2021-2022学年上海市浦东新区高一年级上册学期期中数学试题含答案

2021-2022学年上海市浦东新区高一上学期期中数学试题

一、填空题

1.设全集“={x|x*l},"={x|x>3},则]=.

【答案】口，3]

【分析】根据集合的运算求解.

【详解】因为U={x|x±l},，={x|x>3},

所以/=3143}=[1,3],

故答案为：口，3].

2.满足。，2}q,u{1,2,3,4,5}的集合A有—个.

【答案】7

【分析】根据非空子集的定义求解.

【详解】由题意可知A={L2}与{3,4,5}的非空子集的并集，

而{3,4,5}的非空子集有有2,-1=7个，

所以满足条件的A有7个，

故答案为：7.

A/=1x|xeZ,-6-仁N1=

3.用列举法表示集合〔JJ

【答案】I，TO」}

【分析】根据题意可得2-》=123,6,求出x的值即可求解.

【详解】由题意得2T=1,2,3,6,所以X=1,0,-1,~4,所以"={-4,-1,0,1}

故答案为:{"，。叫

4.把〃砺（°>°）化成有理数指数塞的形式为.

【答案】言

【分析】根据给定条件，利用分数指数基的意义求解作答.

[详解]#4指=（。・加）4=（a+3）4=53）4=°3.

故答案为：加

5.若"=口2-5》+6=0},5={x|ax-3=0}i且人8=/,则实数。的值为

3

【答案】0,1,2

5=(-1

【分析】由工。8=/得讨论8=0,,根据元素与集合的关系，即可得满足条件

的所有实数。的值.

【详解】解：集合/={2,3},若=则8=",

则当。=0时，5=0.

8=丹-=23=3

当"0时，SJ,所以〃或〃，

3

a=­

所以2或a=l,

3

综上，。的值是0,1,2.

3

故答案为：0,1,2.

4

y-x+----

6.已知、>2,贝ijx-2的最小值为.

【答案】6

44

y=%+----=(%-2)+----F2

【分析】将函数解析式变形为工-2V7x-2,利用基本不等式可求得该函数的最

小值.

【详解】因为工>2,所以工-2>0,

444

y=x+——=(%一2)+——+2>2j(x-2)----+2=6

所以“x-2I7x-29Jx-2

x-2=----

当且仅当1-2时，即当x=4时，等号成立,

4

y=x+----

因此，当x>2时，函数'x-2的最小值为6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，考查计

算能力，属于基础题.

7.命题a"={Wv=x2-l,x€R},命题,:8={x|x>a},若命题a是命题尸的必要不充分条件,

则实数。的取值范围是_.

【答案】〔T'3)

【分析】求函数J-的值域，化简命题，根据必要不充分的定义列不等式求a的取值范

围.

［详解］因为函数N=的值域为卜1,+8),

所以命题a%=［T，f又命题£：8={x［x>。},命题a是命题用的必要不充分条件，

所以8$A,所以aNT,故实数a的取值范围是［T+00)

故答案为：［-L+8).

8.已知1°品9=。，1即=5,用表示log3645为

a+b

【答案】2^

【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解.

【详解】因为bg"9=a,"1。&85,

所以a+6=log,,9+logl85=log,8(9x5)=logl845

bgis36=log|S(2xl8)=1+log,,；2=1+log18=2-log1(l9=2-a

1%45=幽苴=也

所以logis362-a

a+6

故答案为：二.

9.若关于x的不等式wr!_mr+l>O的解集为R,则实数机的取值范围为

【答案】e4)

【分析】根据机=0和旭片0分类讨论即可求解.

【详解】当力=°时，1>。，满足题意；

Jw>0

2

当加*0时，U=/M-4/M<0>所以0<加<4,

综上，实数团的取值范围为［0,4).

故答案为：1°，句.

10.设xwR,定义〈》为不小于x的最小整数，如〈人〉=2,〈-1.2)=-1等，若《)=3,则x的取值

范围为

［答案］I-由,-及)1~1(&,百］

【分析】根据新定义可得2<一43,解一元二次不等式即可求解.

【详解】若则2</43,解得〈-夜或血

所以x的取值范围为［-石，-&)u(&，6L

故答案为:［-亚-际U(五,百］.

x2-x+a-a2<0

11.已知不等式组x+2a>l的整数解恰好有两个，求”的取值范围是

【答案】(闾

-x+a-a2<0

【详解】试题分析：不等式组x+2">l，即x>l-2a,

①当a=l-a时，即a=2时，x无解.

②当a>l-a时，即a>E时，不等式组的解集为(1-a,a),

再根据此解集包含2个整数解，可得l・aV0,且右2,解得lVaW2.

③当aVl・a时，即a<5时，

若00<5,不等式组的解集为(l-2a,1-a),无整数解，不满足题意.

若a<0,不等式组的解集为0,不满足题意.

综上可得，lVa/2,

【解析】不等式的解法

12.已知x'+V=2,且卜+'-4+|。+6-有最小值6,则实数a的取值范围为.

【答案】卜4，-2］

【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件列不等式，结合三角函数的值域求得”的取值范围.

［详解］\x+y~a\+\a+(1~x~y\-\x+y~a+a+(1~x~y\=(>>

当且仅当(x+V—“)(a+6-x-y/°时等号成立,

(x+y-a)[x+y-(a+6)]40,解得a4x+y4a+6,

由于x?+_/=2故可设x=0cos，,y=A/^sine,O4，＜27t

x+y=^2cos0+V2sin8=2sin(6+:卜[—2,2]

所以

ja<-2

所以3+622,解得_44a4-2,

所以”的取值范围是卜a91

故答案为：卜-2]

二、单选题

]3.“|x|<2”是“工2_》_6<0”的（

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式即可判断求解.

2

[详解]|x|<2o-2<x<2,X-X-6<0O-2<X<3,

因为-2<x<2是-2<x<3的充分不必要条件，

所以“|x|<2,，是"/-x-6<0”的充分不必要条件.

故选：A.

14.若。>0,则下列命题中正确的是（）

A.若切=",则l°g"=l°g„〃B,若m=n,则bg//=log,,1

c.log”/=log”/,则机="D.若则机="

【答案】D

【分析】根据对数的运算性质即可求解.

【详解】对于人,若心=〃<°时，则bg“叫l°g""无意义，故A错误，

对于B,若加=〃=0时，噫"八唾3无意义，故B错误，

对于C若脸*T°g"/，则"2=/D加="或机=-〃，故C错误,

对于D,若唯"拉=噬"〃，则加=〃，故正确，

故选：D

15.现有下列4个命题：

（1）若贝I」。b,（2）若a>3则/>〃；（3）若>〃且ab>°,贝|Jah.

（4）若贝|」0<〃一6<3

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】对于（1）（2）（3）通过举反例即可判断，对（4）利用不等式的性质即可证明.

11

—>—

【详解】对（1）,若"=1，6=T,则。b,故U）错误，

对（2）,若"1，6=T,则/=/，故（2）错误，

1>1

对（3）,若a=-2,b=-l,则ab,故（3）错误，

对⑷，则-1<-6<0,则0<a-b<3,故⑷正确，

故真命题的个数为1个，

故选：B.

16.设。所示有理数集，集合“=="+在下列集合中：

①｛2x|xeX｝；②｛血卜—[③卜晚入｝；④｛斗―｝；与*相同的集合有（）

A.①②B.②③C.①②④D.①②③

【答案】D

【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案

【详解】对于①：集合也小则2（0+6拒）=/+“

解得。=2a,q=2b,即22,是一一对于，所以与X集合相同.

[为xex]"芈卜=b+巴贝

对于②：集合W2J,则V22，也是一一对应，所以与X集合相同.

对于③：集合〔xJ,a+b42a--2b（a--2b）,一一对应，，所以与X集合相同.

对于④：_「6一,但方程=f无解，则3y=/，xeX｝与x不相同.

故选：D

三、解答题

/b2

.---------

17.已知“力都是正实数，比较°。与a+6的大小.

a2b2=a2>a+b

—H--+b

【答案】当时，ba,当万时，ba

a2b2

---1---

【分析】将6"与6相减并化简，再进行分类讨论判断差的符号，由此确定两者大小关系.

(ct~8-]/,xk+及-ab~-a~b

——十—\-(a+b)=---------------

【详解】16a)ab

a2(a-b^+b2(b-a^(a-b^(a2^2)(a-by(«+/?)

ababab,

因为所以>0,"+">>0

—+—=a+b

当a=b时，ba,

/b2'

——H>a+b

当a〔b时，ba

18.已知命题P：关于X的不等式机x-120的解集为4且2e4命题g：关于X的方程

V-2x+机=°有两个不相等的正实数根.

(1)若命题。为真命题，求实数团的范围；

(2)若命题夕和命题夕中至少有一个是假命题，求实数机的范围.

、11

tn>—m<—

【答案】(I)2(2)2或加2/

【分析】(1)根据不等式的解集且2e4代入即可根据命题。为真命题求得数"的范围.

(2)先求得命题P和命题“都为真命题时加的范围,根据补集思想即可求得命题P和命题q中至少

有一个是假命题时的范围.

【详解】(1)命题P：关于x的不等式372°的解集为Z,且2e/

因为命题?为真命题

所以2m-120

m>—

解得2

(2)命题0：关于X的方程Y-2X+机=°有两个不相等的正实数根

△=4一4m>0

<x[+x2=m>0

当命题,为真命题时，N,％=2>°

解得°<〃7<1

当命题p和命题q都为真命题［°<加<1

—<7??<1

所以2

所以若命题。和命题9中至少有一个是假命题

1

m<—

则2或机2/

1

m<—

所以实数机的范围为2或机W/

【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征，复合命题真假的关系,属于中档题.

19.如图所示，将一矩形花坛45CD扩建成一个更大的矩形花坛NWW,要求8点在/A/上，。点

在/N上，且对角线MV过点C,已知48=3米，ND=2米.

N^------------iP

D—

A'B

(1)要使矩形NMW的面积大于32平方米，则。N的长应在什么范围内？

(2)当。N的长度为多少时，矩形花坛/WPN的面积最小？并求出最小值.

2

(0,-)u(6,+a>)、

【答案】(I)3；(2)当。N的长度为2米时，矩形花坛/A/PN的面积最小，最小值

为24平方米.

【分析】(I)设。N的长为x(x>。)米，则|/M=(x+2)米，根据比值相等可得再由矩形面积

公式得矩形面积，然后解不等式可得结果；

(2)利用基本不等式可求得最值.

【详解】(1)设。N的长为x(x>。)米，则MM=(x+2)米.

|DN|_|DC|-3(x+2)

7-7777_I1IAM|=-------

因为|/V|\AM\t所以X,

3(x+2)2

所以矩形AMPN的面积为MNI•I""I—一x一,

3(x+2>—八2

----—>32)0<x<-

由X,得3x-20x+12>0,解得3或x>6,

2

(0,-)u(6,+a5)

所以ON的长的取值范围是3(单位：米)，

(2)矩形花坛的面积为

3(x+2『

3.X-+12.T+12=3X+H+12>2j3x~+12=2y/36+12=243x=—

y=Xxx\x,当且仅当x,即

x=2时，等号成立,

所以当ON的长度为2米时，矩形花坛ZMPN的面积最小，最小值为24平方米.

【点睛】本题考查了基本不等式的实际应用，属于中档题.

20.已知集合A是不等式X-4的解集，集合B是不等式的解集，集合C是不等式

丁-3数+2/<°的解集.

⑴求彳C8；

（2）若力uC=/,求实数。的取值范围；

（3）若8nc=0,求实数〃的取值范围.

【答案】⑴（T-2）U[4,6）；

（2）-l<a<2.

⑶a4—4或a=0或aN6.

【分析】（1）分别解分式不等式、含绝对值符号的不等式化简集合4B,再利用补集、交集的定

义求解作答.

（2）根据给定条件，利用集合的包含关系，再分类求解作答.

（3）分类解出一元二次不等式，再结合已知求解作答.

【详解】⑴解不等式』一得：-24X<4,即2=[-2,4）,则，=S，-2）U[4,yo）,

解不等式[x-"<5得：_4<X<6,即8=（-4,6）,

所以"8=«-2川[4,6）

（2）由人C=/得：Cu4,不等式x?-3办+2/<0化为：（xi）（x-2a）<0,

当a>0时,C=（a，2a）,由⑴知-24a<2a44,解得0<a42,则0<a42,

当a=0时，C=0,满足Cu],则。=0,

当a<。时，C=（2a,a）,由⑴知-242a<“V4,解得一14a<0,则一

综上得：TV。。，

所以实数。的取值范围是TWa42.

（3）当">°时，C=（"，2。），而8=（-4,6）,由8|"|。=0得则aN6；

当。=0时,C=0,满足BAC=0,则a=0；

当a<0时，C=（2a,a）,由8（~]。=0得a4-4,贝iJaV-4,

所以实数”的取值范围是。4-4或。=°或a26.

21.已知代数式Ix+2|和

(1)若a=3/=3,求不等式|x+2|+|ax-"<6的解集;

3

⑵若"1，6=1,证明：Ix+2|、I"一切中至少有一个数不小于5；

3

八|x+21+1ax-b_x+1

(3)若。>0,不等式2对任意实数x恒成立，试确定实数。、人满足的条件.

【答案】(1)(24)

(2)证明见解析

2

2a-b>0

⑶

【分析】(1)分类讨论解绝对值不等式;

(2)利用反证法即可证明；

(3)根据x<-2,x>-2分类讨论去掉Ix+21的绝对值，从而只用讨论含一个绝对值的不等式恒成立问

题，再进行分类即可求解.

【详解】(1)k+2|+|3x-3|<6,

5

x>----

当x«-2时，-x-2+3-3x<6,所以4,所以x不存在；

11,

X>————<X<1

当-2<x<l时，x+2+3-3x<6,所以2,所以2

77

x<一\<x<-

当X21时，x+2+3x-3<6,所以4,所以4.

1_7

5

综上，解集为24

3

N+2|<—-2<x<_1

2=<22

335

<—,1一

⑵当a=b=l时，假设卜+2|，|x-l|n<x<

都小于5,即222,此不等式无解,

3

因此假设不成立，所以口+2|、Mx-b|中至少有一个数不小于5.

3

\x+2\+\ax-b\>—x+l

(3)若。>0,不等式2对于任意实数x恒成立.

3

-x-2+\ax-b\>—x+1|ax-6|>-1x+3

①当》<-2时,।'2，即

3

—x+3<