2021-2022学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末数学试题

一、单选题

I.直线瓜+y+3=0的倾斜角为（）

A.工B.工C.二D.亚

6336

【答案】C

【详解1直线后+），+3=0可化为y=直线的斜率为-石，设倾斜角为a,则tana=-0,

X,.10<a<a=—,故选C.

3

2.设等差数列｛%｝的前"项和为S,,,若%+%=14,则Sg=（）

A.20B.35C.45D.63

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质结合求和公式即可求解.

【详解】依题意，数列｛4｝是等差数列，所以4+%=2%=14,所以氏=7,

所以怎=（囚；）?99%=63,

故选：D.

3.下列求导运算正确的是

A.（cosx）'=sinxB.（ln2x）=-C.（3"）=3*log?eD.（/e*）=2xex

【答案】B

【详解】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可

得到正确答案.

11

详解：（cosx）=-sinx,A不正确；（ln2x）=]-x2=一,B正确;（3、）=3、ln3,C不正确；

（^x2ex）=2xeA+x2ex,D不正确,故选B.

点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于

基础题.

4.已知双曲线《爷=1（。>（）,6>0）的一条渐近线经过点（1,后，则该双曲线的离心率为（）

A.2B.C.>/6D.与

【答案】C

［分析】根据双曲线的方程得到渐近线的方程，根据一条渐近线所经过的点的坐标，得到a,b的关系,

进而利用e=£=求得离心率.

a\a~

【详解】因为渐近线y=2x经过点(1,石)，所以2=从而e。区=#.

aaVa2

故选：C

【点睛】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属基础题.

5.函数f(x)=(x2-2x)e'的图像大致是()

【答案】C

【分析】运用函数的零点，极值点，单调性即可解决.

【详解】解：由/*)=0得x=0或x=2,故BD错；

又((x)=(x2_2)e”,

所以,当x＜-夜或x＞及时，制勾＞0;当-夜＜x＜应时，r(x)＜0,

所以/(x)在(-co,-^2)和(友,+可上单调递增，在(-72,72)上单调递减，

所以，f(x)在x=-0处取得极大值，在工=应处取得极小值，故A错.

故选：C

6.已知椭圆三+＞2=1的两个焦点为片，鸟，点尸在椭圆上且满足丽.和=0,则百巴的面积为()

4

A.@B.3C.1D.2

32

【答案】C

【分析】根据题意，分析可得/6尸尸2=],由椭圆的标准方程和定义可得IPKI+IP6h2a=4,

IP/-|2+|PF,|2=(2C)2=12,将两式联立可得IPfjd"I的值，由三角形面积公式计算可得答案.

【详解】解：根据题意，点P在椭圆上，满足西•%=0,』F\PF】=g

又由椭圆的方程为三+丁=1,其中。2=4一1=3,

4

则有IPKI+IP玛|=2a=4,|PFj+|PE|2=(2c)2=12,

联立可得1尸耳HP死1=2,

则4耳「尸2的面积S=gx|PKHPg=l；

故选：C.

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质.

7.如图，在四棱锥P-ABCD中，P4_L平面ABC。，M,N分别为PC,PD上的点，且丽=2祝,

PN=ND，^NM=xAB+yAD+zAP,贝ljx+y+z的值为()

225

A.—B.-C.1D.一

336

【答案】B

【分析】以｛万，而，万｝为基底表示而7,由此求得x，y，z,进而求得x+y+z.

【详解［NM=AM-AN=AC+CM-^(AD+AP')

=AB+AD+-CP--AD--AP

322

=AB1ADL(AP-AC)--AP

+2+3、>2

=AB+-AD+-AP--AC--AP

2332

=荏+;而T通+孙咨

=IAB+-AD--AP,

366

“72112

所以x=7，y=>z=_[X+y+z=；.

3663

故选：B

8.若函数/。)=依-N工在区间(2,+00)上单调递增，则。的取值范围是()

A.(-00,2]B.卜°0，；C.[2,+8)D.；，+8)

【答案】D

【分析】将问题转化为当x>2时，尸(“20恒成立，参变分离后，求。的取值范围.

【详解】r(x)=a-[=『，由题意可知，f\x)>Q,当xe(2,”)时恒成立，

即分一120恒成立，得，xe(2,-K»),

I戈/max

所以江上

故选：D

9.圆/+y2+4x-12y+l=0关于直线依一加+6=0(a>08>0)对称，则最小值是()

3230-16

A.—B.—C.—D.2vr3

333

【答案】A

【分析】先求出圆心，得到圆心(-2,6)在直线奴-分+6=0(4>03>0)上，进而求出]+匕=1,利

用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】丁+/+412丫+1=0变形为(x+2y+(y-6)2=39,

故圆心为(-2,6),

因为V+y2+4x-12y+l=0关于直线or-力+6=0(。＞()力＞0)对称,

所以圆心(一2,6)在直线5一力+6=0(a>()力>())上,

即—2a—6匕+6=0,所以一+b=l,

3

2626a+〃=2+6+孙生=”+以竺

—i—=—+-

abab)3abh3aclb

因为a>0,/?>0,

2b2。、c12b2a.2b2a

所以"+行之气1.工"二4’当且n仅当了=石'

即4=/,='时，等号成立，

4

2632

所以一+:之:-.

ab3

故选：A

10.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺,

第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是广有一女子善于

织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问

她前七日共织布多少尺？”()

A.28B.32C.35D.42

【答案】C

【分析】该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为｛%｝，进而得5,再解方程，并

计算前7项和即可.

【详解】解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为｛4｝,

设其每日增加的尺数为d,其前“项和为s”,

%+%+。3=93a,+3d=9d=l

所以,,即3；+9"=15'解得,

a2+4+牝=154=2

所以，她前七日共织布邑=74+21〃=14+21=35尺.

故选：c

11.函数/(x)=Y+依2+笈+/在x=l处有极值为10,那么“，方的值为()

A.4,-11B.-3,3

C.4.-11或-3,3D.3,3

【答案】A

【分析】由题意可知由此可求出。力，并验证即可求解.

【详解】f\x)=3x2+2ax+b,

，⑴=0[3+2a+b=0

由题意可知)「押।,⑺，

[/(1)=10[1+a+b+a-=10

[h=-3-2a[a=4(a=-3

则2..n'解得匕”或〃Q，

[a-a-\2=0[p=-ll[b=3

当《二；时,r(x)=3(x-l)2>0,

U_D

・・.在X=1处不存在极值，不符合题意;

\a=4

②当b=-ll时’/'(x)=3f+8x—11=(3x+ll)(x—l),

r(x)<0,xe(l,-K»),f^x)>0,符合题意.

“I,

［b=-ll

故选：A.

12.在数列｛a,,｝中，若见;且对任意的“eN*有外^耍，则使数列｛%｝前〃项和S“〈黑成

立的〃最大值为()

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】由题知数列传［是等比数列，公比为〜首项为进而得为=〃•］；］,再根据错位相减

法得"=2+2).出”，进而将不等式转化为(〃+2)•(Ij>\令么=(〃+2)1g)

,再结合其

单调性求解即可.

【详解】解：因为对任意的〃dN*有

所以即数列［%］是等比数列，公比为;，首项为

n+12n［nJ22

所吟H'『”｛｛I，

所以，S,=lx(J+2x(g)+3x(；)+…++〃[g)

；，=唱+2x(5+3x(；)+...+(1).1)+呜)，

所以;s,=(；)+({)+({)+…+({|H+l

所以S,,=2-(〃+2)]£|”,

„63,,c\CY63c1

所rr以rlS”(二即Bn为i2—(〃+2>|—|<—=2-----

32'J{2)3232

所以(w+2〉

令=(〃+2〉

则%=("+3)(；)即%<〃，

所以也｝为单调递减数列,

1Y514yC丫1

因为当”=8时,(8+2).3卜面>啦=示'相足(〃+2)•图》方

当”=9时,(9+2>0嘿，不满足(〃+2〉11

>一，

232

所以(〃+2)EJ』成立的〃最大值为8,

所以，数列｛《,｝前〃项和5„<^|成立的n最大值为8.

故选：B

二、填空题

13.不论用为何实数，直线/：(帆-1口+(2"-3)、+%=0恒过定点.

【答案】(一3,1)

【分析】直线/方程转化为，〃(x+2y+l)-(x+3y)=0,再根据直线系方程求解即可.

【详解】解：将直线/：(机一l)x+(2m-3)y+，”=0方程转化为m(x+2y+l)—(x+3y)=0,

所以直线/过直线x+2y+l=0与x+3y=0的交点,

所以，联立方程,解得pi

[x+2y+l=0[x=-3

所以，直线/：(，〃-l)x+(2w-3万+机=0恒过定点(-3,1)

故答案为：(-3,1)

14.已知向量2=(0,2,1),*=(1,-1,2),则忖+,=.

【答案】而

【分析】先利用空间向量坐标运算得到2+9=(L1,3),进而求出模长.

【详解】£+石=(0,2,1)+(1,-1,2)=(1,1,3),

所以1+.=6+1+9=布.

故答案为：JTT.

15.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，且F到双曲线=i渐近线的距离

3

为也,则抛物线C的方程为.

2

【答案】V=4x

(分析】根据题意设抛物线方程为/=2Px(p>0),由于双曲线渐近线方程为屈±y=(),利用点到

直线的距离公式求得P的值，即可得抛物线C的方程.

【详解】解：已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，则设抛物线方程为：

y2=2px(p>0),

则抛物线的焦点坐标为44,o1,又产到双曲线V-上=1渐近线的距离为也，

<2)32

双曲线中/=1,〃=3,所以。=1力=6，则渐近线方程为：6r±y=0

r+xP

所以虫=_^_1=,解得。=2或。=-2(舍)，

2位

则抛物线C的方程为y2=4x.

故答案为：y2=4x.

16.已知函数〃x)=xe*-e*,函数g(x)=wx-m(m>0),若对任意的占e[-2,2],总存在々«-2,2]使

得了(xj=g(9)，则实数加的取值范围是.

【答案】［e2,+oo)

【分析】利用导数判断f(x)的单调性求出/(x)的最值，即可得“X)的值域，由g(x)单调性可得

g(x)的值域，由题意可得/(x)在［-2,2］的值域是g(x)的值域的子集，根据包含关系列不等式组即

可求解.

【详解】由/(x)=xex—e'可得/'(x)=ex+止、—e'=心',

当x>0时，如)>0；x<0时，,f(x)<0；

所以/(x)在(p,0)单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以〃xL=〃0)=T，

因为/(一2)=-2e2-c2=-3e-2,/(2)=2/-e?=e),

可得〃x)在［-22］的值域为,

由g(x)=，nr-，w(，”>0)在［一2,2］递增，

可得g(x)的值域为［-3也加］,

由对任意的先«-2,2］,总存在吃口一2,2］,使得八%)=g(%),

可得［—1,白=［一3加,何，所以可得近e?,

实数〃，的取值范围是32,+00).

故答案为：［e),+8).

三、解答题

17.已知直线52x-y-\=0,直线/经过两条直线//：x+y-4=0和8x-y+2=0的交点.

(1)若/〃4求/的直线方程；

(2)若若人5求/的直线方程.

【答案】⑴2x-y+l=0

⑵x+2.y-7=0

【分析】先求出//与，2的交点坐标.再分别由/〃此/3求出直线/方程即可.

x+y-4=0

【详解】（1）由x-y+2-O'符jy=3

；.//与/2的交点为（1，3）

设与直线2x-y-l=0平行的直线方程为2x-y+c=0,

则2—3+c=0,

/.c=l

...所求直线方程为2x-y+l=0.

（2）设与直线2x-y-l=0垂直的直线方程为x+2y+c=0

则l+2x3+c=0,解得c=—7

.••所求直线方程为x+2y-7=0.

18.如图，在直三棱柱A/8/G-ABC中，AC1AB,4c=AB=4,44尸6,点E、尸分别为CA/、AB的

（1）证明:“〃平面8CGA；

（2）求与平面AE尸所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）上叵.

65

【分析】（1）通过证明EF//BG来证得EV〃平面BCC4.

（1）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面AE尸的法向量来计算出8/与平面

所成角的正弦值.

【详解】(1)如图，连接EG、BCi,

因为三棱柱A/B/G-A8C为直三棱柱，

所以E为AG的中点.

又因为广为4B的中点，所以EF〃BG.

又EF0平面BCC/Bj,BC/u平面BCC/B/,所以EF7/平面BCGg.

(2)以人为原点，A/。、AM4/A所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0,0,6),B/(0,4,0),EQ,0,3),F(0,2,6),

所以丽=(0,-2,6),AE=(2,0,-3),AF=(0,2,0),

设“，.平一面AEF的,,法向量r=为,〃-=(/x,y,z、),则r,｛n-汴AE-2-x—3z=0

'7[n-AF=2y=0

令43,得”=(3,0,2),

19.已知数列｛《,｝是等差数列，数列｛〃｝是正项等比数列，且4=伉=1,%+打=8,a5=b3.

(1)求数列也｝和也｝的通项公式；

(2)若c.=a/“(〃eN*),求数列｛5｝的前"项和工,.

【答案】(1)a„=l+2(n-l)=2/7-l；b„=3n-'；(2)7；,=(n-1).3"+1

【分析】(1)设等差数列｛”“｝的公差为d,正项等比数列｛〃,｝的公比为4,9>0,由等差数列和等

比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可求出数列｛%｝和｛"｝的通项公式;

(2)先由(1)求得4也,再利用错位相减法求其前”项和即可.

【详解】解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d,

正项等比数列出,｝的公比为4，4>0,

由可得夕2

4=4=1,a3+b2=8,%=4，1+2〃+=8,l+4d=q,

解得d=2,g=3(d=6,q=_5舍去)，

则％=1+2(〃-1)=2〃-1；%=3"T；

(2)由(1)知:a„b„=(2n-l).3"-',

.♦.7；=lx30+3x3'+5x32+...+(2"-l).3"T,

又37；=1x3,+3x32+…+(2”-3).3"T+(2M-1).3",

两式相减得：2

-2T=1+2(3'+3+...+3”-')-(2"-1).3"=1+2x"C])+(1_2n).y,

1-3

整理可得：7；,=(»-1).3"+1,

20.己知函数f(x)=xlnx.

(I)求/(x)的最小值;

(H)若对所有X..1都有“X)..如-1,求实数a的取值范围.

【答案】(I)最小值一;(II)(9』］

【分析】(I)由导数的应用，研究函数的单调性，再求其最值，

(II)构造函数g(x)=lnx+1,由导数的应用求函数的最值即可得解.

【详解】解：(I)的定义域为(0,+纥)，〃x)的导数广(耳=1+1叱令用工)>0,

解得x>:;令/(x)<0,解得0<x<:.从而/(x)在(0,j单调递减，在(5+8)单调递增.

所以，当时，/(x)取得最小值

(H)依题意，得/(X)..依-1在［1,饰)上恒成立，即不等式4,lnx+(对于xe［l,+8)恒成立.

令g(x)=lnx+L,则g'(x)=4y=当x>l时，因为g'(x)一2)>0,

XXX%kXJX\XJ

故g(x)是(1，+8)上的增函数，所以g(x)的最小值是g⑴=1,

从而a的取值范围是(3,1].

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式，属中档题.

21.己知椭圆cJ+[=l(a>6>0)的离心率为由且过点

(1)求椭圆C的方程.

(2)若点A,8分别是椭圆的左、右顶点，直线/经过点3且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A,B的

任意一点，直线AP交/于点如图所示.设直线的斜率为人，直线8P的斜率为％,求证：hk2

为定值.

【答案】⑴三+£=1;

43

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据椭圆离心率、所过的点及其参数关系求椭圆参数，即可得椭圆方程.

(2)设尸(为,%)(%/0),写出直线小的方程，进而求做坐标，应用两点式求勺、&2,结合户在

椭圆上即可证结论.

【详解】(1)由椭圆的离心率0=£=1，则a=2c,则4=。2-,2=3<2,

a2

将E代入椭圆方程：+=解得：c=l,贝Ua=2,b=6

22

...椭圆的标准方程：上+汇=1;

43

(2)由(1)知：A(—2,0),8(2,0),设P(%,%)(%H0),

(x+2).令x=2得：M2,也匕

则直线AP的方程为：

I与+2

一%

则—