2021-2022学年上海市金山区高二年级下册学期3月月考数学试题含答案

2021-2022学年上海市金山区高二下学期3月月考数学试题

一、填空题

1.在等差数列S,中，田0=18,卬=2,则公差《=

【答案】2

【分析】根据等差数列的公式求得公差，

【详解】依题意即>=出+8d,l8=2+8d,d=2

故答案为：2

2.若椭圆的长轴长是短轴长之的2倍，它的一个焦点是片（°'一3）,则椭圆的标准方程为

/x2

-----1-----=1

【答案】123

->2

VX~

~r—=1（〃〉b>0）r、、）’.

【分析】由题意设椭圆方程为。b-,贝！］有2”也c=3,再结合矿=/+厂求出。力,

从而可求出椭圆的方程

v2X2

、+三=1（。〉6〉0）

【详解】由题意设椭圆方程为。〃,则

a=2y/3

2a=4b

b=VJ

c=3

c=3

解得

+二=1

所以椭圆方程为123

Vx2,

故答案为：123

3.线段46两端点44在两坐标轴上移动，且|4团=2,则线段48中点轨迹方程为

【答案】/+/=1

【分析】设"8中点为PGM,再分别表示48的坐标，根据1/例=2求解即可.

£+0_

2-X[a=2x

力+0^\h=2y

【详解】设月8中点为P&M,不妨设"凡°），8（0,6）,则r^=y

又|曲=2,故（2琦+（2埒=22,化筒可得犬+炉=1

故答案为：一+/T

【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，需要根据题意设动点坐标，再求出相关点的表达式,

再根据线段长度列式化简，属于基础题.

4,直线/：（2加+1匕+（"?+1'=3，"+23£2经过的定点坐标是

【答案】0，1）

Jx+y-2=0

【分析】将直线方程化简为（x+，-2）+〃?（2x+y-3）=°,进而令12x+y-3=°即可解得答案

【详解】把直线/的方程改写成：（x+y-2）+〃?（2x+y-3）=0,

Jx+y-2=0（x=1

令12x+y-3=0,解得：［了=1,所以直线/总过定点0，1）.

故答案为：（1,1）.

5.过点（°，2）与抛物线/=8x只有一个公共点的直线有条

【答案】3

【分析】根据点与抛物线在直角坐标系中的位置关系：抛物线外，即可知过（°，2）与V=8x只有一

个公共点的直线条数

行的直线，故3条

故答案为：3

【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，由点与抛物线的位置关系判断过该点与抛物线只有

一个公共点的直线条数

6.与双曲线于一正二1有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是.

---------1

【答案】94

片-J/i4x2/h]

【详解】设916一;将1（3,2r0\）代入求得^’=一~4.双曲线方程是94-'

7.已知数列S”｝的前〃项和为J，且S，，=2〃“-2,则数列｛bgz。，，｝的前项和

T“=;

〃(〃+1)

【答案】2

【分析】由S"=2a,,-2,推得得出数列值｝为等比数列，得到4=2",求得噫为=”，

结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】由数列｛""｝的前〃项和为工，且邑=26,-2,

当"22时，S"U-2q,_]-2,

两式相减,可得a”=S"_S"T=2a"_2a“T,即可=2%_|,nwN*,

令〃=1,可得4=2,

所以数列｛“"｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以%=2”，

T「("+1)

则logM=〃，所以"2.

故答案为：2.

8.已知点尸是抛物线V=4x上的动点，点p在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当

|a|>4时，|/"|+1尸M|的最小值是.

【答案】"历7

【分析】首先根据抛物线的定义转化内+附4=回+间J再根据数形结合分析四十冏的

最小值.

【详解】抛物线的焦点是厂a°),且当i“i>4时，点A在抛物线外.

根据抛物线的定义可知即闫四一1

.•.|PJ|+|PA/|=|P/4|+|PF|-I

---\PA\+\PF\>\AF\

当4P，/三点共线时，等号成立，

呻河的最小值是网T,

\AF\=^/(4-1)2+(0-0)2=y/a2+9

•,•户⑷+户蛆的最小值是百历-1.

故答案为：行石-1

【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问

题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化户叫=P口-1.属于基础题.

9.已知数列M/满足q=33，°e-勺=2n,则〃的最小值为

21

【答案】万

a„3333

—=Fn-1=Fn-1

【分析】先利用累加法求出。〃=33+/-〃，所以〃n,设/(〃)n,由此能导出

〃=5或6时/(〃)有最小值.借此能得到〃的最小值.

【详解】解:Van+/~an=2n,，当〃22时，an=Can-an-j)+(.an-i-an-2^

+…+(〃2一。/)+田=2[1+2+…+(〃-1)]+33=*-〃+33

且对n=1也适合，所以an=n2+33.

。〃331

—=—十〃-1

从而〃〃

331-33、八

=\-n—\=-z-+1>0

设/(〃)〃,令，(〃)〃,

则/(〃)在(而'+8)上是单调递增,在IOd)上是递减的，

因为“6N+，所以当〃=5或6时/(〃)有最小值.

a553&_63_21

又因为了一丁，1一了_2,

♦

所以〃的最小值为6-2

21

故答案为了

【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法.还考查函数的思想，构造函

数利用导数判断函数单调性.

10.关于曲线V,则以下结论正确的个数有个.

①曲线C关于原点对称；

②曲线C中xi[-2,2],蚱卜2,2]；

22o

③曲线C是不封闭图形，且它与圆厂+>=8无公共点；

④曲线C与曲线°：凶+帆=4有4个交点，这4点构成正方形.

【答案】2

【分析】根据曲线的方程，以及曲线的对称性、范围，结合每个选项进行逐一分析，即可判断.

-1+4=1

【详解】①将方程//中的苍丁分别换为-XL',方程不变，故该曲线关于原点对称，故正

确；

±=1_±>0

②因为―/,解得^>2或》<-2,故”（内>,-2）。（2,必），

同理可得：'"一一?）"2,”），故错误；

③根据②可知，该曲线不是封闭图形；

441

~~-----2=]12Q

联立Xy与厂+）广=8,可得：X4-8X2+32=0,将其视作关于一的一元二次方程，

故♦=64-4X32<0,所以方程无根，故曲线C与犬+丁=8没有交点；

综上所述，③正确；

④假设曲线C与曲线。汹+3=4有4个交点且交点构成正方形，

根据对称性，第一象限的交点必在夕=苫上，

联立与/+/_可得：*='=2四，故交点为

而此点坐标不满足n：W+3=4,所以这样的正方形不存在，故错误；

综上所述，正确的是①③.

故答案为：2.

【点睛】本题考察曲线与方程中利用曲线方程研究曲线性质，处理问题的关键是把握由曲线方程如

何研究对称性以及范围问题，属困难题.

二、单选题

ii.已知无穷等比数列｛%｝的首项为i,公比为前〃项和为S”，贝3巴,为（）

2343

A.3B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】求出£的表达式，利用常见数列的极限计算可得结果.

【详解】由于无穷等比数列｛"”｝的首项为1,公比为3

limS=lim—

“一»8tirt->007=

因此，L1

故选：D.

12.已知抛物线C：「=4x,过焦点F且倾斜角为3的直线交C于A,8两点，则弦的中点到

准线的距离为（）

58

A.5B.3C.3D.8

【答案】C

【分析】先求得N8的方程为耳-y-力=°,联立方程组，结合根与系数的关系，求得

10

x,+x=—

2-3,进而求得弦力8的中点到准线的距离，得到答案.

【详解】由题意，抛物线C：/=4x,可得焦点尸（L0）,准线方程为产-1,

设“G，必），8。2，%）,直线的方程为Kx-y-K=o,

fV3x-^-x/3=0

联立方程组l「=4x,整理得3/-心+3=0,

105

%+X）=——

则-3,所以弦Z3的中点的横坐标为3,

5।8

—卜1=一

则弦48的中点到准线的距离为33.

故选：C.

X2y2_

13.以过椭圆靛+F一”>>的右焦点且垂直于x轴的弦P。为直径的圆与点43°）的位置关系

是（）.

A.点A在圆内B.点A在圆外C.A在圆上D.点A与圆的关系不确定

【答案】A

"尸。l=/

【分析】根据题意计算'-2一了，判断M用与半径的大小关系得到答案.

片-1解得小土故同心=9,,

【详解】当时,

a2,-c2b2b2

圆心为玛3°）,“"一"--------=------<—=r

a+ca,故点A在圆内.

故选：A.

【点睛】本题考查了椭圆的弦长，点与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

c=_____f1.999

14.数列匕｝满足“(2闻-2)(2向-1),其前〃项和为北，若/丽成立，则〃的最大值是

()

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

_2一__J________1___

【分析】由c"(2"'-2)(2"“-1)可化简得‘"(2"-1)(2时-1),再利用裂项相消可求出利用

1,999

条件"(丽即可求解

_2-2"_1_______1_

［详解］，”=(21,+l-2)(2,I+1-l)=(21,-1)(2,,+1-1)=(2"-1)~(2H+t-l)

TZ11、/11、/I1、

〃1"2'-122-122-123-12〃-12,,+1-1

11।1।11111

2'-12n+l-12”"-1.由2向-110002"+'-11000,

2"+,-1<1000(〃eN*)n〃+1S9n〃W8

故选：A.

【点睛】本题考查数列裂项相消.这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.是将数列中的每项

（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

常见的裂项相消的公式：

------1-----——IIf—1—----1---

〃(〃+〃)k\nn+k

/\

1_11_______1

(2?7-1)(277+1)-2^(2w-I)-(2〃+1),

1_1+k-«)

4++)k

三、解答题

15.在等比数列｛""｝中，己知《=2,且生、％+%、％依次是等差数列也，｝的第2项、第5项、第

8项.

⑴求数列国｝和也｝的通项公式；

（2）设数列化一勺｝的前〃项和为S",求.

【答案】⑴"，，=2","=2〃

4向-3-2向+2

s.=-------------

⑵3

【分析】（1）设等比数列㈤｝的公比为力根据等差中项的性质可得出关于q的等式，可求得“的

值，进而可求得等比数列㈤｝的通项公式，求出打、”的值，可求出等差数列也｝的公差，进而可

求得数列｛"”｝的通项公式；

（2）利用等比数列的求和公式以及分组求和法可求得

【详解】（1）解：设等比数列｛“”｝的公比为以

而等差数列｛4｝的第2项、第5项、第8项成等差数列，

则2（q+“3）=4+〃4即2Gl+"囚）=a\（l+a\（l

即2%（1+如）=《4（1+4）解得g=2,

又因为q=2,所以％=q/i=2",显然有.=9=4,4=&=16,

g8-g2

则等差数列也｝公差-8-2一,所以“=4+（"-2）"=2",

所以数列｛%｝和也，｝的通项公式分别是=2",b"=2n.

（2）解：T〃eN*,%

所以，数列｛“；｝为等比数列，且该等比数列的首项和公比都为4,

S”=（。；+。；+。；+…+（。1+生+。3+…+。"）

二（4+42+4/一+4"）―（2+22+23+3+2"）=4（14）_2（12）=4〃*—3.2向+2

v7v71-41-23

x2y2

C：―-H-=1（6F>b>0）尸22

16.已知椭圆a-h2的离心率与双曲线E：x-J=2的离心率互为倒数，且椭圆

。的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线£的焦距依次构成等比数列.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若双曲线£的虚轴的上端点为名，问是否存在过点名的直线/交椭圆c于“，N两点，使得

以MN为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线/的方程；若不存在，请说明理由.

［答案］（1）了+''-；（2）存在，、=缶+&或y=_应X+0.

【分析】（1）将己知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件,

求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；

（2）先排除直线/斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，

利用判别式求得％的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于人的方程，求解并验证

是否满足上面求出的范围即可.

22《上=1警=五

【详解】解：⑴双曲线=2,即为22，其离心率为<2,

X2y21

C：r+J=l（Q〉b>0）e=-j=

则椭圆。卜的离心率为12

因为双曲线E的实轴长为2及、焦距为4,

设椭圆。的焦距为2c,则2c，2夜,4成等比数列，

所以（2起f=8c,解得C=1.

_C_1

又ea应，及/=〃+。2,解得"&力=L

X221

一+V=1

所以椭圆C的标准方程为2；

（2）双曲线E的虚轴上端点为名（0,拒）.

当直线/的斜率不存在时，/：x=°,点"，N为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意:

故直线/的斜率存在，设斜率为晨则直线/的方程为"=依+四,

联立方程组〔尸履+"消去y,得（1+2公产+4历履+2=0

l，/,、,72,41

显然〜历了-4（1+2%）2＞。，解得%＞彳或左＜=（*）

46k2

设点"GQJNH，”），贝广+々=

2

所以+&%2+0）=kxtx2+gk（X\+Xz）+2

2k28k22/-8左2+2+4左22-2公

-1+2公―1+2/+-1+2/-1+2左2,

若以MV为直径的圆过原点，则丽,丽，所以两.丽=0,所以国々+乂％=°,

22-2k2八

-----7+-----r=0

即1+2r1+2左2,

且=0

所以1+2公，解得左=士&，符合（*）式，

所以直线/的方程为N=&x+&或y=-0x+&

17,在数列5｝中，％+3q,=6"（〃eN）

El

（1）判断数列I9J是否为等比数列？并说明理由；

（2）若对任意正整数〃，%＞°恒成立，求首项6的取值范围.

【答案】（D答案见解析.（2）。2）

6"+,（6"）

【分析】（1）转化条件得919人由等比数列的概念即可得解：

«,=1"，，‘一讣一3尸+?

（2）易得当3时，符合条件：当3时，I3；9（根据〃为奇数、〃为偶数

分类讨论，由恒成立问题的解决办法即可得解.

【详解】（1）因为％+3%=6”,所以。向=6"-3区

6"+,,6"”.3-6"

«„-7-=6=-3«„+—

所以+1999

6n26"6“一,6_

a

an---„-\--鼠="，=《一§=°

所以当9即3时，9“9

_26"

所以当“一3时，数列-9

不是等比数列;

6〃

1=一3

2凡上。凡

a.-—^0。产一父

当9,即3时,9，所以"3

26"

所以当“产3时,~9

数列是等比数列;

「2,„=£>0

(2)由(1)知,当3时，‘9，所以’9恒成立:

二

%

当是等比数列，且首项为公比为-3,

所以

4T(-3产+总6〃

即9

「|『3尸+6?”>022"

当”为奇数时，Q"CIA>-----------

9，所以33

2_T_2_r

又3~T单调递减，所以〃=1时,3~T取得最大值，所以q>°

'.-|)(-3r'+6”y>022”

当〃为偶数时，生a,<—+一

9，所以33

22”22"

-4---4--

3333

又单调递增，所以当〃=2时,的最小值为2,所以四<2

fl,€H2r(r2

所以3

综上，首项外的取值范围为(°，2).

【点睛】本题考查了等比数列的判定及数列不等式恒成立问题的解决，考查了运算求解能力，属于

中档题.

18.在平面直角坐标系中，过方程加V+沙2=l(机,〃€R,〃7,〃H0)所确定的曲线c上点

例Go,％)的直线与曲线。相切，则此切线的方程"/x+〃%V=l.

（1）若‘"-"一^,直线/过（6，2）点被曲线c截得的弦长为2,求直线/的方程；

（2）若m=1,“一一3,点n是曲线c上的任意一点，曲线过点力的切线交直线4：后一、=°于

M,交直线，2：Gx+y=°于M证明：MA+NA^O.

11

（3）若4,2,过坐标原点斜率的直线与交c于p、。两点，且点P位于第一象限，

点P在x轴上的投影为E,延长。E交C于点心求「O,松的值.

瓜y==（X-G）+2

【答案】（l）x"3或12；（2）证明见解析；（3）0.

【分析】（1）利用圆的弦长公式计算求解，注意先验证直线斜率不存在的情况；

（2）设"（/'%）,根据已知求得切线方程，联立方程组求得以，N的坐标，证明天+々=2%,得到

力为线段的中点，进而证得结论；

（3）设3（孙山）典物以），则。（河•力）及50）,写出E。的方程,与曲线C的方程联立，根据。，火的

2ny^x,

々一再=--d-r

横坐标也花是这个方程的两实数根，利用韦达定理求得4〃所+〃乂，进而计算可得

PQPR=0

1

m—n=—22A

【详解】（1）当4时，曲线C的方程为％+>=匕这是以原点为圆心，-2为半径的圆，

直线/过点心’2）,当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=6,代入圆的方程得V=1,

卜=±1,.•.直线/被圆所截得弦长为2,符合题意；

当直线/的斜率存在时，设斜率为k,则直线/的方程为，一2='。一"），即日-y+2-曰=o,

由弦长为2,半弦长为1,圆的半径为2,所以圆心到直线/的距离为亚口=6，

"巩石女粗石+7

77—xH

由点到直线的距离公式得办[一73+1，解得k=1—2,所以直线/的方程为：.y=12—4.

（2）当“一’〃一3时，设“（X。/。）,则过4点的切线方程为：叫x+〃%y=i,