2021-2022学年安徽省合肥市庐江县高二年级上册学期期末数学试题含答案

2021-2022学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末数学试题

一、单选题

i.直线Gx+y+3=°的倾斜角为（）

54

A.6B.3c.3D.6

【答案】C

【详解】直线向x+y+3=°可化为y=-6x-3,.•.直线的斜率为一打，设倾斜角为a,则

24

*/0<crcr

tana=-V3了，故选C.

又

2.设等差数列｛/｝的前〃项和为S,，若%+%=14,则Sg=（）

A.20B.35C.45D.63

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质结合求和公式即可求解.

【详解】依题意，数列｛%｝是等差数列，所以〃3+%=2。5=14所以牝=7

所以y‘

9=9%=63

故选：D.

3.下列求导运算正确的是

A（cosx）'=sinx（ln2x）'=嚏（3V）=3Alog,e（x2ex＞）=2xex

【答案】B

【详解】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可

得到正确答案.

•11

详解:（co/=Tinx,A不正确;（g）-五x2一.,g正确；（3、）=3、ln3c不正确；

（x2e'）=2xex+x2ex^。不正确，故选巳

点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于

基础题.

fy2_

4.已知双曲线/一乒=""＞°力＞°）的一条渐近线经过点°，石），则该双曲线的离心率为（）

730

A.2B.石C.网D.5

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程得到渐近线的方程，根据一条渐近线所经过的点的坐标，得到“力的关

_c_尸

系，进而利用a、a求得离心率.

y=-x/T-=V5e=Jl+^-=>/6

【详解】因为渐近线a经过点。，15),所以a，从而'^

故选：C

【点睛】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属基础题.

【分析】运用函数的零点，极值点，单调性即可解决.

【详解】解：由/G)二°得“0或》=2,故BD错；

又/'GAG-21',

所以，当在或x>。时，*H>°；当-及<X<a时，/

所以/(x)在S一⑸和("+8)上单调递增，在(-&，0)上单调递减，

所以，/(X)在x=处取得极大值，在'=正处取得极小值，故A错.

故选：C

占+2=1______

6.已知椭圆-的两个焦点为与，丹，点尸在椭圆上且满足两•而二°,则“百鸟的面积为

()

出石

A.3B.2C.1D.2

【答案】C

71

【分析】根据题意，分析可得,'次-'，由椭圆的标准方程和定义可得1助田桃卜2。=4,

|。/讦+|%「=(2°)2=12,将两式联立可得I分;卜1所」的值，由三角形面积公式计算可得答案.

【详解】解：根据题意，点P在椭圆上，满足丽•丽=°,ZF'PFi~2,

x2_,

----FV2=1

又由椭圆的方程为4-，其中。72=4-1=3,

则有|尸用+|Pg|=2a=4,：|「耳『+|%[=（2。=12,

联立可得必卜口用=2,

则△耳°玛的面积2'；

故选：C.

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质.

7.如图，在四棱锥尸一488中，平面力88,M,N分别为PC,尸。上的点，且

PM=2MC,丽=砺，=xAB+yAD+zAP贝产+y+z的值为（）

_225

A.3B.3C.1D.6

【答案】B

传Q用为基底表示而,由此求得进而求得x+V+z

【分析】以

丽=而_丽=%+而_:四+"）

【详解】

=~AB+7D+-CP--~AD--~AP

322

=9+；而+；田-次）

=AB+-AD+-AP--AC--AP

2332

=布+；而一净+而＞净

2—1—1—

=-AB+-AD一一AP

366

2112

x=-9y=-9z=_[X+y+z=7

所以3603

故选：B

8.若函数/口）=依一比、在区间（2,+8）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（-叫2]B.।52.c.2+8）

【答案】D

【分析】将问题转化为当x>2时，/'（x）2°恒成立，参变分离后，求。的取值范围.

【详解】，尸"丁丁，由题意可知，/‘吐°,当、«2收）时恒成立，

r

即办-120恒成立，得。4⑴la,xes（2,+8）、.

故选：D

26

9.圆/+/+412尸1=0关于直线6-勿+6=0（“>0/>0）对称，则L,最小值是（）

3230_16

A.3B.3c.3D.26

【答案】A

【分析】先求出圆心，得到圆心（一2,6）在直线"-如+6=°（“>0]>0）上，进而求出§+”,利

用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】r+V+4x-12y+l=°变形为（”+2）+&-6）=39

故圆心为（一2,6）,

因为F+y2+4》-12^+1=0关于直线奴-"+6=0（4>0）>0）对称,

所以圆心（々6）在直线以一如+6=0（。>0,6>0）上,

@+6-1

即一2。-66+6=0,所以3

26

—+—

ab

因为

—+—>2=4丝=即

所以。b\ab,当且仅当ab,

l

即"a一=h‘=-1时，等号成立,

故选：A

10.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9

尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女

子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为

15尺，问她前七日共织布多少尺？”（）

A.28B.32C.35D.42

【答案】C

1q+%+%=9

【分析】该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为｛“J,进而得1%+4+4=15,再解方程，

并计算前7项和即可.

【详解】解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为

设其每日增加的尺数为“，其前〃项和为

Jq+〃2+%=913q+3d=9[d=1

所以，自+知+—%即（3%+9"=15,解得，h，=2（

所以，她前七日共织布&=7%+21"=14+21=35尺.

故选：C

II.函数/（x）=d+奴2+法+"在》=1处有极值为io,那么”，6的值为（）

A.4,-11B.-3,3

C.4,-11或-3,3D.3,3

【答案】A

<

【分析】由题意可知由此可求出凡6,并验证即可求解.

【详解】f'（x）=^2+2ax+b,

//（1）=。j3+2a+b=0

由题意可知即fl+a+H/=9

放=一3-2aja=4Ja=-3

则=解得H=-ll或1=3,

JQ=-3

2

当%=3时，/'(X)=3(X-1)>0；

.•.在x=l处不存在极值，不符合题意;

\a=4

②当［=时，r(x)=3/+8x-ll=(3x+ll)(x-l).

MO，。)，妆x)>。,符合题意.

故选：A.

@」S±L£±1§〈包

12.在数列｛%｝中，若且对任意的•有《，=2〃，则使数列｛q｝前N项和"〈药成

立的n最大值为()

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】由题知数列〔"J是等比数列，公比为工，首项为三，进而得,再根据错位相

5,=2-(〃+2)但(»+2)1-1>—/>„=(«+2)-W

减法得eJ,进而将不等式转化为32,令(再结合

其单调性求解即可.

【详解】解：因为对任意的〃eN•有4,2〃，

闺11

所以〃+12n,即数列是等比数列，公比为2,首项为2,

出+2x(；)+3x(；)+..•+("％)+咱

S“=1x

所以，

会=唱+2x0)+3x(£|+..•+(〃-%)+〃.出,

所以3=0)+((1+0)+…+08

2一呜）=1一（〃+2乂

l4

s“=2-("+2)・0

所以(2人

2-G+2)(；63r1

所以S.噜即为<——=2-----

3232

所以（"2吗H

令—8,

所以也｝为单调递减数列，

/。八（1丫514/八门丫1

因为当〃=8时，''⑴12832128,满足I）⑶32,

小八CY11116z八八丫1

当〃=9时，''⑶51232512,不满足'“⑴32,

（）-f-T>—

所以rt+232成立的〃最大值为8,

S<63

所以，数列｛%｝前〃项和"32成立的“最大值为8.

故选：B

二、填空题

13.不论“为何实数，直线*机T）x+（2"-3）y+机=°恒过定点

【答案］（一3」）

【分析】直线/方程转化为'"（x+2y+l）-（x+3y）=0,再根据直线系方程求解即可

【详解】解：将直线/：（"—l）x+（2"—3）y+机=°方程转化为〃?（x+2y+l）-（x+3y）=0.

所以直线/过直线x+2y+i=o与》+3丁=0的交点,

\x+3y=0\y=1

所以，联立方程1x+2y+l=°,解得卜=-3

所以，直线/：（机-l）x+（2加-3）y+机=0恒过定点（-3,1）

故答案为：（T1）

14.已知向量【（0，2/），7（1,2）,则2*.

【答案】而

【分析】先利用空间向量坐标运算得到“+'=°」'3）,进而求出模长.

［详解］*=（。，2,1）+（LT,2）=（1,1,3）,

|。+对=Ji+i+9=VTT

所以।।

故答案为：而.

X2--=1

15.已知抛物线0的顶点在原点，焦点厂在x轴的正半轴上，且干到双曲线3渐近线的距

皂

离为2,则抛物线C的方程为.

【答案】「=4无

【分析】根据题意设抛物线方程为V=2PX（P>°）,由于双曲线渐近线方程为瓜士y=0,利用点到

直线的距离公式求得P的值，即可得抛物线0的方程.

【详解】解：已知抛物线C的顶点在原点，焦点/在x轴的正半轴上，则设抛物线方程为：

y2=2px（p>0）

9

尸修。］x2~^=iB

则抛物线的焦点坐标为12人又尸到双曲线3渐近线的距离为2,

双曲线中/=1，〃=3,所以a=l,b=G,则渐近线方程为：>/3x±y=0

所以VI1,解得P=2或p=-2（舍）,

则抛物线C的方程为/=以

故答案为：y2=4x.

16.已知函数/(x)=xe'-e',函数g(x)=mx若对任意的王［-2,2］,总存在

X24-2,2］使得/(xj=g(x2),则实数用的取值范围是.

■公wFe2,+oo)

【答案】L')

【分析】利用导数判断/(X)的单调性求出/(X)的最值，即可得/(*)的值域，由g(x)单调性可得

g(x)的值域，由题意可得/(X)在［-2,2］的值域是g(x)的值域的子集，根据包含关系列不等式组即

可求解.

【详解】由/G)=xe*-e*可得/"(x)=e'+xe"-e'=xe'

当x>0时，*H>°；x<0时，/'(x)<0；

所以/(无)在(一8,0)单调递减，在(°，+")上单调递增，

所以/(x)min=/(°)=-l,

222

因为/(-2)=-2e-=-3e,〃2)=2e-e=e；

可得，(x)在卜2,2］的值域为［Td］,

由g(x)=mx-"?("?>0)在［-2,2］递增，

可得gG)的值域为卜3〃?，问，

由对任意的占4-2,2］,总存在々e卜2,2］,使得/(xj=g(x2),

{-3tn<-\

可得［fe2k卜3加,就所以储2/,可得〃,4,

实数切的取值范围是32，+°°).

故答案为：乒收)

三、解答题

17.已知直线上2x-y-l=0t直线/经过两条直线/”、+”4=0和9》7+2=0的交点

(1)若/%，求/的直线方程；

(2)若若/1自求/的直线方程.

【答案】⑴2x-y+i=°

=0

【分析】先求出//与，2的交点坐标.再分别由川4，/。3求出直线/方程即可.

卜+y-4=0|x=l

【详解】（1）由除一尸2=°,得L=3.

•••//与，2的交点为（1，3）

设与直线2X-N-1=°平行的直线方程为2x-y+c=0,

则2-3+c=0,

...c=1

二所求直线方程为2x-V+l=°.

（2）设与直线2尤7-1=°垂直的直线方程为x+2y+c=°

则l+2x3+c=0,解得c=-7

・•・所求直线方程为x+2y—7=°

18.如图，在直三棱柱//8/G-43C中，ACLAB,AC=AB=4,AA,=6,点E、尸分别为C4、45的

中点.

（1）证明:〃平面8℃内；

（2）求与平面/E/所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）65.

【分析】（1）通过证明EFHBC、来证得Epn平面BCCtB、

(1)建立空间直角坐标系，利用直线8/的方向向量和平面/斯的法向量来计算出8/与平面

4律所成角的正弦值.

【详解】(1)如图，连接EG、BC”

因为三棱柱小田G-/8C为直三棱柱，

所以E为NG的中点.

又因为尸为48的中点，所以EF/g.

又比北平面8。。囱，BC；u平面BCGB」,所以即〃平面8℃由

(2)以小为原点，小。、AM小/所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系.

则40,0,6),5/(0,4,0),EQ,0,3),尸(0,2,6),

所以87=(0,-2,6),衣=(2,0,-3),AF=(Q,2,0),

h-AE=2x-3z=0

设平面AEF的法向量为"=("*),则\n-AF=2y=Q

令x=3,得〃=。,。'?)，

."B^F-n3V13O

sm<?=p2_||_j

65

记8产与平面ZEF所成角为0,则1\B'.F\1-\1H\1

19.已知数列㈤｝是等差数列，数列也｝是正项等比数列，且％=4=1,%+也=8,牝=".

(1)求数列S”｝和也｝的通项公式；

（2）若c,=a也（〃eN）,求数列匕｝的前〃项和1.

【答案](1)%=1+2(〃-1)=2〃­1；2=3"：(2)q=("T)・3"+l

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为“，正项等比数列｛4｝的公比为九4>°,由等差数列和等

比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可求出数列｛“"｝和｛a｝的通项公式；

（2）先由（1）求得。也,再利用错位相减法求其前"项和即可.

【详解】解：（1）设等差数列缶"｝的公差为“，

正项等比数列他J的公比为夕，4>°,

由。1=4=1,%+&=8,可得1+21+[=8,]+4d=g2

解得d=2,g=3(d=6,夕=-5舍去)，

则%=1+2(〃-1)=2〃-1；4=3",

（2）由（1）知："也=（2"T）・3"T,

.-.7；=lx3°+3x3'+5x32+...+(2n-l).3"-'

又37；=1x3,+3x3?+...+(2”-3)・3"T+(2n-l).3,

21

-27,=1+2(3'+3+...+3"-)-(2〃-1)・3"=l+2x-T)+(i-2n).3"

两式相减得：1-3

整理可得：1=（〃T）・3"+1.

20.已知函数/（x）=xEx.

（I）求/（X）的最小值；

（H）若对所有61都有/（“拉以-1,求实数。的取值范围.

【答案】（I）最小值一［；（n）（一8，1］

【分析】（I）由导数的应用，研究函数的单调性，再求其最值，

g（x）=lnx+—

（口）构造函数1,由导数的应用求函数的最值即可得解.

【详解】解：（I）/㈤的定义域为（°"动，/G）的导数/"）=l+lnx,令/*。>0,

解得e；令/（）t解得0<x<［从而/（x）在10q）单调递减，在6T单调递增.

所以，当x=Z时，/（X）取得最小值一品

（□）依题意，得在口收）上恒成立，即不等式+嚏对于xe[l,+8）恒成立.

则"O当X>1时，因为以上—H

g(x)=Inx+—

令x

故g（x）是（1，+8）上的增函数，所以g（x）的最小值是g0）=l,

从而。的取值范围是G001].

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式，属中档题.

（7:0+与=1（“>6>0）1di；）

21.已知椭圆ab-的离心率为2,且过点I2）.

（1）求椭圆C的方程.

（2）若点A,8分别是椭圆的左、右顶点，直线/经过点8且垂直于X轴，点P是椭圆上异于A,

8的任意一点，直线ZP交/于点如图所示.设直线OM的斜率为/，直线8P的斜率为质,求

证：仁占为定值.

【答案】（1）43

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据椭圆离心率、所过的点及其参数关系求椭圆参数，即可得椭圆方程.

（2）设尸（/，%）（%二°）,写出直线“尸的方程，进而求“坐标，应用两点式求尢、右,结合尸在

椭圆上即可证结论.

_C_1

【详解】（1）由椭圆的离心率“一力一5,则〃=2。，则〃=/一°2=3。2,

19I

+=]r~~

将E代入椭圆方程：4c24x3c2,解得：c=l,贝i]a=2,b=<3,

x2y2

---1----1

二椭圆的标准方程：43.

(2)由(1)知：，(々°),以2,0),设尸(%,%)(%片0),

y=-^—(x+2)

则直线北的方程为：.%+2.令x=2得:l/+2J

2乂)

“。+2,贝1J-0一2

人0寸

...尸(与，%)在椭圆上,

3(1；)