数学建模讲座之三用MATLAB求解线性规划lin课件

2020/4/21数学建模用MATLAB优化工具箱解线性规划minz=cXbAXts?..1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）2、模型：minz=cXbAXts?..beqXAeq??命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若没有不等式：存在，则令A=[]，b=[].bAX?2020/4/21数学建模3、模型：minz=cXbAXts?..beqXAeq??VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）注意：[1]若没有等式约束:,则令Aeq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始点beqXAeq??4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.2020/4/21数学建模解编写M文件xxgh1.m如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例1

max

6543216.064.072.032.028.04.0xxxxxxz??????

85003.003.003.001.001.001.0..654321??????xxxxxxts

70005.002.041??xx

10005.002.052??xx

90008.003.063??xx

6,2,10???jxj

2020/4/21数学建模例2

321436minxxxz???

120..321???xxxts

301?x

5002??x

203?x

解:编写M文件xxgh2.m如下：c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)?????????321)436(minxxxz?????????????????32120030xxx???????????????????????????50120010111

..321xxxts2020/4/21数学建模一、问题提出

市场上有n种资产is（i=1,2……n）可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买is的平均收益率为ir，风险损失率为iq，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的is中最大的一个风险来度量。

购买is时要付交易费，(费率ip)，当购买额不超过给定值iu时，交易费按购买iu计算。另外，假定同期银行存款利率是0r，既无交易费又无风险。（0r=5%）

投资的收益和风险2020/4/21数学建模已知n=4时相关数据如下：

is

ir（%）

iq（%）

ip（%）

iu（元）

S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。

2020/4/21数学建模基本假设：

1.

投资数额M相当大,为了便于计算，假设M=1；

2．投资越分散，总的风险越小；

3．总体风险用投资项目is中最大的一个风险来度量；

4．n种资产Si之间是相互独立的；

5．在投资的这一时期内,ri,pi,qi，r0为定值，不受意外因素影响；

6．净收益和总体风险只受ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰。

二、基本假设和符号规定符号规定：

Si

——第i种投资项目，如股票，债券

ri,pi,qi----分别为Si的平均收益率,风险损失率，交易费率

ui----Si的交易定额

0r-------同期银行利率

xi-------投资项目Si的资金a-----投资风险度

Q----总体收益

ΔQ----总体收益的增量

2020/4/21数学建模三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．购买Si所付交易费是一个分段函数,即

pixi

xi>ui

交易费

=

piui

xi≤ui而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小,piui更小,可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi

3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:

目标函数

MAX???niiiixpr0)(

MINmax{qixi}

约束条件

???niiixp0)1(=M

xi≥0

i=0,1,…n2020/4/21数学建模a．

在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。

模型1

固定风险水平，优化收益

目标函数：Q=MAX????11)(niiiixpr

约束条件：

Mxqii≤a

???Mxpii)1(，

xi≥

0

i=0，1，…n

4.模型简化：2020/4/21数学建模b．若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。

模型2

固定盈利水平，极小化风险

目标函数：

R=min{max{qixi}}

约束条件：

???niiiixpr0)(≥k，

???Mxpii)1(

，

xi≥

0

i=0，1，…n

2020/4/21数学建模c．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。

因此对风险、收益赋予权重s（0＜s≤1)，s称为投资偏好系数.

模型3

目标函数：

mins{max{qixi}}-（1-s）???niiiixpr0)(

约束条件

???niiixp0)1(=M，

xi≥0

i=0,1,2,…n2020/4/21数学建模四、模型1的求解模型1为:

minf=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,

-0.185)(x0

x1

x2

x3

x4)T

x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1s.t.

0.025x1

≤a

0.015x2

≤a

0.055x3

≤a

0.026x4≤a

xi

≥0

(i=0,1,…..4)

由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：2020/4/21数学建模max

Q=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(x0,x1,x2,x3,x4)T

x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1s.t.

0.025x1

≤a

0.015x2

≤a

0.055x3

≤a

0.026x4

≤a

xi

≥0

(i=0,1,…..4)

从a=0开始，以步长△a=0.001对下列组合投资模型求解,并绘图表示a与目标函数最优值Q的对应关系:2020/4/21数学建模a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')2020/4/21数学建模a=0.0030

x=0.4949

0.1200

0.2000

0.0545

0.1154

Q=0.1266a=0.0060

x=0

0.2400

0.4000

0.1091

0.2212

Q=0.2019a=0.0080

x=0.0000

0.3200

0.5333

0.1271

0.0000

Q=0.2112a=0.0100

x=0

0.4000

0.5843

0

0

Q=0.2190a=0.0200

x=0

0.8000

0.1882

0

0

Q=0.2518a=0.0400

x=0.0000

0.9901

0.0000

0

0

Q=0.2673