安徽六校教育研究会高三理数第一次素质考试试卷

高三理数第一次素质考试试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1.设集合，则（）A.

B.

C.

D.2.复数，则（）A.

B.4

C.

D.3.一个至少有3项的数列中，前项和是数列为等差数列的（）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件4.下列说法正确的是（）A.经过三点确定一个平面

B.各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥

C.各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱

D.一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形5.二项式的展开式中的系数为20，则（）A.7

B.6

C.5

D.46.将点绕原点逆时针旋转得到点B，则点B的横坐标为（）A.

B.

C.

D.7.已知抛物线，A和B分别为抛物线上的两个动点，若（O为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（）A.

B.

C.

D.8.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丢一粒种子，则种子落入白色部分的概率为（）A.

B.

C.

D.9.把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（）A.20个

B.62个

C.63个

D.64个10.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15．如图所示．一般地，将连续的正整数1，2，3，…填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上的数的和为，如图三阶幻方记为，那么的值为（）A.670

B.671

C.672

D.67511.已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（）A.

B.

C.

D.12.设，，则（）A.

B.

C.

D.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）．13.已知向量，满足，，则

．14.在棱长为2的正四面体中，是的高线，则异面直线和夹角的正弦值为

．15.正割（secant）及余割（cosecant）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知，且对任意的实数均成立，则的最小值为

．16.已知函数，设，且函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为

．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.已知数列的前项和为，且满足，设．（1）分别求和的通项公式；（2）求数列的前前项和．18.三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求；（2）若，求的面积最大值．19.近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．（1）用表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望；（2）设为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件发生的概率．20.如图，在多面体中，底面是等腰直角三角形，，四边形为矩形，面，，，N为中点，面交于点．（1）求长；（2）求二面角的余弦值．21.已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于A，B两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，，记直线，，的斜率分别为，，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由．22.设，满足，证明：（1）对任意正数，有；（2）对任意正数a，b，有．

答案解析部分一、选择题（本大题共12小题，每小题<b>5<b>分，共60分）．<b>1.【答案】C【解析】【解答】解：由题意得A={3,4,5}，由

得，解得1<x<5，则B={x|1<x<5}

∴A∩B={3,4}

故答案为：C

【分析】根据一元二次不等式及对数不等式的解法，结合交集的定义求解即可.2.【答案】A【解析】【解答】解：由题意得

，

则.

故答案为：A

【分析】根据复数的运算，以及复数的求模公式求解即可.3.【答案】C【解析】【解答】解；(1)必要性显然成立;

(2)充分性，若

，所以当n≥2时，，

所以2an=n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)，化简得(n-1)an-1=a1+(n-2)an①

所以当n≥3时，(n-2)an-2=a1+(n-3)an-1②

①-②得2(n-2)an-1=(n-2)(an+an-2)，

所以2an-1=an+an-2，即数列(an)是等差数列，

∴充分性得证，

所以是数列(an)是等差数列的充要条件.

故答案为：C.

【分析】根据充要条件的判断，结合等差数列的概念求解即可.4.【答案】D【解析】【解答】解：对于A，根据平面的性质，易知经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；

对于B，把两个底面全等的棱锥重合在一起，每一个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，故B错误；

对于C，当各侧面都是正方形，但底面是菱形的棱柱不是正棱柱，故C错误；

对于D，如图所示，在直棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形，故D正确

故答案为：D

【分析】根据平面的性质可判断A，根据棱锥的几何特征可判断B，根据棱柱与正棱柱的几何特征可判断C，根据直棱锥的几何特征可判断D.5.【答案】B【解析】【解答】解：由题意得(x+1)n=(1+x)n展开式的通项公式为，

令r=3，得

的系数为，

对于A，当n=7时，，故A错误；

对于B，当n=6时，，故B正确；

则CD错误，

故答案为：B

【分析】根据二项式定理直接求解即可.6.【答案】A【解析】【解答】解：由题意可设点

角α与单位圆的交点，

则，

则将角α绕原点逆时针旋转得到角，

则

即点B的横坐标为

故答案为：A

【分析】根据三角函数的定义，结合两角和的余弦公式求解即可.7.【答案】B【解析】【解答】解：由题意可设点A为(x1,y1)，点B为(x2,y2)，直线AB为：x=my+4

则由得y2-2pmx-8p=0，

∴y1y2=-8p，，

∵

即OA⊥OB

∴x1x2+y1y2=0

即

∴

解得p=2

则抛物线方程为

故答案为：B

【分析】根据直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理以及直线垂直的充要条件求解即可.8.【答案】C【解析】【解答】解：设正方形的边长为2，则根据几何概型的概率公式得

故答案为：C

【分析】根据几何概型的概率公式直接求解即可.9.【答案】B【解析】【解答】解：该数列恰先增后减，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，

当7前有1个数字时，有=6种，

当7前有2个数字时，有=15种，

当7前有3个数字时，有=20种，

当7前有4个数字时，有=15种，

当7前有5个数字时，有=6种，

根据分类计数原理，共有6+15+20+15+6=62种，

故答案为：B.

【分析】根据分类计数原理，结合组合数的计算直接求解即可.10.【答案】B【解析】【解答】解：由

阶幻方的定义知，每行、每列、每条对角线上的数的和相等，

则由得

故答案为：B

【分析】运用类比推理，结合等差数列的前n项和公式求解即可.11.【答案】B【解析】【解答】解：记

与

的内切圆分别为圆O1与圆O2，半径分别为R1，R2，

设圆O1与△MF1F2的三边的切点分别为A，B，C，如图

令MA=MC=m，AF1=BF1=n，BF2=CF2=t，

根据双曲线的定义可得，可得n=a+c，

由此可知，在△F1F2M中O1B⊥x轴于B，同理O2B⊥x轴于B，

∴O1O2⊥x轴

过圆心O2作CO1的垂线，垂足为D

易知直线l的倾斜角θ与∠O2O1D大小相等

不妨设R1=4，R2=1，则O2O1=5，O1D=1，

所以根据勾股定理，，

所以

故答案为：B

【分析】根据双曲线定义，结合内切圆的性质以及正切函数的定义求解即可.12.【答案】D【解析】【解答】解：设，则

因为，所以当1<x<e时，f'(x)<0；当x>e时，f'(x)>0.

所以f(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增，

因为f(2)=f(4)，且，

所以，

即

a>b>c.

故答案为：D.

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合利用函数的单调性比较函数值的大小求解即可.二、填空题（本大题共4小题，每题<b>5<b>分，共20分）．<b>13.【答案】【解析】【解答】解：∵

，

，

∴由得，解得

∴

∴

故答案为：

【分析】根据向量的线性运算，结合向量的求模公式求解即可.14.【答案】【解析】【解答】解：如图，

取BD中点F，连接EF，

因为E,F分别为BC，BD,的中点，则EF为△CBD的中位线，所以EF//CD，

所以∠AEF(或其补角)即为直线AE与直线CD所成的角.

因为正四面体A-BCD的棱长为2，则EF=1，在等边△ABC与△ABD中，E,F分别为BC，BD的中点，

所以，又EF=1，

在△AEF中，，

所以

故答案为：

【分析】根据异面直线所成角的定义与解法，结合余弦定理求解即可.15.【答案】9【解析】【解答】解：由题意知，，，sin2α+cos2α=1，

则

，

当且仅当时，取得最小值，

则≥16，

解得t≥9

则t的最小值为9，

故答案为：9

【分析】根据正割与余割的定义，结合同角三角函数的基本关系及基本不等式求最值即可求解.16.【答案】【解析】【解答】解：如图，画出函数f(x)的图像，

当x>0时，f(x)=2x3-6x+3，则f'(x)=6x2-6=6(x-1)(x+1)，

则可知f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，且f(1)=-1<0；

当x<0时，f(x)=|x+3|，

又

恒过定点，

若要使y=f(r)-g(x)经过四个象限，由图可知只需f(x)与g(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分别有交点即可(交点不可为(-3,0)和切点，

(1)当k>0时，在(0，+∞)上必有交点，在(-∞,0)区间内，需满足；

(2)当k<0时，在(-∞,0)上必有交点，在(0,+∞内，只需求过定点与函数f(x)=2x3-6x+3(x>0)图像的切线即可，设切点为(xo,2x03-6x0+3)，由解得，

则切线斜率,

所以

(3)当k=0时也符合题意

综上可得实数

的取值范围为

故答案为：

【分析】利用导数研究函数的单调性及极值，考查导数的几何意义，运用数形结合思想求解即可.三、解答题（共<b>70<b>分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.【答案】（1）由知，当时，两式相减，得即当时，故时也适合上式∴综上：

（2）由（1）知【解析】【分析】（1）利用数列的递推公式及an与sn的关系，结合数列的通项公式直接求解即可；（2）利用裂项相消求和直接求解即可.

18.【答案】（1）∵∴∴∴∵，∴

（2）由，及余弦定理知（当且仅当时“=”成立）故∴故面积的最大值为【解析】【分析】（1）根据立方和公式，以及余弦定理直接求解即可；（2）根据余弦定理，以及基本不等式直接求解即可.

19.【答案】（1）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且所以，随机变量的分布列为：X0123P随机变量的数学期望.

（2）设B为事件“抽取的3名学生中，不近视2人，近视1人”；设为事件“抽取的3名学生中，不近视1人，近视2人”，则，且与互斥，从而．【解析】【分析】（1）根据超几何分布的概率公式，结合随机变量的分布列与期望直接求解即可；（2）根据互斥事件的概率公式直接求解即可.20.【答案】（1）延长，交于一点