高等数学教学教学教案（同济六版）3-7 导数地应用习题课

第七讲导数的应用习题课导数的应用习题课一、内容小结二、题型练习导数的应用习题课一、内容小结二、题型练习中值定理罗必达法则泰勒公式单调性与凹凸性极值与最值导数中值定理求极限函数的性态证明不等式……导数的应用了解函数性态证明不等式讨论方程根的分布最值应用问题单调区间的求法凹凸区间的求法极值与最值求法渐近线的求法曲率的求法单调性判定定理凹凸性判定定理极值判定条件渐近线定义曲率定义应用方法单调性与凹凸性极值与最值极值点与拐点渐近线曲率理论概念xf'(x)f"(x)f(x)

xi(xi-1xi)(xi

xi+1)……单调性

单调性

凹凸性

凹凸性

不同

(xi

f(xi+1))

拐点不同

极值点和极值导数的应用习题课一、内容小结二、题型练习导数的应用习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习(一)基本概念(二)基本方法(三)基本应用二、题型练习(一)基本概念(二)基本方法(三)基本应用例1设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图所示，则导数y=f'(x)的图形为哪一个xoyxoyxoyxoyxoy解答下列问题(1)(2)设函数f(x)在R内连续，其导函数图形如图，则f(x)有（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）两个极小值点和两个极大值点xoy设函数f(x)具有二阶导数，且f'(x)>0，f"(x)>0，若在x0处Δx>0，则（A）0<dy<Δy（B）0<Δy<dy（C）Δy<dy<0（D）dy<Δy<0xoy(3)(4)设y=f(x)在x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果则（A）x=x0一定是极值点，(x0,f(x0))一定不是拐点（B）（C）（D）x=x0一定是极值点，(x0,f(x0))不一定是拐点x=x0一定不是极值点，(x0,f(x0))必是拐点x=x0一定不是极值点，(x0,f(x0))也一定不是拐点推广设函数y=f(x)在x=x0的某邻域内具有n阶连续导数，n为奇数时，x=x0为拐点的横坐标，不是极值点n为偶数时，x=x0是极值点极小值点极大值点如果例2设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a≠0)，确定a、b、c满足的条件，使f(x)有极值例3设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，且讨论f(x)在点x0处是否有极值二、题型练习(一)基本概念(二)基本方法(三)基本应用二、题型练习(一)基本概念(二)基本方法(三)基本应用设函数f(x)在[0，1]上二次可导，且f(0)=0,f

"(x)>0证明在（0,1）上单调增加.补1证明函数在(a,+∞)上单调增加(a>0)例4例5求以下函数的极值(1)例6(2)讨论由的单调性和极值.确定的隐函数y=y(x)求曲线的渐近线.例7补2曲线的渐近线有几条？二、题型练习(一)基本概念(二)基本方法(三)基本应用二、题型练习(一)基本概念(二)基本方法(三)基本应用(三)基本应用1．证明不等式2．讨论方程根的分布3．实际应用题(三)基本应用1．证明不等式2．讨论方程根的分布3．实际应用题例8证明下列不等式(1)(2)(3)(4)补3证明下列不等式(1)(2)(3)注证明不等式的主要方法利用中值定理利用函数的单调性利用曲线的凹凸性利用函数的极值与最值关键：将不等式适当变形技巧：考察高阶导数考察部分因子(三)基本应用1．证明不等式2．讨论方程根的分布3．实际应用题(三)基本应用1．证明不等式2．讨论方程根的分布3．实际应用题例9讨论方程在区间(0,+∞)内实根的个数．例10确定方程的实根的个数,并指出它们所在的区间.补4讨论方程的实根的个数.注方程根的讨论存在性零点定理罗尔定理唯一性单调性反证法个数及分布单调区间极值(三)基本应用1．证明不等式2．讨论方程根的分布3．实际应用题(三)基本应用1．证明不等式2．讨论方程根的分布3．实际应用题例11xOyMN例12若火车每小时所耗燃料费用与火车速度的立方成正比