2021-2022学年高二上学期第二二次检测考试理科数学试题（解析版）

2021〜2022学年度第一学期第二次检测考试

高二数学（理科）

注意事项：

1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟；

2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、

准考证号；

3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨

水签字笔书写，涂写要工整、清晰；

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.

第1卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正

确的是（）

A.总体是240名学生B.个体是每一个学生

C.样本是40名学生D.样本量是40

【答案】D

【解析】

【分析】在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象是学生

的身高，从而找出总体、个体，接着根据被收录数据的这一部分对象找出样本，最后根据

样本确定样本容量.

【详解】解：本题考查的对象是240名学生的身高情况，故总体是240名学生的身高情

况；个体是每个学生的身高情况：样本是40名学生的身高情况：故样本容量是40.

故选：D.

2.若则x的值为（）

A.1B.3C.6D.9

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用组合数的性质列方程求解即可

【详解】解：因为=句，所以x=2x+i或x+2x+l=28,

解得x=-l（舍去）或x=9.

故选：D

3.下列事件中，随机事件的个数是（）

①未来某年8月18日，北京市不下雨；

②在标准大气压下，水在4。（2时结冰；

③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；

④任取xeR,则忖20.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的

个数.

【详解】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；

②在标准大气压下，水在4。（3时结冰，属于不可能事件；

③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；

④任取xeR,则忖20,属于必然事件；

所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是2.

故选：B

4.用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米

谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米--把，数得250

粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（）

A.320石B.160石C.80石D.60石

【答案】B

【解析】

【分析】利用米与米内夹谷的比例大致相同得到关于x的方程，解之即可估算.

【详解】依题意，设这批米内所夹的谷有x石，

所以估计这批米内所夹的谷有160石.

故选：B.

5.三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（）

A.729B.18C.216D.81

【答案】C

【解析】

【分析】每个班个风景点中选择一处游览，每个班都有6种选法，根据分步乘法计数原

理，即可得解.

【详解】第一步，从六个风景点中选一个给第一个班，有6种选法；

第二步，从六个风景点中选一个给第二个班，有6种选法；

第三步，从六个风景点中选一个给第三个班，有6种选法.

根据分步乘法计数原理，不同的选法种数是63=216.

故选：C.

6.某班有学生56人，现将所有学生按1,2,3,…，56随机编号，采用系统抽样（等距

抽样）的方法抽取一个容量为8的样本，若抽得的最小编号为5,则样本中编号落在

［26,40］内的个体数目是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先求出样本间隔，根据题意即可求得结果.

【详解】因为样本容量为8,所以样本间隔为乎=7,则依次抽取的编号为

O

5,12,19,26,33,40,47,54.所以［26,40］内的个体数目是3个,

故选：C.

7.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件8为“向上的点数为

奇数”，则下列说法正确的是（）

A.A与8互斥B.A与8对立

25

C.P（/+8）=§D.P（4+B）=—

【答案】C

【解析】

【分析】

根据互斥事件和对立事件的定义判断.求出事件Z+8,然后计算概率.

【详解】A与8不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，

42

事件/+8表示向上点数为1,3,4,5之一，.・.尸（/+8）=—=一.

63

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对

立事件的定义是解题关键.判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，

只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，

即必有一个发生，则它们为对立事件.而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题

P(A+B)^P(A)+P(B).

8.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员在8次射击训练中的训练成绩，根据图

中数据，下列描述中不正确的是()

甲乙

9875

842180035

539025

A.乙的成绩的众数为80B.甲的成绩的中位数为83

C.甲、乙的平均成绩相同D.乙的成绩比甲的成绩更稳定

【答案】D

【解析】

【分析】根据茎叶图提供的数据确定众数、中位数、均值、方差然后判断各选项.

【详解】乙的数据中80出现次数最多为两次，众数为80,A正确；

QQ-LR4

甲的中位数是^—=83,B正确；

2

78+79+81+82+84+88+93+95僦

甲平均值为须------------------------------------------=©5

75+80+80+83+85+90+92+95

乙平均值为％=85,C正确;

8

甲的方差为s；=-[(78-85)2+(79-85)2+…+(95—85)2]=35.5,

8L

乙的方差为=:[(75-85)2+(80-85)2+…+(95-85)2]=41>35.5,

甲更稳定.D错.

故选：D.

9.在(4―的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中炉的系数为

()

3535一

A.-7B.-----C.—D.7

88

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式系数的单调性，求得〃；再结合二项式展开式的通项公式，即可求得

指定项的系数.

【详解】因为在（4的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以

的展开式的通项

=/(«产/二

x2,r=0,1,2,---,8

6,得『=4

35

所以展开式中一的系数为C：

故选：C

10.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政

治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省

份每位考生的选法共有（）

A.12种B.15种

C.16种D.18种

【答案】C

【解析】

【分析】分两种情况：物理和历史都选、物理历史只选一门，分别求两种情况的方法数之

和即可求解.

【详解】若物理或历史只选一门，则有©；玛=2乂6=12种，

若物理和历史都被选中，则有C；C；=4种，

所以共有16种选法，

故选：C.

11.中国古建筑中的窗饰融艺术性和实用性于一体，给人以美的享受.如图是一扇窗中的一格,

呈长方形，长30cm,宽26cm,其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由

两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.现忽略条形木

料宽度，设菱形的两条对角线长分别为10cm和22cm.现从该窗格中随机取一点，则该点取

自菱形外的概率为（）

112228

A.—B.—C.—D.—

78393939

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据几何概型的面积比得到答案.

【详解】根据几何概型：p30X26--X10X22X2

r=-----------------------=—28

30x2639

故选：D

12.某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每

个年级都有7个班，如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为

“学生视力保护达标年级”，这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表:

初一年级平均值为2,方差为2

初二年级平均值为1，方差大于0

高一年级中位数为3,众数为4

高二年级平均值为3,中位数为4

从表中数据可知:一定是“学生视力保护达标年级”的是

A.初一年级B.初二年级C.高一年级D.高二年

级

【答案】A

【解析】

【分析】根据平均值、方差、中位数以及众数的实际意义，即可得出结果.

【详解】能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差平均值反应数据的平均水平,

方差反应数据的波动大小，方差越大，波动越大.

高一年级，知道中位数与众数，不能判断出是否达标，高二年级知道平均数与中位数，也

不能判断是否达标；故排除CD：

初二年级，方差大于0,但不确定具体取值，因此初二年级也不能判断是否达标;

初一年级，平均数和方差均为2,满足题意，因为若有一个数据大于5,方差必然大于2.

故选A

【点睛】本题主要考查平均数、方差、中位数、众数等，熟记其实际意义即可，属于基础

题型.

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航

天故事”演讲比赛.若将报名的30位同学编号为01,02,…，30,利用下面的随机数表来决

定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，由左到右

依次选取两个数字，重复的跳过.则选出来的第2个个体的编号为.

45673212123102010452152001125129

32049234493582003623486969387481

【答案】02

【解析】

【分析】利用随机数表随机数的选取方法选取即可.

【详解】从题中随机数表可知，随机数表第1行的第5列和第6列数字为32,

从这里开始，依次选取两个数字32,12,12,31,02,01…，

其中32,31不在编号内，舍去，12有重复，舍掉一个，

从而得到的编号为12,02,01…，

所以选出来的第2个个体的编号为02.

故答案为：02.

14.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有机种不同的方法，在第2类方案中有〃

种不同的方法，那么完成这件事的不同方法的种数为.

【答案】m+n##n+m

【解析】

【分析】直接根据加法原理得到答案.

【详解】根据加法原理共有加+〃种方法.

故答案为：m+n

15.从3,5,7,11,13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是

【答案】|

【解析】

【分析】首先确定3,5,7,11,13这5个素数随机选取两个不同的数的取法数，再确定之

和等于16的取法数，最后用古典概型求出概率.

【详解】3,5,7,11,13这5个素数随机选取两个不同的数有C；=10种取法，其中之和

21

等于16有3、13和5、11这两种取法，所以概率为一=一

105

故答案为：—

16.为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都

3

处在4B,C,。四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占《，

则下列结论中，正确结论的个数是.

女员工得分条形统计图男员工得分扇形统计图

①男、女员工得分在N区间的占比相同；

②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；

③得分在C区间的员工最多：

④得分在D区间的员工占总人数的20%.

【答案】1

【解析】

【分析】先求出员工总数和男员工人数，再求出男女员工再各区间的人数，从而对四个结论

逐一判断即可.

【详解】根据题意，设员工总人数为〃个，

因为女员工人数为20+60+70+50=200,

20032

所以——=1一一=-,解得〃=500,所以男员工人数为500-200=300,

n55

对于①，女员工得分在/区间的占比为益=10%,男员工得分在/区间的占比为

1-40%-35%-15%=10%,故①正确；

对于②，女员工在/区间有20人，8区间有60人，C区间有70人，。区间有50人；

男员工在“区间有300xl0%=30人，8区间有300x40%=120人，C区间有

300x35%=105A,。区间有300xl5%=45人；

所以。区间男员工少于女员工，故②错误；

对于③，B区间有30+120=180人，C区间有70+105=175人，所以8区间人数比C

区间多，故③错误；

对于④，。区间有50+45=95人，所以得分在。区间的员工占总人数的丽=19%,故

④错误；

综上：①正确，②③④错误，故正确结论的个数是1.

故答案为：1.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤）

17.已知的展开式中的所有二项式系数之和为32.

（1）求”的值；

（2）求展开式中Jr」的系数.

【答案】（1）〃=5；（2）5.

【解析】

【分析】（1）由所有二项式系数之和为32,可得2"=32,从而可求出〃的值；

（2）由（1）可得二项展开式的通项为£M=GV°-3"然后令10-3r=—2,求出，•的

值，从而可求出答案

【详解】解：（1）由题意可得，2"=32.解得〃=5；

⑵卜+界"）'•

2

二项展开式的通项为Tr+]=C；（x广]，）=.

由10—3尸二一2,得尸=4.

...展开式中x-2的系数为以=5.

18.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛的得分情况如下:

甲：15,17,14,23,22,24,32；

乙：12,13,11,23,27,31,30.

（1）分别计算甲、乙两名运动员得分的平均数；

（2）分别计算甲、乙两名运动员得分的方差，并判断哪位运动员的成绩更稳定？

【答案】（1）甲、乙两名运动员得分的平均数均为21

（2）5系=---,/=----,甲运动员的成绩更稳定

77

【解析】

【分析】根据平均数和方差的公式求解，方差小的数据更稳定.

【小问1详解】

1147

设甲、乙的平均分别记为。，和则务=y（15+17+14+23+22+24+32）=—=21

1147

和=,（12+13+11+23+27+31+30）=亍=21

...甲、乙两名运动员得分的平均数均为21.

【小问2详解】

设甲、乙两名运动员得分的方差分别为《，户之则

s'=1[(15-21)2+(17-21)2+(14-21)2+(23-21)2+(22-21)2+(24-21)2+(32-21)2

236

-(36+16+49+4+1+9+121)

4=-[(12-21)2+(13-21)2+(11-21)2+(23-21)2+(27-21)2+(31-21)2+(30-21)2

7L

=1(81+64+100+4+36+100+81)466

~T

<.咳，•••甲运动员的成绩更稳定

19.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物

的100位顾客的相关数据，如下表所示：

一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上

顾客数（人）X3025y5

结算时间（分钟/人）12345

已知这100位顾客中，一次购物量超过10件的顾客占40%.

（1）求x,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.（将频率视为概率）

【答案】（1）x=30,丁=10,2.3分钟

17

(2)

20

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解x，N,再求平均数：（2）根据古典概型结合对立事件求解.

【小问1详解】

25+夕+5=40x=30

由题意可得《解得

x+30=60尸10

1x30+2x30+3x25+4x10+5x5

这100位顾客一次购物的结算时间的平均值为J==2.3

100

（分钟），

.••估计顾客一次购物的结算时间的平均值为2.3分钟.

【小问2详解】

记事件Z为“一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟”,

事件4表示顾客一次购物的结算时间为4分钟”，事件4表示'该顾客一次购物的结算时

间为5分钟”，

将频率视为概率，则。（4）=2=二，。（4）=3=工;

'"10010'3*5710020

v^=4\JA2,且4,4为互斥事件,

1117

尸⑷=1一尸（4U4）=1-尸（⑷-尸（4）=1-历一与，

17

故一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率为r.

20

20.我们在生产、生活中产生的大量垃圾正在严重侵蚀我们的生活环境，垃圾分类是实现

垃圾减量化、资源化、无害化，避免“垃圾围城''的有效途径.垃圾分类是一项“利国利民”的

民生工程，需要全社会的共同参与.某社区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为

厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的分类垃圾箱.该社

区为调查居民生活生活垃圾分类投放情况，随机抽取该社区部分垃圾箱中的生活垃圾（单

位:袋），得到如下数据：

厨余垃圾可回收垃圾有害垃圾其他垃圾

投放正确4202404565

投放错误140401535

（1）从调查的垃圾箱中随机抽取一袋垃圾，估计这袋垃圾投放正确的概率；

（2）现用分层随机抽样的方法从厨余垃圾和可回收垃圾中抽取6袋垃圾，再从这6袋垃圾

中随机抽取2袋，求这2带垃圾中至少有1袋是可回收垃圾的概率.

3

【答案】（1）0.77；（2）-

5

【解析】

【分析】（1）计算随机抽取一袋垃圾且这袋垃圾投放正确的频率，再用频率估计概率即

可；

（2）先求出厨余垃圾和可回收垃圾中抽取的袋数，再用列举法求结合古典概型的概率计算

公式求解即可

【详解】（1）调查的垃圾箱中，袋垃圾投放正确与错误共有

420+140+240+40+45+15+65+35=1000（袋），

其中这袋垃圾投放正确的有420+240+45+65=770（袋），

770

则垃圾箱中随机抽取一袋垃圾，这袋垃圾投放正确的概率为」"=0.77；

1000

（2）现用分层随机抽样的方法从厨余垃圾和可回收垃圾中抽取6袋垃圾，

则厨余垃圾抽取4袋，并记为可回收垃圾中抽取2袋，并记为46，

再从这6袋垃圾中随机抽取2袋有：ab,ac,ad,aA,aB,be,hd,hA,bB,cd,

cA,cB,dA,dB,AB,共15种，

其中这2带垃圾中至少有1袋是可回收垃圾有：aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB共9

种，

93

则2带垃圾中至少有1袋是可回收垃圾的概率为—

21.现有5本书和3位同学，将5本书全部分给这3位同学.（用数字作答）

（1）若5本书都不相同，每位同学至少分一本书，共有多少种不同的分法？

（2）若5本书仅有两本相同，按一人3本，另两人各1本分配，共有多少种分法？

【答案】（1）150（2）39

【解析】

【分析】（1）先将书分成三组，再将学生排列好，将每组的书分别发放给学生；

（2）记这5本书分别为4、/、B、C、D,分别讨论得到的三本书中没有Z,一个/,两个

A时分配情况.

【小问1详解】

根据题意，分2步进行分析：

①将5本书分成3组，

C3cl

若分成1、1、3三组，有个注=10种分组方法，

Ai

e'e2

若分成1、2、2三组，有卡=15种分组方法，

从而分组方法有10+15=25种；

②将分好的三组全排列，对应3名学生，有A；=6种情况.

根据分步乘法计数原理，故共有25x6=150种不同的分法.

【小问2详解】

记这5本书分别为4、A,B、C、D,5本书取其3本分配时，

①不含/时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法；

②仅含一个/时，分组的方法有种，再分配给3人，共有C；xA；=18种方法；

③含两个4时，分组的方法有C；种，再分配给3人，共有C；xA；=18种方法.

从而共有18+18+3=39种分法.

22.为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成

年人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组[10,20）,[20,30）,[30,40）,

[40,50）,[50,60],其频率分布直方图如图1所示.今年某医药研究所研发了一种疫苗，对

提高该免疫力有显著效果.经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组

分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有线性相关关系，样

免疫力指标y

90

70

60

50

30