，该三棱锥中最长的棱长为〔

〕A.

2

B.

C.

D.

47.为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，那么〔

〕A.

2

B.

4

C.

4或9

D.

2或188.大气压强，它的单位是“帕斯卡〞〔Pa，1Pa=1N/m2〕，大气压强〔Pa〕随海拔高度〔m〕的变化规律是〔m-1〕，是海平面大气压强.在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为〔

〕〔参考数据：〕A.

550m

B.

1818m

C.

5500m

D.

8732m9.非零向量共面，那么“存在实数，使得成立〞是“〞的〔

〕A.

充分而不必要条件

B.

必要而不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件10.函数，假设存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，那么实数的取值范围是〔

〕A.

B.

C.

D.

二、填空题11.函数的定义域为________.12.在的展开式中常数项为________(用数字作答).13.在中，，那么________.14.设等比数列满足，那么的最大值为________.15.如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去局部几何体后，所得几何体为三棱锥.以下四个结论中，所有正确结论的序号是________.①三棱锥的体积为；②三棱锥的每个面都是锐角三角形；③三棱锥中，二面角不会是直二面角；④三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分别记为，那么.三、解答题16.函数.〔1〕当时，求的值；〔2〕当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是时，________.从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求在区间上的最小值；②求的单调递增区间；③假设，求的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.17.如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，.〔1〕求证：；〔2〕假设，求二面角的余弦值.18.某电影制片厂从2021年至2021年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长〔单位：分钟〕如下列图.〔1〕从2021年至2021年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；〔2〕从2021年至2021年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；〔3〕将2021年至2021年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小.〔只需写出结论〕19.椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.〔ⅰ〕求证：直线的斜率之积为定值；〔ⅱ〕判断三点是否共线，并说明理由.20.函数.〔1〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔2〕假设函数存在三个零点，分别记为.〔ⅰ〕求的取值范围；〔ⅱ〕证明：.21.数列，现将数列的项分成个数相同的两组，第一组为，满足；第二组为，满足，记.〔1〕假设数列，写出数列的一种分组结果，并求出此时的值；〔2〕假设数列，证明：；〔其中表示中较大的数〕〔3〕证明：的值与数列的分组方式无关.

答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为集合，所以．故答案为：D．

【分析】根据题意由并集的定义计算出结果即可。2.【解析】【解答】，那么，因此，对应的点位于第一象限.故答案为：A.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理化简，再由共轭复数的定义结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。3.【解析】【解答】因为双曲线方程为，所以离心率是，解得，又因为，所以，故答案为：B

【分析】首先由条件结合双曲线的性质以及离心率的公式即可计算出a的值即可。4.【解析】【解答】解：依题意，因为，所以故答案为：A

【分析】根据题意即可得出，再由诱导公式计算出结果即可。5.【解析】【解答】圆的方程可化为，可得圆的圆心坐标为，半径为，因为直线是圆的一条对称轴，所以，圆心在直线上，可得，即的值为-1，故答案为：B．

【分析】首先把圆的方程化为标准式并求出圆心坐标以及半径，再由条件结合图象的性质把圆心坐标代入到直线的方程计算出k的值即可。6.【解析】【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如下列图的三棱锥，其中底面，，，，，在该三棱锥中，最长的棱长为．故答案为：C．

【分析】根据题意由三视图的性质即可得出该几何体为三棱锥，结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由勾股定理代入数值计算出PC的值从而得出答案。7.【解析】【解答】解：由题意可得：抛物线的准线的方程为：设点，又因点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以有，解得或，即的值分别为18或2.故答案为：D.

【分析】根据题意由抛物线的方程即可求出准线的方程，再设出点P的坐标，结合抛物线的定义即可得出关于p和x的方程组，求解出结果即可。8.【解析】【解答】在某高山两处海拔高度为，所以，所以，所以〔m〕.故答案为：C

【分析】根据题意由以及指数函数的运算性质代入数值计算出结果即可。9.【解析】【解答】假设存在实数，使得成立，所以，，所以，故充分；假设，那么，即，所以，因为，所以或，所以方向相同或相反，所以存在实数，使得成立，故必要；故答案为：C

【分析】利用数量积为数，以及数量积的运算法那么，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．10.【解析】【解答】分情况讨论，当时，要使有三个不同的根，那么；当时，要使有三个不同的根，同理可知，需要．当时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．的取值范围是，故答案为：B．

【分析】根据题意对m分情况讨论，结合方程的根的情况结合二次函数以及一次函数的图象，由数形结合法即可求出m的取值范围。二、填空题11.【解析】【解答】依题意知，函数有意义，那么需，解得，故定义域为(0,1]．故答案为：(0,1]．

【分析】

结合函数定义域的求法：真数大于零，被开方数大于等于零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。12.【解析】【解答】的展开式的通项为：，当，解得，的展开式中常数项是：，故答案为：160。【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。13.【解析】【解答】在中，因为，所以，即，解得，故答案为：

【分析】根据题意由正弦定理代入数值计算出cosA的值即可。14.【解析】【解答】设公比为，那么由得，，，，所以．，，又，所以或6时，取得最大值为30，所以的最大值为。故答案为：15。

【分析】利用条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求出等比数列的通项公式，再结合指数幂的运算法那么得出，再利用二次函数的图像求最值的方法结合复合函数的单调性，即同增异减，进而求出的最大值。15.【解析】【解答】三棱锥的体积为，故①正确；三棱锥的每个面的边长分别为，设，那么是三边中最大边，设其对应角为那么所以为锐角，故每个面为锐角三角形，②正确；以为原点建立空间直角坐标系如下列图：那么

设平面的一个法向量为那么取，那么，那么设平面的一个法向量为那么取，那么，那么所以取，有，那么，所以二面角会是直二面角，故③错；三棱锥中，三条侧棱分别为与底面的夹角分别记为那么所以，故④正确，故答案为：①②④

【分析】利用条件结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥的体积，因为三棱锥的每个面的边长分别为，设，那么是三边中最大边，设其对应角为，再利用余弦定理结合余弦函数值的正负，那么为锐角，故每个面为锐角三角形，再利用空间向量求二面角的方法，得出二面角会是直二面角，三棱锥中，三条侧棱分别为与底面的夹角分别记为，再利用正弦函数的定义，所以，从而选出正确结论的序号。三、解答题16.【解析】【分析】〔1〕利用的值结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用代入法求出函数值。

〔2〕因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，从而求出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，从而求出正弦型函数的解析式。从①②③中任选一个，补充到空格处，选①，因为，再结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的最小值；选②，利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数的单调区间；选③，因为，所以，再利用正弦型函数的图像，进而求出x的取值范围。

17.【解析】【分析】〔1〕在菱形中，，所以为等边三角形，又因为为的中点，所以利用等边三角形三线合一，所以，因为//，所以，因为底面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，因为是棱上的点，从而证出。

〔2〕因为底面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，进而建立空间直角坐标系，设，那么，再利用条件求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用共线定理结合平面向量根本定理，进而利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系结合数量积求向量夹角公式，进而结合题意知二面角为锐二面角，从而求出二面角的余弦值。18.【解析】【分析】(1)根据题意由折线图中的数据结合概率公式计算出结果即可。

(2)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出的分布列并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。

(3)根据题意由条件的图表中的数据代入到平均值公式计算出结果，再由方差的公式代入数值计算出结果，再由标准值进行比较即可得出结论。19.【解析】【分析】(1)根据