2021年全国新高考Ⅰ、II卷数学试题（解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名.考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用

25铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角

“条形码粘贴处

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试

卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4=卜|一2<x<4},5={2,3,4,5},则AB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.

{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义可求AB.

【详解】由题设有Ac8={2,3},

故选：B.

2.已知z=2—i，贝ijz(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的乘法和共较复数的定义可求得结果.

【详解】因为z=2—i,故W=2+i，故2«+。=(2—i)(2+2i)=6+2i

故选：C.

3.已知圆锥的底面半径为0,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.2V2c.4D.40

【答案】B

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为

所求.

【详解】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则4=24X0，

解得1=2&.

故选：B.

4.下列区间中，函数/(x)=7sin(x-g］单调递增的区间是()

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式2版■一、<x-.<2版■+|^wZ),利用赋值法可得出结论.

717T\/\

(2^--,2Zr^+-I(Z:GZ),

对于函数/(x)=7§山［一看),由2k冗―%<x~~~<+GZ),

712兀/、

解得2人万一5cx<2k/i+—^(keZ),

取％=0,

A选项满足条件，B不满足条件;

取女=1,

满足条件.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin（（yx+s）形

式，再求y=Asin（（yx+s）的单调区间，只需把。x+夕看作一个整体代入y=sin尤的相应

单调区间内即可，注意要先把力化为正数.

22

5.已知《，乃是椭圆c：5+?=1的两个焦点，点”在。上，贝咋|的最大

值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本题通过利用椭圆定义得至4|+|M闾=2。=6,借助基本不等式

耳）

|M用；网周即可得到答案.

【详解】由题，/=9,/=4,贝闾=2。=6,

所以|叫卜阿尸2区回味空T|=9（当且仅当|岫卜|峥|=3时，等号成立）.

故选：C.

【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到.

6.若tan*-2,则^^L()

sin夕+cos6

626

A.——B.——D.

555

【答案】C

【解析】

【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan。=-2即可得到结果.

【详解】将式子进行齐次化处理得:

sin/l+sin2。)sin6(sin2O+cos?6+2sin6cose)、

-----------------------------=sin6»(sin8+cos8)

sin0+cossin6+cos。

_sine(sine+cos8)_tan^+tan0_4-2_2

sin2+cos201+tan201+45

故选：C.

【点睛】易错点睛：本题如果利用tan。=—2,求出sin。,cos。的值，可能还需要分象限

讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.

7.若过点(。,人)可以作曲线y=e'的两条切线，贝U()

ha

A.e<aB.e<b

C.0<a<ebD.0<b<e"

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形

确定结果

【详解】在曲线y=e*上任取一点对函数y=e*求导得y'=e"

所以，曲线y=，在点尸处的切线方程为y—e'=e'(x—f),即y=dx+(l—r)d,

由题意可知，点(a,。)在直线y=e'x+(l-f)d上，可得人=+(l-f)d=(a+l-f)d,

令/«)=(a+l_f)e'，则/'(f)=(a_f)d.

当r<a时，/'“)>0,此时函数/“)单调递增，

当时，/'(t)<0,此时函数单调递减,

所以，/("nax=/(a)=e"，

由题意可知，直线y=b与曲线y=/(r)的图象有两个交点，则力

当/<。+1时，/(。>0,当f>a+l时，〃f)<0,作出函数/⑴的图象如下图所示:

由图可知，当o<A<e"时，直线丁=匕与曲线y=/(r)的图象有两个交点.

故选：D.

【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取

1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”,

丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是T,

则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【答案】B

【解析】

【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】P(甲)=3P(乙)=3P(丙)=2,P(丁)=2=3，

ooJoJoo

P(甲丙)=0声P(甲)P(丙)，P(甲丁)=-5-=P(甲)P(丁)，

36

P(乙丙)P(乙)P(丙)，P(丙丁)=0wP(丁)P(丙)，

36

故选：B

【点睛】判断事件A5是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(3)=P(A或是否成立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据玉，x21...»xn,由这组数据得到新样本数据%,%，…，然，其中

乃=x,.+c(i=l,2,…,〃),c为非零常数，贝ij()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】A、C利用两组数据的线性关系有E(y)=£(x)+c、O(y)=Z)(x),即可判断正

误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+u§.c#0,故平均数不相同，错误；

B:若第一组中位数为七，则第二组的中位数为％=X,+C,显然不相同，错误；

C：O(y)=O(x)+0(c)=£>(©,故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为玉山-尤而…则第二组的极差为

+

Xnax-Win=(%^)-(Xmin+C)=X3一/汨，故极差相同，正确；

故选：CD

10.已知。为坐标原点，点片(cosa,sina),(cos/?,-sin/?),

6(cos(a+/7),sin(a+/7)),A(l,0),则()

A网=|网B.k止网

C.OAOP3^OP{OP2D.OAOP^OP.OP,

【答案】AC

【解析】

uuuuuu

【分析】A、B写出o《，og、APrA6的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；

C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：=(cosa,sina),OP2=(cos夕,-sin/?),所以|O。|=Jcos?2+sin2a=1,

22

IOP?|=5J(cos/?)+(-sin/?)=1，故|0P{|=|0P2\,正确；

B：A7J=(cosa-1,sina),AP2=(cosyff-1,-sinJ3),所以

222

|AP}|=J(cosa二I)」+sin，a-Vcosa--2cos+1+sinor=J2(l-cosc0=^4sin^-=21sin|

，同理I偿1=J(cos£—1尸+sin之户=21sin，|，故||,||不一定相等，错误；

C：由题意得：OA-OPi=lxcos(a+/)+Oxsin(a+/?)=cos(6Z+p)，

OPX-OP2=cosa-cos+sin•(—sin/?)=cos(a+/3),正确；

D：由题意得：OA-OF\=1xcos6z+()xsin6if=cosa，

OP2,OR=cospxcos(a+/?)+(-sin/?)xsin(a+/?)

=cosacos2(3-sinasin°cos/一sinasin0cos0—cosasin2P

=cosacos2/?-sinasin2^=cos(i+24),错误；

故选：AC

11.已知点P在圆(x—5『+(y—5)2=16上，点4(4,0)、B(0,2),则()

A.点p到直线AB的距离小于10

B.点尸到直线A8的距离大于2

C.当NPBA最小时，|尸四=3，2

D.当NPBA最大时，|PB|=3五

【答案】ACD

【解析】

【分析】计算出圆心到直线A8的距离，可得出点P到直线A8的距离的取值范围，可判断

AB选项的正误；分析可知，当NPBA最大或最小时，与圆M相切，利用勾股定理可

判断CD选项的正误.

【详解】圆（x—5了+（^-5）2=16的圆心为M（5,5）,半径为4，

直线的方程为：+5=1，即x+2y-4=0,

42

圆心M到直线AB的距离为Feliz'==L且>4,

Vl2+22A/55

所以，点P到直线48的距离的最小值为小5-4<2,最大值为小6+4<10,A选项

55

正确，B选项错误；

如下图所示：

-3|------------赤------------*5

当NP8A最大或最小时，依与圆M相切，连接MP、BM，可知PMLP3，

\BM\=^（0-5）2+（2-5）2=5/34.|阿=4,由勾股定理可得

忸「卜2TMpt=3贬,CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线/与半径为「圆C相离，圆心。到直线/的距离为d,则圆C

上一点尸到直线/的距离的取值范围是[d-r,d+r].

12.在正三棱柱ABC-A4G中，48=44,=1,点p满足3尸=,其中

e[0,1],//s[0,l],则（）

A.当4=1时，△A87的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-A6C的体积为定值

C.当;1=（时，有且仅有一个点P,使得APL8P

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得48,平面A4P

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数：

对于D,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数.

易知，点P在矩形BCG与内部（含边界）.

对于A,当2=10寸，BP=BC+〃BB1=BC+juCC],即此时Pw线段cq,△A87周长

不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BBi=BBt+,故此时P点轨迹为线段4G,而

B'G"BC,AG〃平面ABC,则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值,

故B正确.

i1

对于C,当2时，BP=-BC+f.iBBx,取BC,8C中点分别为。，H,则

BP=BQ2QH,所以P点轨迹为线段不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，

,0,1,尸(o,o,〃)，则AP=,BP=

〃(〃-1)=0,所以〃=0或〃=1.故“，。均满足，故c错误；

1一.1

对于D,当〃=5时，BP=九BC+—BBT，取BB\,CC、中点、为M,N.BP=BM+九MN，

22

所以P点轨迹为线段MN.设P

(]、Q111

----,-,-1,所以二+一%一一=0n%=--,此时P与N重合，故D正确.

<2274222

故选：BD.

【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(力=丁,.2*—27)是偶函数，则。=____.

【答案】1

【解析】

【分析】利用偶函数的定义可求参数。的值.

【详解】因为/(》)=丁(。2一2-，)，故〃一九)=一丁(4.27-2*),

因为/(x)为偶函数，故〃T)=/(X),

时丁,•2X-2r)=-x3(a•2--2”),整理得到(a一1乂2*+2r)=0,

故a=l,

故答案为：1

14.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，尸为。上一点，PF与

X轴垂直，。为X轴上一点，且PQ_LOP,若|叫=6,则C的准线方程为.

3

【答案】%=--

2

【解析】

【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得P,即得结果.

nn曲

【详解】不妨设P(g,p)。(6+g,0),尸。=(6,—p)

因为PQ_LOP,所以自6-/=0(2〃>0.»=3.・.。的准线方程为了二一|

3

故答案为：x=—

2

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

15.函数〃%)=|2%-1|-2111%的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】由解析式知“X)定义域为(0,+8),讨论0<x«!、-<X<1,x>\,并结合

22

导数研究的单调性，即可求/(幻最小值.

【详解】由题设知：/(x)=|2x—1|-21nx定义域为(0,+8),

.,.当时，/,(%)=l-2%-21nx,此时f(x)单调递减；

2

12

当一<x〈l时，/(x)=2x—1—21nx,有/'(幻=2--<0,此时/(x)单调递减；

2x

2

当x>l时，/(x)=2x—1—21nx,有/'(x)=2——>0,此时单调递增；

x

又/(X)在各分段的界点处连续，

...综上有：0<X〈l时，/(X)单调递减，％>1时，/(X)单调递增；

故答案为：1.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格

为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmx12dm,20dmx6dm两种规格

的图形，它们的面积之和号=24051f,对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,

20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和$2=1805/,以此类推，则对折4次共可

以得到不同规格图形的种数为,；如果对折"次，那么£5女dm2.

k=l

……15(3+/?)

【答案】(1).5(2).720——2.-4

【解析】

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.

【详解】（1）对折4次可得到如下规格：—dmx12dm,—dmxGdrn,5dmx3dm,

42

33

T0dmx—dm,20dmx—dm,共5种;

24

120+1

⑵由题意可得2x120,S2=3x60,S3=4x30,S4=5x15,,5^(»)

2”T

120x2120x3120x4

设5=2®-+~2^~+22

则，S=120x2120x3120〃120(n+l)

-；---1-----z---FT，

22122+2”T+

两式作差得

60I一击

120(n+l)120(n+l)

-1S=240+120||+^-++9———^=240+

22"J32”

120120(«+1)_36o120(/?+3)

=360—

2"2"

因此，S=72O/4°(〃+3)15(〃+3)

=720-2〃-4

2"

故答案为：5:72°-冲

【点睛】方法点睛：数列求和常用方法:

(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解;

(2)对于｛q2｝结构,其中｛4｝是等差数列,也,｝是等比数列,用错位相减法求和;

(3)对于｛an+bn｝结构，利用分组求和法;

(4)对于一!一)结构，其中｛q｝是等差数列，公差为d(dwO),则

」一———\利用裂项相消法求和.

anan+ld\anan+J

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列也｝满足％=1,a,,+l=卜:；

+2,〃为偶数.

⑴记2=%,，写出白，瓦,并求数列也｝的通项公式;

(2)求｛4｝的前20项和.

【答案】(1)4=2,1=5；(2)300.

【解析】

【分析】(1)根据题设中的递推关系可得=々+3,从而可求｛2｝的通项.

(2)根据题设中的递推关系可得｛。“｝的前20项和为S20可化为

50=2(4+4++%+》)-10,利用⑴的结果可求S20.

【详解】(1)由题设可得々=〃2=4+1=2/2=。4=。3+1=。2+2+1=5

又a2k+2=%A+1+1，a2k+\=。2k+?’

故%八2=%&+3即g=〃+3即bn+i-bn=3

所以也｝为等差数列，故々=2+(〃—l)x3=3〃—1.

(2)设｛〃〃｝的前20项和为S20，则S20=q+。2+。3++。20，

因为4=a2-1,。3=。4-1，，。19=。20-1，

所以§20=2(。2+。4++%8+。20)—1°

=2伍+4++%+4o)-lO=2x(lOx2+^^x3)-lO=3()O.

【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推

关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.

18.某学校组织“一带一路''知识竞赛，有4,B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问

题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则

从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题

中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：8类问题中的每个问题回答正确得80分，否

则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,

且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）B类.

【解析】

【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值,逐一求概率列分布列即可.（2）

与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.

p（X=（））=l—0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=l（X））=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

（2）由（1）知，£（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答3问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为o,80,100.

p（y=0）=l-0.6=0.4；

P（Y=80）=0.6（1-0.8）=0.12；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以£（7）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答8类问题.

19.记A6C是内角A,B,C的对边分别为a,b，c.已知从=ac，点。在边AC上,

BDsinZABC=asinC.

（1）证明：BD=b；

（2）若AD=2DC,求cosZABC

7

【答案】（1）证明见解析；（2）cosZ4BC=—.

12

【解析】

ac

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有5。=丁，结合已知即可证结论.

b

（2）由题设50="4。=上,。。=一，应用余弦定理求cosNAPB、cosZCDB,又

33

ZADB=7T-ZCDB,可得2a2+与=变，结合已知及余弦定理即可求cosNABC.

a13

（1）由题设，BD=-^—,由正弦定理知:c_bsinC

sinZABCsinCsinZABCsinZABCh

**-BD=—,又b?=ac,

b

:.BD=b,得证.

r\1t

(2)由题意知：BD=b,AD=—,DC=~,

33

,4h2213/2,■>b210/722

b~2+------c--------cb~+-----a2--------a-

cosZADB=-------^-―-----=—~~A——,同理cosZCDB=---------------=——=——

n2b4/Trib2b-

2b--------2b•—----

3333

ZADB=7V-ZCDB.

13〃2210/

-o—ca——~11层

—=—廿一，整理得2/+,2=也，又白=ac，

Ab2b-3

7"T

A2a2+^=—,整理得6/-11/。2+3。4=0,解得l=_L或g=3,

a23h23b22

n2+r2—b~4a2

由余弦定理知：cosZ4BC=-~-一二=?—」」，

lac32b2

当•时，cos/48C=—>1不合题意；当q=上时，cosZ45C=—；

b236h2212

7

综上，cosZABC=—.

12

【点睛】关键点点睛:第二问，根据余弦定理及N4£>6=万一47汨得到a,b,c的数量关系，

结合已知条件及余弦定理求cosZABC.

20.如图，在三棱锥A—BC£)中，平面AB£>_L平面BCD,AB=AD,。为的中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若-OCZ)是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，DE=2EA，且二面角

E-6C-。的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

【答案】(1)详见解析(2)B

6

【解析】

【分析】(1)根据面面垂直性质定理得AOL平面BCD,即可证得结果；

(2)先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.

【详解】(1)因为AB=AD,O为BD中点，所以AOLBD

因为平面ABD平面BCD=BD,平面人8口_]_平面BCD,AOu平面ABD,

因此AO_L平面BCD,

因为CDU平面BCD,所以AOLCD

(2)作EF1BD于F,作FMJLBC于M,连FM

因为AO_L平面BCD,所以AOJ_BD,AO_LCD

所以EF_LBD,EFJ_CD,6£)cC£)=£),因此EF_L平面BCD,即EF1.BC

因为FM_LBC,EMI=所以BC_L平面EFM,即BC_LMF

TT

则ZEMF为二面角E-BC-D的平面角，ZEMF=-

4

因为80=OD,_OC£＞为正三角形，所以_OCD为直角三角形

1117

2

从而EF=FM=-；.AO=1

3

QAOJ_平面BCD,

所以V=1AO-SAB8=1xlxLxlxV^=^

3326

【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.

21.在平面直角坐标系中，已知点月(—47,0)、鸟(J万,0)|吗周=2’点加

的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x=’上，过T的两条直线分别交C于A、3两点和尸，Q两点，且

2

|7X|.\TB\^\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

2

【答案】(1)X2--=；(2)0.

161)

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点6、工为左、右焦点双曲线的右支，求

出4、〃的值，即可得出轨迹C的方程；

（2）设点设直线A3的方程为y-r=设点3（坊），

联立直线A8与曲线。的方程，列出韦达定理，求出|7XH7B|的表达式，设直线PQ的斜

率为％2,同理可得出忸斗|叫的表达式,由|刑国=|研・|叫化简可得匕+为的值.

【详解】因为四间一眼同=2<|耳闾=2折，

所以，轨迹C是以点6、工为左、右焦点的双曲线的右支，

22_____

设轨迹。的方程为土^-斗二乂。〉。,。〉。），则加=2,可得4=1,b=717-£Z2=4-

a~b

2

所以，轨迹C的方程为尤2一二=1（121）；

（2）设点若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线。无公共点，

不妨直线AB的方程为>一.=41—g］，即y=£x+f—g发，

y=k,,x-}~t—1K,.

联立〈121,消去y并整理可得

16x2-y2-16

一16卜2+仁（2r-%Jx+（r—+16=0,

设点A（x,,yJ、Ww，%），则玉>g且％2>g.

k2-2kt+16

由韦达定理可得西+工2=T―

^_16—1

所以，

国附=（1+#八一扑2一；=（1+代）"-詈+

|N'乙,）rCt10

『+12)(1+月)

设直线PQ的斜率为心，同理可得|TP|・|T0=

k，l-16

因为|?4|第=|7P|.|TQ|,即"+?!：')="

即(K_的)(4+攵2)=0，显然故(+々2=0.

因此，直线A3与直线尸。的斜率之和为0.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

22.已知函数F(x)=x(l-lnx).

(1)讨论的单调性；

(2)设〃，。为两个不相等的正数，且=证明：2<—+—<e.

【答案】⑴/(x)的递增区间为(0』)，递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；

(2)设l=玉,：=々，原不等式等价于2<芭+/<6,前者可构建新函数，利用极值点

偏移可证，后者可设£=/,从而把X1+z<e转化为(，-l)ln(r+l)-Hnr<0在(1,+<»)

上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.

【详解】(1)函数的定义域为(0,+。)，

又/'(x)=l-lnx-l=Tnx,

当xe(O,l)时，/f(x)>0,当xe(l,+8)时，

故/(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+8).

,,,,,/,八„lna+1ln/j+1

(2)因为引na-aln〃=a—6,故》(lna+l)=a(lnZ?+l),即~------=------,

故一|一

设'=菁,?=%2，由(1)可知不妨设。<XI<1,%2>L

ab

因为xe(O,l)时，/(x)=x(l-lnx)>0,xc(e,+oo)时，〃x)=x(l—Inx)<0,

故1<Z<e.

先证：-X,+x2>2,

若々22,玉+彳2>2必成立.

若多<2,要证：x1+x2>2,即证玉>2-工2，而0<2-工2<1,

故即证/(%)>/(2—即证：〃芍)>((2-/),其中lv『v2.

设g(x)=〃x)-42-力,1<%<2,

则g'(x)=/'(x)+/'(2—x)=—ln龙一ln(2—x)=-ln[x(2—x)],

因为l<x<2,故0<x(2-x)<l,故一lnx(2-x)>(),

所以g'(x)>0,故g(x)在(1,2)为增函数，所以g(x)>g(l)=O,

故/(x)>/(2—x),即/(*2)>/(2_々)成立，所以再+1>2成立,

综上，玉+工2>2成立.

设/=%，则f>1，

结合E"+l=，可得：X](l_lnxJ=x2(l_ln%),

abab

即：l-ln%=f(l-Inf-lnx,),故ln%=^~~~詈£,

要证：x^+x2<e,即证(f+l)x]<e,即证ln(f+l)+lnx,<1,

即证：ln(r+l)H---------<1,即证：(f-+Hnf<0,

令§(。=(，-1)111(，+1)-八11，,/>1,

则S()=ln(/4-l)+--^-1-Inr=Inf1+-j——,

先证明一个不等式：ln(x+l)<x.

1-x

设〃(x)=ln(x+l)-x,贝ij/

x+lx+1

当一1cx<0时，/(x)>0；当x>0时，wf(x)<0,

故”(x)在(一1,0)上为增函数，在(0,+8)上为减函数，故="(0)=()，

故ln(x+l)4x成立

由上述不等式可得当「>1时，〈高，故S'⑺<0恒成立，

故S”)在(1,内)上为减函数，故S")<5(1)=0,

故l)ln(r+l)-八nr<0成立，即％+x2<e成立.

综上所述，2<—।—<e.

ab

【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不

等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问

题转化为与新引入变量有关的不等式问题.

2021年全国统一高考数学试卷(新高考全国n卷)

使用省份：海南、辽宁、重庆

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数2二在复平面内对应的点所在的象限为()

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】A

【解析】

2-i

【分析】利用复数的除法可化简——，从而可求对应的点的位置.

1-31

2-i(2-i)(l+3i)5+5i1+i也后上D

【详解】-----------△----1=-----=----，所以该复数对应的点为|，

l-3i10102122)

该点在第一象限，

故选：A

2.设集合。={1,2,3,4,5,6},4={1,3,6},8={2,3,4},则4(e8)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集、补集的定义可求Ac(ai).

【详解】由题设可得43={1,5,6},故4r^(23)={1,6},

故选：B.

3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+l的距离为正，则〃=()

A.1B.2C.2及D.4

【答案】B

【解析】

【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得P的值.

【详解】抛物线的焦点坐标为《,0

+1

其到直线x-y+1=0的距离:f-°叵'

ViTT

解得：p=2（p=-6舍去）.

故选：B.

4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止

同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球

表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径r为6400km的球,其上点4的纬度是指OA

与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最

大值为a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2万，（i—cosa）（单位：km2）-则S

占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】

【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

I6400

2Q“l-cosa）=l-cosa=-6400+36000-042=42%-

4万产22

故选：C.

5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+12百B.280C.孚D.空也

33

【答案】D

【解析】

【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可

得解.

【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的图人=^22—2A/2—s/2j=V2，

下底面面积S1=16,上底面面积$2=4,

所以该棱台的体积V=gM'+S2+廊T)=gx0x(16+4+阚)=

故选：D.

6.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,b2),下列结论中不正确的是()

A.b越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.CT越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.b越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.b越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【解析】

【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.

【详解】对于A,4为数据