福建省南平市高三数学联考试卷

高三数学联考试卷一、单选题1.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.

2.2021年8月8日，第32届夏季奥林匹克运动会在日本东京正式闭.17天的比赛全部结束后，排名前十的金牌数如下表所示，则这10个数据的中位数是（

）排名12345678910国家/地区美国中国日本英国俄罗斯奥运队澳大利亚荷兰法国德国意大利金牌数39382722201710101010A.

18.5

B.

18

C.

19.5

D.

203.将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最后得到函数的图象，则（

）A.

B.

C.

D.

4.已知四边形为梯形，则“”是“四边形为等腰梯形”的（

）A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件5.若直线与曲线相切，则（

）A.

为定值

B.

为定值

C.

为定值

D.

为定值6.已知单位向量，的夹角为，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.

7.已知定义在上的函数满足，当时，单调递增，则（

）A.

B.

C.

D.

8.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为，3周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（

）A.

5周

B.

6周

C.

7周

D.

8周二、多选题9.若实数，满足，则（

）A.

的共轭复数为

B.

C.

的值可能为

D.

10.下列函数中，最小值为9的是（

）A.

B.

C.

D.

11.已知函数，则（

）A.

的最大值为

B.

的图象关于点对称

C.

图象的对称轴方程为

D.

在上有4个零点12.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（

）A.

B.

C.

D.

三、填空题13.展开式中的第3项为

.14.设等差数列的前项和为，已知，则

.15.已知不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数：

.①定义域为R；②；③；④.16.设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为

.四、解答题17.如图，在中，是边上一点，，，.（1）.求角的大小；（2）.若，求和.18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，点，分别为，的中点.（1）.证明：平面.（2）.若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.已知数列的前项和为，且，数列的前项积为，且.（1）.求，的通项公式；（2）.求数列的前项和.20.某地区位于甲､乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2（假设两河流发生洪水与否互不影响），今年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有以下3种方案：方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失30000元.当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案二：修建保护围墙，建设费为4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案三：修建保护大坝，建设费为9000元，能够抵御住两河流同时发生洪水.（1）.求今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率；（2）.从花费的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由.21.已知椭圆的长轴长为，点在上.（1）.求的方程；（2）.设的上顶点为A，右顶点为B，直线与平行，且与交于，两点，，点为的右焦点，求的最小值.22.已知函数.（1）.求的单调区间与极值.（2）.设，为两个不相等的正数，且，证明：.

答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】因为或，所以或.故答案为：D.

【分析】由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得出集合A再由交集的定义结合不等式即可得出答案。2.【答案】A【解析】【解答】将10个数据按从小到大的顺序排列为10，10，10，10，17，20，22，27，38，39，则这10个数据的中位数是，故答案为：A.

【分析】由已知条件把图表中的数据代入到中位数公式计算出结果即可。3.【答案】C【解析】【解答】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象的解析式为，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到.故答案为：C.

【分析】由函数平移的性质整理化简即可得出函数的解析式，由此即可得出答案。4.【答案】A【解析】【解答】若，则由四边形为梯形，得且，所以四边形为等腰梯形.所以充分性成立，若四边形为等腰梯形，则或，而当时，，所以必要性不成立，故答案为：A.

【分析】根据梯形以及等腰梯形的几何性质，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。5.【答案】B【解析】【解答】设直线与曲线切于点，因为，所以，，所以切点为，代入直线方程得：，即.故答案为：B.

【分析】根据题意对函数求导，再由已知条件即可得出切点的坐标，然后由点斜式求出直线的方程，再把点的坐标代入整理即可得出答案。6.【答案】C【解析】【解答】因为，所以，故.故答案为：C.

【分析】由数量积的运算性质结合基本不等式即可求出的最小值。7.【答案】A【解析】【解答】因为为偶函数，所以，又，所以，所以，即是周期为4的函数，则.因为，所以，，.因为为偶函数，且当时，单调递增，所以当时，单调递减，故.故答案为：A.

【分析】熟悉由已知条件结合函数周期的定义即可得出函数的周期性，再由周期的定义代入数值计算出结果，然后由正切函数的单调性即可得出，再由对数的运算性质整理化简结合偶函数的性质即可比较出结果。8.【答案】B【解析】【解答】由题意可知，，，，解得.设该文化娱乐场所竣工后放置周后甲醛浓度达到安企开放标准，则，整理得，设，因为，所以，即，则，即.故至少需要放置的时间为6周.故答案为：B.

【分析】由已知条件即可得出函数的解析式，然后由指数幂的运算性质整理即可得到，再由指数函数的单调性即可得到关于m的不等式，由此即可得出，从而得出答案。二、多选题9.【答案】B,C,D【解析】【解答】因为.所以，，即，，则.解得或，A不符合题意，B，C，D均正确.故答案为：BCD.

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简由此得出，再由已知条件整理即可计算出y的值，结合共轭复数的定义即可判断出选项A错误，由复数模的公式代入数值计算出结果由此即可判断出选项C正确；由x与y的值即可判断出选项B、D正确，由此即可得出答案。10.【答案】A,B【解析】【解答】，当且仅当时，等号成立，A符合题意；，当且仅当，即时，等号成立，B符合题意；因为和都可以小于0，所以的最小值不可能是9，C不符合题意；，当且仅当，即时，等号成立，则最大值为9，D不符合题意.故答案为：AB

【分析】首先由二倍角公式以及对数的运算性质整理化简原式，然后由基本不等式即可求出各个选项的最值，从而对选项逐一判断即可得出答案。11.【答案】A,C,D【解析】【解答】

，则的最大值为，A符合题意；易知图象的对称中心的纵坐标为，B不符合题意；令，得，此即图象的对称轴方程，C符合题意；由，得，当吋，，作出函数的图象，如图所示：所以方程在上有4个不同的实根，即在上有4个零点，D符合题意.故答案为：ACD.

【分析】首先由两角和的正、余弦公式整理化简原式，然后由正弦函数的图象即可作出函数f(x)的图象，结合数形结合法由正弦函数的单调性、图象以及零点的定义对选项逐一判断即可得出答案。12.【答案】A,C,D【解析】【解答】设函数，，因为则，所以在上单调递减，从而，即，则必有，，，.又在上单调递减，所以x>0时，，所以x>0时，，又，所以.故答案为：ACD.

【分析】根据题意构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数值的大小关系，再由已知条件对选项逐一判断即可得出答案。三、填空题13.【答案】【解析】【解答】展开式中的通项为，所以第项为：，故答案为：.

【分析】首先求出二项展开式的通项公式，然后由已知条件代入数值计算出结果即可。14.【答案】72【解析】【解答】因为，所以，故.故答案为：72.

【分析】由等差数列的项的性质整理化简即可求出，然后由等差数列项的性质以及等差数列的前n项和公式计算出结果即可。15.【答案】f(x)=cos8x（答案不唯一）【解析】【解答】由，得，联想到，可推测，由，得，则，又，所以（，为偶数，且），则当k=2时，f(x)=cos8x.故答案为：f(x)=cos8x（答案不唯一）.

【分析】由已知条件即可得出，再由诱导公式以整理即可得出，结合特殊值代入法即可得出，对k赋值计算出结果即可。16.【答案】10【解析】【解答】作出函数的大致图象，如图所示：当时，对称轴为，所以，若关于的方程有四个实根，，，，则，由，得或，则，又因为，所以，所以，所以，所以，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为10.故答案为：10.

【分析】根据题意由二次函数和对数函数的图象作出函数f(x)的分段函数的图象，然后由数形结合法结合方程根的情况即可得出，再由对数的运算性质整理即可得到，整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值。四、解答题17.【答案】（1）解：在中，因为，，，所以.因为，所以

（2）解：因为，，所以.在中，由余弦定理：，得.由正弦定理，解得：【解析】【分析】(1)由已知条件结合余弦定理代入数值即可得出cosB的值，结合角的取值范围即可求出角B的大小。

(2)根据题意由余弦定理代入数值计算出边的大小，再由正弦定理计算出结果即可。

18.【答案】（1）证明：因为，是中点，所以.因为平面，平面，所以.又，，平面，所以平面，而平面，从而.因为点，分别为，的中点，所以，从而.又，平面.所以平面.

（2）解：分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得.所以.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为【解析】【分析】(1)根据作出辅助线结合中点的性质，结合三角形的几何性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线线平行的性质即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得证出结论。

(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面与平面所成锐二面角的余弦值。

19.【答案】（1）解：时，；时，，经检验，当时，满足，因此.时，；时，，经检验，当时，满足，因此.

（2）解：由（1）知，，，两式相减得故【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式，整理化简即可得出，由此即可得出数列的通项公式。

(2)由(1)的结论整理得出数列的通项公式，再由错位相消法即可得出答案。

20.【答案】（1）解：由题意，甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2，则甲､乙两条河流均不发生洪水的概率为，所以今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率为

（2）解：设损失费为.方案一：的可能取化为30000，60000，0.，，，所以元；方案二：建围墙，需要花费4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元，两条河流都发生洪水的概率，所以该方案中元；方案三：修建保护大坝，建设费为9000元，设备不会受损，方案中的花费为9000元，因为方案二中损失费用的期望即平均费用最少，所以方案二最好.【解析】【分析】(1)根据题意先计算出甲、乙两条河流均不发生洪水的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解；

(2)由已知条件即可设损失费为X，分别求出三种方案中的E(X)，E(X)最小值，比较之后即可得出哪个方案最好，从而得出答案。

21.【答案】（1）解