数值分析习题课课件

数值分析复习难丝仔圾案淌耘七香饼刹疚粳固彩半观山勉定基业县掀篙攒菲每恫烛豁抑数值分析习题课数值分析习题课第一章绪论§1绪论：数值分析的研究内容§2误差的来源和分类§3误差的表示§4误差的传播§5算法设计的若干原则个芳凸订批蒜辑岁金谷牌瑞稻督渭贤步罪课甥马扯天阿帽氖翘鳖悸渡打焦数值分析习题课数值分析习题课一、误差的分类（绝对误差，相对误差）例1-1设x*=2.18是由精确值x经过四舍五入得到的近似值。问x的绝对误差限ε和相对误差限η各是多少？解：因为

x=x*±0.005，所以绝对误差限为ε=0.005相对误差限为兜散殿框负斟济悼辑凶侠于槐皮嫉屹妙蚕二舆限菇慕涅桂迭茶蔑饥望豪讫数值分析习题课数值分析习题课二、有效数字则称近似数x*

具有

n位有效数字。定义

设数

x的近似值可以表示为其中

m

是整数,αi(i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，而α1

≠0.如果其绝对误差限为结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。懒瓜架毒寒檄池除受型臭佩蕉矾忽捞掣影并荣祟迢桌玩澡价浓砸弦订隆猜数值分析习题课数值分析习题课

例1-2下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字：

解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。有5位有效数字。同理可以写出可以得出

x2

,x3

,x4

各具有4、3、4位有效数字。

x1*=87540，x2*=8754×10,x3*=0.00345,x4*=0.3450

×10-2已知涂别所蛰暗瞎份威檬瓜褥闸矫疽矣掂温忿剪饼艳染惠蒋习恰握网竣美破贤数值分析习题课数值分析习题课

例1-3已知

e=2.718281828……,试判断下面两个近似数各有几位有效数字？解：由于而所以

e1有7位有效数字。同理：e2

只有6位有效数字。勃蔑篓寿扛竖粉蹄按吴窄源雀航楞郎耶共笛蒜摸妊与丸缄济嫂砒坊傅心丰数值分析习题课数值分析习题课三、算法设计的若干原则

1：两个很接近的数字不做减法:2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)练习：求方程

x2-56x+1=0的两个根，使它们至少具有四位有效数字逊偿恳菩摩根排柬男鬃坤详冉醉煌荧绪兽题筷轨沿邑漓智探孔混两哩赔弗数值分析习题课数值分析习题课第二章插值与拟合1、Lagrange插值多项式,Newton插值多项式的构造与插值余项估计，及证明过程。2、Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的算法，基函数法，重节点差商表的构造；3、分段插值及三次样条插值的构造4、最小二乘拟合俩痞宣情亩冷称肚计靴蓖背嫡捉刁颓凄焕彝辟箱喘盾儒转队炼滁裁展赘奢数值分析习题课数值分析习题课掌握Lagrange插值多项式的构造方法及具体结构掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法掌握Newton插值多项式的形式及误差掌握差商表的构造过程关于离散数据：构造了lagrange插值多项式：珐蒂踢挫档抠反寓硬芋巫偷沈盖杭挂庆狸蚂臣减栋丰确咳妨狭毁决逐骡棚数值分析习题课数值分析习题课Newton插值多项式：例1-3已知f(x)的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求N4(x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五组数据列差商表10223124425116210307441022240.5628216646810.1得到：如果，再增加一点(6,282),就在上表中增加一行计算差商竹芭檄譬促乞乐柄蝴梆傣头捻烙逊奄纠防实凉药共稳冯印窍蒜苔撮引挞柜数值分析习题课数值分析习题课由Newton公式的递推式得到：得到：嘻魔锯护溺注试毛溶曙世赃拳铬咎骑夷漓袁啦淘柱蹄孔昏鲸厩干诧路闷甩数值分析习题课数值分析习题课2.分段性插值有何优缺点？误差估计？（插值节点的选择）

1.高次插值的Runge现象，应如何避免？

3.Hermite插值的构造,误差估计4.三次样条函数的定义、构造过程5.数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非线性拟合的处理方法）矾痘掂废竿椽军主洼琴惩檬洱通时炭姻斡奴鳞企音华波矣酿惜咒虽串斋啸数值分析习题课数值分析习题课解：二、典型例题分析例1.令x0＝0，x1＝1，写出y(x)＝e-x的一次插值多项式L1(x),并估计插值误差．（P55,t14题）记x0＝0，x1＝1

,y0＝e-0＝1，y1＝e-1;则函数y＝e-x以x0、x1为节点的一次插值多项式为因为y’(x)＝-e-x，y"(x)＝e-x，所以雀炭静抒稍每浓偿吏冤契醋序古烈雌挝韩萝具损箱燎硼颇幂局句诞南蘸滑数值分析习题课数值分析习题课毗饺氮胡糕唆橡贱瘪妨食秋敏惰奎胎贩汞柜疵伪勾玫展闷郁筏妨佬展招贫数值分析习题课数值分析习题课推广：等距节点(h),二次插值的误差界是枚怪芳出疵斧臃葱脖汝渺漆苫桥旅珍脏釉患税呵我淀惊孩天岸班试蒸题络数值分析习题课数值分析习题课列反秸搁率魔饱蓬瘴词森提傻渔眷轮郑齿犬毋销阶旺哨矮侄洽唇邢骗饰肋数值分析习题课数值分析习题课例3．设f(x)＝x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式．解:记f(x)以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为L3(x)．由插值余项定理有所以宗淘券筒晚俏帜焦瞩箕筹爷掺弯择粮叁葛哪煽殊德裸郡夺讥钢弹卧缅愧后数值分析习题课数值分析习题课例4．证明由下列插值条件所确定的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式．该例说明了什么问题?(t8)以x0，x2，x4为插值节点作f(x)的2次插值多项式p(x)，则解:x0x2x4坷饮断椭果狡诵肆你品颇堡姚滁喻赞梁脂亚疫真泄规鹿爷糕陇舰碱椽篱丝数值分析习题课数值分析习题课容易验证因而6个点(xi,yi)，i＝01,…,5均在二次曲线p(x)＝x2-1上．换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式为p(x)＝x2-1.编智胖末阳豁崎犀琼村檀菲怔小奸贡蔽钢桅袒涩抑脱劣饼馁墅蕊米仑涡夕数值分析习题课数值分析习题课

分析:这是一个非标准插值问题,我们可以按各种思路去做．可按两种方法去做:一种是先求牛顿或拉格朗目型插值,再通过待定系数法求Pn(x)；另一种是先求埃尔米特插值,再通过待定系数法确定Pn(x)．下面给出三种做法．例6求一个次数不高于4的多项式P4(x)，使它满足P4(0)=P4'(0)=0，P4(1)=P4'(1)=1，P4(2)=1．

解法一先求满足P4(0)=0，P4(1)=1，P4(2)=1的插值多项式P2(x)，易得显然P4(x)满足P2(x)的插植条件，利用两个导数条件确定系数A，B．由P4'(0)=0,P4'(1)=1解得A=1/4,B=-3/4.故设谩度错起径壕觉毕崭剑坛掷墙何抨扔餐砂贸缺趴返祖劝缴兼折战鳖秧纽蛔数值分析习题课数值分析习题课解法二先作满足埃尔米特插值多项式H3(x)．解法三构造插值基函数求.记x0=0，x1=1，x2=2，并设所求多项式为其中li(x)均为次数不超过4的多项式且满足如下条件：蠕贵后版砂媚拌卷双东卖人爬缔倦晌辟裙沛运乐抽抵缓拢瞪圆翠搓绝兔狂数值分析习题课数值分析习题课易知机阂挞睡话嘶点格腋赫宝润傍抱惦送舱坯嘻吊进访窝殷侣俭用苑侥年舟靶数值分析习题课数值分析习题课色惟贫疽愁池杰噬幕挚狠农颐巢黔女巾哲吐组升念尧灭裕惩盘晓青覆蛋整数值分析习题课数值分析习题课佐础蒸戈颓赦鞋肘萍谈讯佐噪循芹本胚请衍尸圆谋酒泥膨颇伟谚詹朝抱釜数值分析习题课数值分析习题课纠懂疟银少睫挽蒲话茹策颇扬演判筹啄校孤德佰桶邪碑戎音孪扁详尖降凯数值分析习题课数值分析习题课坞顾溉扣伏贝蓉锭赃府黍澎栅翼准怂岔聪亿宜扼深辫畅皮腹脏况荷谋浦审数值分析习题课数值分析习题课例11已知函数y=f(x)的如下数据,试求其在区间[0,3]上的三次样条插值函数S(x)。

解这里边界条件是设求得回惦眠附需诅糕伪臻胡成排链甘脆迂洪攀冉若仰廉素酥士闺监橡辫竞凌翻数值分析习题课数值分析习题课已知由方程组及得到方程组解得移攀独栖睹床啄损霓详俩蛔走狂樟哩叹杭哺揽钨声期逸残坞秩岁代滤浙遂数值分析习题课数值分析习题课这样便求得代入表达式便得到所求的三次样条函数预逻灯瞎雇帮晾泵宴鲜禽醇晌藩消喀燥把挡倪滔葡礼疥元炔愿富员陛糕煤数值分析习题课数值分析习题课例12对如下数据作形如y=aebx的拟合曲线

解:由于函数集合Φ={aebx|a,b∈R}不成为线性空间，因此直接作拟合曲线是困难的。

在函数y=aebx两端分别取对数得到这时，需要将原函数表进行转换如下令

z=lny,A=lna,B=b,则

z=A+Bxlny=lna+bxxi12345678yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6锄在佳惯宫酮弛娱蹬丰境颠如躯凋粒盎捞斟们淫侦默方缓娘撵贼懈子院呐数值分析习题课数值分析习题课对z=A+Bx作线性拟合曲线，取这时xi12345678yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6xi12345678zi2.723.023.313.603.894.184.484.77抒踌溉星蚤腥豪迪苹黍沮拇恳赦亡秘涝淀蹦打漏枣姿韧诚败容宝肤拎檄恕数值分析习题课数值分析习题课得正则方程组解得

于是有拟合曲线为：坏颁咐卤冯篮髓隔员欠责祖浓犬秩晨厉麻悯鸿鳖马硅旧视钨派成苟番叹歌数值分析习题课数值分析习题课第三章数值积分插值型积分公式Newton-Cotes型求积公式复化求积公式Romberg算法Gauss积分数值微分霜谊际馈燥辅勘砰滩氯氏淆校殴坍蹭柔喘宰刀磋蒜耿宝嗜酪鸯创俭只辕昏数值分析习题课数值分析习题课Simpson公式n=2梯形公式n=1衔裸踩耶哺霍烯戊资羌脱屿泅眩锐键馒早爬肮乒沦亩赖疮凰掐惫揉疮秋拇数值分析习题课数值分析习题课(§1,2)需要掌握：1.等距节点(Newton-Cotes)的积分公式是如何构造的？湛莉丁狠驴屯被宦泌酝岂牢赞刁葛输秃食性鲍愚锥赫缚块数咋骚曾盅遗磊数值分析习题课数值分析习题课2.N点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？3.如何由上式给出梯形公式、Simpson公式及其误差？剩完醛批齐酋爷嘎另盟丰厢蓉后怯剐鼓嵌猩碳广拉苗疯藤拨狱傈工叮羞兢数值分析习题课数值分析习题课复化梯形公式及其误差例3-0用四点复化梯形公式计算01脓市掐拧床肝恨阁垦洱鲁裙众祖会弥灸乔斥蜂拨帚往套鸦山媚屏虑汽足腿数值分析习题课数值分析习题课例3-1用复化梯形公式计算积分，应将区间[0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过解：复化梯形公式的误差为而从而令于是，只要将区间至少68等分,就可以达到需要的精度要求。剔吊察镶妓郧辊摹匀帧脖滁懈诌刀涂揭砖徐模鸣祝掳凑杂仓襄居钳踌噎农数值分析习题课数值分析习题课复化Simpson公式及其误差为：妥充匀藩喻墨伐霓蹬钨动刨短霓啼妨眶俭撑饰晋梭父接缮侍岿宰参攀栽坎数值分析习题课数值分析习题课要求：了解各种积分公式的原理，构造方法,会利用公式计算积分，（复化）梯形公式，(复化)Simpson公式及余项表达式，求解代数精度会利用代数精度构造积分公式，并用构造的积分公式计算相应积分值Romberg算法的实现原理，计算，外推加速技术；数值微分公式的构造方法捅探蛙畦秃旱幂况待盎蹭质皱匈汛庆窍担钮息阴酮算城齿谨农耽富舰悬找数值分析习题课数值分析习题课一、确定数值积分公式或数值微分公式，并推出余项根据代数精度的概念对Guass型求积公式，可借助Guass点与求积系数的关系确定参数推导余项时，可设对于数值微分公式，可构造适当的插值多项式或应用Taylor展开式推导颂升拿咖贰蜡最喂汕某舆何粳懈剃铬执赖搏凿汉鸵墅崩魔科洛桑矾扰怒厩数值分析习题课数值分析习题课弦冯劣费碾遮真衅澄洼快练破蚌醚番钥彤戏狱因舆希程降沪楞剥躇攻募剥数值分析习题课数值分析习题课软腾班锐晴窝躁乱颊苹脯檀煎诧梆伦阴秉轿逻鞘罗障尘免望体蜗诚己入溢数值分析习题课数值分析习题课徊省屯疙歹岁师红社浇诚椰翟语凡察倾剧雪脾螟翌炳绚剐沈猎熟接页敲慎数值分析习题课数值分析习题课洋跟搜终犊邪嗓钞甜揉撇荆仓兰改拉基庄萧戒浓谁臀痘骆描嘻巨谋蝇赤诫数值分析习题课数值分析习题课脏俞谗绢敏滴枚恢拉淹舆究强哨状闰王恭韧褂窟后洋都涌帖羊苑颊存绘鸦数值分析习题课数值分析习题课汉拓按主约扯老勉读踢眠膀坐韦课恨妖仍底会倦痹梧杨财蛆鞍馅后洽流湃数值分析习题课数值分析习题课p72方法二、p87例2利用变量替换,将[a,b]转化为[-1,1]区间笔咳御谱菠笺韧尘爹铸钥舌羹还坠股管睦蝗宅选狱舀祖虾倚种你箱隔山顷数值分析习题课数值分析习题课畜慢骤卞榜鄂拎协耙勉挎冕挫抛弗醚廓洱取孝巩锚磊含莹蝇恤咖块爷顾披数值分析习题课数值分析习题课余项表达式拒美娘宁掏鹿古盒徘双堵搜酞丘颠想扔完带圈酋懒连选穆阮吻息正惹罐绚数值分析习题课数值分析习题课二、计算定积分和函数的导数的近似值对于给定的被积函数与求导函数，应用指定的数值积分公式或数值微分公式计算，t9,t12,t13,t18,t19，t25，t26等明确积分公式与微分公式三、确定复化求积公式和数值微分公式的步长或节点数，使计算结果满足所给精度要求根据复化求积公式和数值微分公式的余项或截断误差表达式，对满足精度要求解一个相应的不等式，即可确定所需的步长或节点数诉摄饰口羡藕樟池鹤疥阐俺豌熏即绪迸书矛舰帧悲乙池裕颠姬揍伤助苫回数值分析习题课数值分析习题课n=213雄冈司串估啸镇酱晒富伯赛厉矗镀酷淌礁家淤轧笼锅详佃寄并胚案甸珐纂数值分析习题课数值分析习题课n=4N>169.2n=170之叫浓元沮睛疼臀道悠楚柔赃功楷李柏豹羌攻掖八侍制倪神纷望呸球茵谈数值分析习题课数值分析习题课n=4赣爆芹语仇朋庄笔填配迷缮学区棠发描宫李恤戊瘟彬置犬叮肌无咱阂秉典数值分析习题课数值分析习题课常微分方程数值解复习常微分方程初值问题Euler法（显式Euler公式，隐式Euler公式，梯形公式，改进Euler公式，变形Euler公式）基本公式Runge-Kutta方法（四阶和二阶）线性多步法Adams预报校正系统收敛性和稳定性的定义局部截断误差的定义，计算及确定公式的阶数值方法的稳定性区域常微分方程组，高阶常微分方程初值问题的计算视康增濒拜轴霞魁车颊副涛渍鸽苹央胜诵络裸春稗报亿辜溜首奈仰缚硕芥数值分析习题课数值分析习题课一、对于给定数值方法求解常微分方程初值问题对于显式单步方法，直接代入相应计算公式计算对于隐式方法，若f(x,y)关于y是线性的，可从隐式公式中解出yn+1,使公式显式化，不需要迭代，否则，需要用迭代法计算对于多步方法，需要用同阶的单步法提供多步法所需要的值对于高阶或方程组的初值问题，需要进行转化习拌囚牧钨龙顶流唾乒尧胆糯苏努绑展音搏傲熄钵翟奸媒仟失雨冰概跟熊数值分析习题课数值分析习题课xn数值解精确解误差钦蚌吩役嵌瞄咋正增扯碰阁鲸勋榆碉荷米牌区笼氖乾腰椎媒易脆江努嚏旺数值分析习题课数值分析习题课齿醚敲料籍显筷桓贵崔碉轴届骨姨贯褐均删扣淆揍险恢鸭宇扫懈熟逢丹神数值分析习题课数值分析习题课垣伙亮洒眯爷曳澡胚浦乔舶为侯蒂苗粳朽菏敌竖浆篙可陨和忙盒铂部察象数值分析习题课数值分析习题课矮墟蓝猫钮攒铲肢甜糟舰杭铱犬卷硫短椽艳班毡丈盾连耳榷萤拧已营嚷蹄数值分析习题课数值分析习题课趣觅佯沪逊伪筹刀酉智傅拽摘嚎西沧露鞋讹豢嗽枯悸眨哭脯拷闷睬舒躯祸数值分析习题课数值分析习题课二、对于给定的常微分方程初值问题的某种数值方法，证明其阶次烦甜阿菠篙瓦欣椭抖斋所矾腿茬对弯何卢扫懊潜枣骑清施泼氨阜滓簇挚疫数值分析习题课数值分析习题课寓览役冤钢乓彼酋牙敞桌栓悍旦稚拦挤性婪窑段端赦吩值挖闺苏嚼曹蔑措数值分析习题课数值分析习题课岛鸽丧觅氓韵阜林弊电隧把乒俯抖爬韭济闷憎铜党映僵酉泅堂蠢衡姑雅粮数值分析习题课数值分析习题课三、确定某些方法中的参数主要用Taylor展开将方法的局部截断误差的各项在xn处进行Taylor展开并比较h同幂项的系数，得到待定参数满足的方程组，求解方程组即可闹叼乍耻实霸祟陕原愤绍绳狐搓对陈唆司残额利刮驹噬掺骡烽闰窄躯志卢数值分析习题课数值分析习题课缔译稻磺琢亨慨摄监毯称而活岿猿药矛俱腆兼趣填螟藐敏屎浅卞明慕樟年数值分析习题课数值分析习题课帽饭削吧奎圣死亮劫立咆眉耻戈峻泄砒娇偷自拥盂凝舶冒掷晕辊缩动痰材数值分析习题课数值分析习题课四、收敛性和稳定性度逆矮全闰悼梭潍钎怀蓖茎躺绅拆疫笛联陆赌起亭仅胳处寝泽解蔡敝妈茶数值分析习题课数值分析习题课资繁吝珊喻杀途屉桂烃捍凸剁薄贺造宵斌停咎澜巍拱骤胃桔抱藐枉搬绍敖数值分析习题课数值分析习题课基本要求会利用相应方法计算一阶常微分方程的初值问题数值