2021-2022学年河北省秦皇岛市卢龙第二高二年级上册学期期末数学试题含答案

2021-2022学年河北省秦皇岛市卢龙高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.倾斜角为135。，在y轴上的截距为-1的直线方程是()

A.x-y+l=OB.x-y-1=0C.x+y-1=0D.x+y+l=0

【答案】D

【分析】先求出直线的斜率，再利用在y轴上的截距是-1,用斜截式写出直线方程.

【详解】：直线倾斜角是135°,

...直线的斜率等于-1,

•.•在y轴上的截距是-1,

由直线方程的斜截式得：y=-ixx-1,

即y--x-1,

故选：D.

2.已知等差数列｛“”｝满足02-45+08=4,则数列｛“”｝的前9项和Sg=()

A.9B.18C.36D.72

【答案】C

【分析】根据题意，由等差数列的性质可得/-如+。8=。5=4,又由守Qu%"，计算可得

答案.

【详解】根据题意,等差数列｛加｝中，。2+。8=2的，则。2-〃5+。8=〃5=4,

数列｛m｝的前9项和S、=阳广)=%=36,

故选：C.

3.已知双曲线3-4=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点尸到点(-5,0)的距离为()

169

A.7B.23C.5或25D.7或23

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义知，11^1-1^11=20=8,即可求解.

【详解】由题意，双曲线可得焦点坐标片(-5,0),6(5,0),

根据双曲线的定义知,\\PF,\-\PF2n=2a=8,

而|「闾=15,所以|P耳|=7或|P周=23.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答

的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

4.若抛物线〉=以2的焦点坐标为(。，2),则。的值为

A.-B.-C.8D.4

84

【答案】A

【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得。的值.

【详解】抛物线的标准方程为

a

因为抛物线y=ar?的焦点坐标为(。⑵，

所以《=2,所以a=

4a8

故选A.

【点睛】该题考查的是有关利用抛物线的焦点坐标求抛物线的方程的问题，涉及到的知识点有抛物

线的简单几何性质，属于简单题目.

5.在直三棱柱A/B/G-ABC中，ZBCA=90°,Di，B分别是A/B/,B/G的中点，BC=CA=CCi，

则A。/与BF/所成角的余弦值是()

A回«1「回nV15

(---------JD•L•------\J・--------

1021510

【答案】A

【分析】以点C为坐标原点，分别以CB,C4,CG为X轴，y轴，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

根据已知条件求出相应点的坐标，进而求出A〃,3月的坐标，

再求出直线AQ和直线8B所成角的余弦值.

【详解】解：以点C为坐标原点，分别以CB,C4,CG为x轴，y轴，z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示，设BC=C4=CC/=2,

则A(0,2,0),Di(1,1,2),B(2,0,0),F/(1,0,2),

5=(1,-1,2),函=(-1,0,2),

,分84|3730

直线AD,和直线BFt所成角的余弦值为~n=X，

AR%V6xV510

故选：A.

6.已知圆的方程为f+V-6x-8y=0,设该圆过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和8。，则四

边形A8CZ）的面积为（）

A.10>/6B.2076

C.30#D.40指

【答案】B

【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积

公式即可求出四边形ABC。的面积.

【详解】解：圆心坐标是（3,4）,半径是5,圆心到点（3,5）的距离为1.

所以点（3,5）在圆内，最长弦为圆的直径

由垂径定理得：最短弦8。和最长弦（即圆的直径）AC垂直，

故最短弦的长为2^/F二i^=4"，最长弦即直径，即AC=10,

所以四边形A3CD的面积为L4C-8O=，X10X4n=20后.

22

故选：B.

7,中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日

脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里

路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请

问第二天走了（）

A.192里B.96里C.48里D.24里

【答案】B

【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.

【详解】由题意可知此人每天走的步数构成十为公比的等比数列{《,},

由题意和等比数列的求和公式可得_L_S1L1=378,解得4=192,

2

二第此人第二天走192x1=96里.

故选：B.

8.已知双曲线「-1=1（〃>0力>0）的一个焦点为尸（2,0）,且双曲线的渐近线与圆（》-2）。"3相

ab

切，则双曲线的方程为

【答案】D

♦，

【详解】试题分析：依题意有:a，解得“=11=6,所以方程为/一匕=1.

{c=33

c2=a2+h2

【解析】双曲线的概念与性质.

9.已知两条不同的直线/,胆与两个不重合的平面a,为lua,mu0,则下列命题中不正确的是（）

A.若l〃m,则必有a〃夕B.若/L”，则必有a_L/?

C.若/_1_4，则必有a_L£D.若a_L4,则必有/M-La

【答案】C

【分析】根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案.

【详解】解：对于A：如图所示：

设aC£=c,l//c,〃?〃c满足条件，但是a与£不平行，故A错误；

对于B：假设a〃夕，l'u.,l'//l,l'A_m,则满足条件，但是a与万不垂直，故B错误；

对于C：若lua,I邛,根据线面垂直的判定定理可得故C正确；

对于D：设aDQ=c,若/〃c,m//c,虽然a_LW，但是可有〃?〃a,故D错误，

故选：C.

二、多选题

10.（多选）点M（1,D到抛物线），=62的准线的距离为2,则〃的值可以为（）

【答案】AB

【分析】把抛物线丫=尔2,化为标准形式f=_Ly,得2P=L,故准线方程为：y=-；,利用点

aa4〃

到直线的距离可得答案.

【详解】抛物线、=女2的准线方程为y=-1,因为点M（1,D到抛物线丫=依2的准线的距离为2,

4Q

所以1+；=2,解得a或〃=_t，

4a412

故选AB.

【点晴】焦点在）'轴的抛物线的标准方程为x2=±2py,准线方程为y=士^,计算时一定要找准P的

值.

11.若数列｛加｝满足4=2,。向=三〜则（）

A."3=5B.d.j=——C.。2。20=§D.$2020=2020

【答案】BC

【分析】根据题意分别求出“2,。3,如，田，可得数列｛〃〃｝是以4为周期的周期数列，逐一分析选项,

即可得出答案.

1+一

【详解】解：；4=2,7»+1

1+q_1+2__3&_1+a?_1+(—3)_11+/]十(2)1

4

1-<?i1—2，l—a21-(-3)2'1—a3]_(_1)3

3

，数列伍〃｝是以4为周期的周期数列，

.,.07=43+4=43=-；，故B正确；

U2020=4505x4==g，故C正确；

(II、3535

52020=505(。/+。2+始+。4)=505x|2-3--+-1=—,故D错误，

故选：BC.

12.在平面直角坐标系中，已知点42,0),8(0,2),圆C:(x-a)2+y2=i.若圆C上存在点M,使

得|M4『+|M8『=12,则实数〃的值可能是()

A.-1B.0C.1+2&D.-2

【答案】ABC

【分析】设点M的坐标为(x,y),根据题设条件，求得(x-l)2+(y_l)2=4,由圆C上存在点M,转

化为两圆相交或相切，列出不等式，即可求解.

【详解】设点用的坐标为Q,y),

因为|MA『+|MB|2=12,即(％_2)2+/+-2)2=]2,

整理得(x-l)2+(y-l)2=4.

因为圆C上存在点满足|M4「+|M3|2=i2,所以两圆相交或相切，

所以14J(a-1)2+143,即|。-1区2夜，所以1-2夜4a41+20，

所以A,B,C均正确.

故选：ABC.

【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中求得点用的轨迹方程，转化为两圆

的位置关系求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.

三、填空题

13.已知｛2｝是公比为q的等比数列，且%,4,生成等差数列，则4=.

【答案】或1

【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.

【详解】在等比数列｛%｝中，/，%，生成等差数列，则2%=/+四,

即=“2+”24，而％W0,整理得-4-1=0,解得4=-；或g=l,

所以g=-；或g=l.

故答案为：或1

14.过原点且倾斜角为60。的直线被圆x2+/-4尸0所截得的弦长为.

【答案】2百

【分析】由题意求出直线方程、圆的标准方程、圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出

圆心到直线的距离，利用勾股定理即得解

【详解】设弦长为/,过原点且倾斜角为60。的直线方程为y=百x-y=O

整理圆的方程为：f+（y-2）2=4,圆心为（0,2）,半径厂=2

圆心到直线的距离为：邑四=1

2

则：—=y/r2—I2=百I=2百

2

故答案为：

2

15.已知双曲线C:三-/=1（m>0）的一条渐近线为0x+“），=0,则C的焦距为.

m

【答案】4

【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出“涉的关系，再结合双曲线中标对应关系，联立求解m,

再由关系式求得c,即可求解.

【详解】由渐近线方程6x+zny=0化简得>=-巫X，即2=立，同时平方得<=乌，又双曲线中

mamam

22222

a=m,b=1,故上•=’,解得机=3,相=0（舍去），c=a+/?=3+l=4=>c=2,故焦距2c=4.

nfm

故答案为：4.

【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关

键.

16.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是.

2rt+l

【答案】

2兀

【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆

柱的表面积和侧面积即可得到结论.

【详解】设底面半径为广，则圆柱的侧面展开图的边长为2”，即圆柱的高为2口

圆柱的侧面积为£=(2兀4=4兀2产,表面积为S=S1+27t/=47t2/+2兀/

qA.rr~OTTr~OirJ-1

则圆柱的表面积与侧面积的比是

271+1

故答案为:

2兀

四、解答题

17.求经过两直线4：*-2y+4=O和，2：x+y-2=0的交点2，且与直线&：3x—4y+5=0垂直的直

线/的方程.

【答案】4x+3y-6=0

【分析】直接求出两直线li：x-2y+4=0和卜：x+y-2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后

求出所求直线方程.

fx-2y+4=0

【详解】由方程组-c八可得P(0,2).

[x+y-2=0

4

'.'l±h,.'.ki=-—,

4

.•.直线1的方程为y-2=--x,即4x+3y-6=0.

【点睛】本题是基础题，考查直线的交点与直线的方程的求法，考查计算能力.

18.已知圆C的圆心为(1,1),直线x+)」4=0与圆C相切.

(1)求圆C的标准方程：

(2)若直线过点(2,3),且被圆C所截得的弦长为2,求直线的方程.

【答案】(1)(x-l)2+(y-l)2=2；(2)3x—4y+6=0或x=2.

【解析】(1)利用点到直线的距离可得：圆心C(l,l)到直线x+y-4=0的距离心根据直线x+y-4=0

与圆C相切，可得r=d.即可得出圆的标准方程.

(2)①当直线/的斜率存在时，设直线/的方程：y-3=k(x-2),即：kx-y+3-2k=0,可得圆心

到直线/的距离d,又1+1=2,可得：k.即可得出直线/的方程.②当/的斜率不存在时，x=2,

代入圆的方程可得：(y-l)2=l,解得y可得弦长，即可验证是否满足条件.

|1+1-4|

【详解】(1)圆心c(l,l)至U直线x+y-4=0的距离”==近.

直线x+y-4=o与圆C相切，.•〃=〃=&.

，圆的标准方程为：(x—I)?+(y—1)~=2.

(2)①当直线/的斜率存在时，设直线/的方程：y-3=k(x-2),

,|2-&|

即：kx-y+3-2k=0,d=-j=^=,又/+1=2,J=1.

\lk+1

3

解得：

二直线/的方程为：3x-4>+6=0.

②当/的斜率不存在时，x=2,代入圆的方程可得：解得y=l±l,可得弦长=2,满足

条件.

综上所述/的方程为：3x-4y+6=0或x=2.

【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查

推理能力与计算能力，属于中档题.

19.在四棱锥Q-A8c。中，底面A5CD是正方形，若AO=2,QO=QA=逐，平面平面ABCD.

Q

(1)求Q8的长；

(2)求二面角8-QO-C的平面角的余弦值.

【答案】(1)3；(2)更.

3

【分析】(1)取AO的中点为。，连接。。,8。，可证QO,平面A8C£>,利用勾股定理即求；

(2)在平面A8CD内，过。作O77/CD,交BC于T,则OT_L4D,建如图所示的空间坐标系，求

出平面QA。、平面的法向量后可求二面角的余弦值.

【详解】(1)取AO的中点为0,连接。。,8。，

Q

因为QA=Q。，OA-OD,则Q。，,

因为平面QA。，平面ABC。，平面。AOc平面ABC。=AO,QOu平面QA。

所以QOJ_平面488,

因为80u平面ABC。，

所以QOL8O,

而A。=20=逐，故Q。=^/^^=2.

在正方形ABC。中，因为4)=2,故4。=1,故8。=不，

所以08=他八婚="^=3.

则。(0,1,0),。(0,0,2),3(2,-1,0),C(2,l,0),

故B。=(―2,1,2),=(―2,2,0),£>0=(0,-1,2),DC=(2,0,0)

设平面。8。的法向量”=(x,y,z),

则卜吟。即p+〉+2z=°,

n-BD=01-2x+2y=0

取％=1,则y=l,z=g,故九=[1,1,；)

而平面QC。的法向量为m=（x',y',z）,

则”即二°即厂"2z』。

mDC=O[2x'=0

取z'=l,则x'=0,y'=2,故加=（o,2,l）

因为|〃|=J1+1+；=g,|相|=Jo+1+4=V5,“•〃=0+2+；=g

5

mn2v5

所以cos＜m,〃＞=-------=-=—

\mV\n\，石3

2

二面角8-0O-C的平面角为锐角，故其余弦值为好.

3

20.在①e=孝，②过《1,孝），③叫缶这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆C：

22

£+£=1（a＞匕＞0）的右焦点为F（l,o）.

（1）求椭圆C的方程；

⑵设过点厂的直线/交椭圆C于M,N两点，若一OMN（O为坐标原点）的面积为:，求直线/的

方程.

【答案】（1）H+V=1

2

⑵x+y-l=0或x_y_l=0

【分析】（1）分别选择①②③，根据椭圆的几何性质，求得C的值，即可求解；

（2）由题意可以设直线/的方程为x=〃?y+l,联立方程组，求得MG，yJ,N（w，%）,所以

y+%=--^，%为=—-结合.OMN的面积列出方程，求得加的值，即可求解.

+2m~+2

丫22

【详解】⑴解：选①条件，由椭圆C：会+方=1（。＞"0）的右焦点为尸（1,0）,

可得c=l,因为离心率e=±=也,所以”=应，

a2

2

所以从="-。2=1,所以椭圆C的方程为r土+丁=1.

2

22

选②条件，由椭圆C：用+.=1（。＞匕＞0）的右焦点为尸（1,0）,

可得c=l,过则5+；=1，；・"=2,

所以椭圆C的方程为,+丁=1.

2，

选③条件，由椭圆c：£+方=i(a>6>o)的右焦点为尸(LO),

可得c=l，a=同，

又由/=b*23+c2f贝U=c?=1,a2=29

所以椭圆C的方程为工+V=1.

2

(2)解：由题意可以设直线/的方程为犬=冲+1,

£2=]

由<2+>-,#(/n2+2)y2+2/ny-l=0,

x=my+\

可得△=4>+4(/+2)=8(/+])>0,

设M&,乂)，N(w，%),所以y+%=-,yy=――

W4-2｝2m~+2

所以一OMN的面积S=g|OF||%-月|='1(%+%)2-4月之

£k2m丫4瓜W+l

2Wm2+2Jm2+2zn2+2

因为..O肪V的面积为J,所以迎±1=立，解得m=±l,

3nr+23

所以直线/的方程为尤+y-1=0或x-y-i=0.

21.设数列｛m｝的前“项和为S〃,a1=2,an+i=2+Sn,(nGN*).

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)设加=l+log2Can)2,求证数列｛1一｝的前〃项和.

【答案】(1)4=2"

(2)证明见解析

【分析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式.

(2)利用裂项相消法求出数列的和.

【详解】(1)数列｛“〃｝的前〃项和为S〃，ai=1,an+,^2+Sn,(〃GN*).

则a〃=2+S〃./,(nSN*).

所以an+i-an=Sn-Sn.t—an,

所以4包=2,

所以数列｛〃〃｝是以。/=2为首项，2为公比的等比数列.

则为=2x2i=2〃，

故%=2".

(2)设加=l+log2(an)2

则bn=2n+\.

]]_1(11]

贝纳川一(2〃+1)(2〃+3)-512九+1-2〃+3V

所以("xQT+L0一"+...+1」-一-」

"2(35)2(57)2(2〃+12〃+3

2132n+3j

21

64〃+6'

因为〃EN*'

所以14

6

22.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F.且尸与圆M：f+()，+4)2=1上点的距离的最小

值为4.

(1)求抛物线的方程;

(2)若点P在圆M上，PA,PB是C的两条切线.A,B是切点,求△以B面积的最大值.

【答案】(l*=4y

(2)20A/5

【分析】根据点尸(0,々)到圆M：/+。+