信号与系统课件 §2.3 起始点的跳变

§2.3

起始点的跳变——从0-到0+状态的转换返回

作为数学问题，往往把微分方程的初始条件假设为一组已知的数据，利用这组数据可以确定方程解的系数。然而，在系统分析中，初始条件要根据激励接入瞬时系统的状态决定。在某些情况下，此起始状态可能发生跳变，这将使确定初始条件工作复杂化。一.起始状态和初始条件二.初始条件的确定三.求解线性时不变（LTI）电系统的流程图一.起始状态和初始条件

在系统分析中，系统在t=t0时刻的状态是一组必须知道的最少量的数据，用0-表示激励接入之前的这组数据的瞬时值。定义为：

起始状态：在激励接入之前的瞬时（t=0-）系统的状态(系统过去的全部信息）。

在激励接入之后，由于受激励的影响，这组状态从t=0-到t=0+时刻可能发生变化，用0+表示激励接入之后的这组数据的瞬时值。定义为：0+状态、初始条件、导出的起始状态初始条件：在激励接入之后的瞬时（t=0+）系统的状态(系统过去的全部信息+激励引起的跳变）。若r(k)(0+)=r(k)(0-)则r(k)(t)在t=0点连续；若r(k)(0+)=r(k)(0-)表明起始值发生跳变。

一般情况下，系统微分方程求解限于0+<t<。 所以r(k)(0-)不能作为初始条件，而应把r(k)(0+)作为初始条件来求微分方程解的系数。{r(k)(0-)、激励信号、系统模型}r(k)(0+)返回二.初始条件的确定

对于实际系统，大多数是在已知起始状态r(k)(0-)而确定初始条件r(k)(0+)。

有两种方法：（1）利用物理概念对模型进行分析判断来确定r(k)(0+)（2）利用数学方法——冲激函数匹配法确定r(k)(0+)。1.物理概念法确定初始条件2.数学方法——冲激函数匹配法返回1.物理概念法确定初始条件

原理：一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：

具体表现为：1）在没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容的条件下，电容两端的电压不发生跳变；2）在没有冲激电压（或阶跃电流）作用于电感的条件下，流过电感的电流不发生跳变。其实质是激励中无d(t)及其导数项出现。

但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，状态就会发生跳变。即：

当系统用微分方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。

1）电容电压的突变2）电感电流的突变

对于其它情况：若微分方程的待求量是iC(t)、vL(t)、iR(t)、vR(t)时，均不受此连续条件的约束，在激励接入时可能会发生跳变。利用物理概念确定系统初始条件的过程如下：确定vc(0-)iL(0-)确定vc(0+)iL(0+)确定其它所求的v(0+)、

i(0+)电容、电感无跳变连续性元件约束特性网络约束特性返回1）电容电压的突变由伏安关系当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：例2-3-1电流为冲激信号。返回2）电感电流的突变如果为有限值，冲激电压或阶跃电流作用于电感时：例2-3-2返回2．冲激函数匹配法确定初始条件

若系统微分方程右端自由项中包含及其各阶导数项时，一般用冲激函数匹配法。

匹配原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡(其它项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不考虑其它项）。冲激函数匹配法如下：1）只匹配及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。

2）令r(k)(t)的系数为1，匹配从方程左端r(k)(t)的最高项开始，首先使方程右端δ(t)函数的最高次微分项得到匹配。

3）每次匹配低阶函数微分项时，如果方程左端所有同阶次函数微分项系数之和不能与右端匹配，则由方程左端r(k)(t)最高阶次项补偿。

4）在匹配低阶次函数微分项时，已匹配好的高阶次函数微分项系数保持不变。

5）注意：利用函数匹配法不是求微分方程的解，而仅仅是求响应及其各阶导数在激励作用下，所产生的跳变量。

例：

该过程可借助数学描述返回例2-3-3例2-3-4在中时刻有

分析中的表示到的相对跳变函数，所以，返回数学描述设则积分一次代入方程得出所以得即即返回例2-3-3（1）将e(t)代入微分方程，t≥0得(2)解法一方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而可设：

代入微分方程求得因而有例2-3-3(续）要求得的0+状态为(3)解法二返回

由于冲激函数匹配法仅考虑系统微分方程右端中包含的及其各阶导数项。该方程右端的冲激函数项最高阶次是因而有：222714-2-2所求的0+状态为：例2-3-4已知微分方程如下所示，求0-到0+的跳变量。4455-4-44-1614-414返回三.求解线性时不变(LTI)电系统的流程图将元件约束关系，网络约束关系KCL、KVL用于给定