解三角形-2-高考真题复习-高考复习课件

§4.4解三角形高考文数

(课标Ⅱ专用)考点一正、余弦定理1.(2018课标全国Ⅱ,7,5分)在△ABC中,cos

=

,BC=1,AC=5,则AB=

()A.4

B.

C.

D.2

五年高考A组统一命题·课标卷题组答案

A本题考查半角公式和余弦定理.∵cosC=2cos2

-1=2×

-1=-

,BC=1,AC=5,∴AB=

=

=4

.故选A.易错警示利用余弦定理求解时,误认为cosC的值为

而错选D.2.(2016课标全国Ⅰ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=

,c=2,cosA=

,则b=

()A.

B.

C.2

D.3答案

D由余弦定理得5=22+b2-2×2bcosA,∵cosA=

,∴3b2-8b-3=0,∴b=3

.故选D.评析本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.3.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cos

C)=0,a=2,c=

,则C=

()A.

B.

C.

D.

答案

B本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC中,sinB=sin(A+C),则sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=

π.由

=

得

=

,∴sinC=

,又0<C<

,∴C=

,故选B.方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和

定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sinB=sin(A+C)的应用.4.(2018课标全国Ⅰ,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin

BsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为

.答案

解析本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解.由已知条件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinA·sinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA=

,又b2+c2-a2=8,∴cosA=

=

,∴cosA>0,∴cosA=

,即

=

,∴bc=

,∴△ABC的面积S=

bcsinA=

×

×

=

.解题关键正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sinA是解决本题的关键.5.(2017课标全国Ⅲ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=

,c=3,则A=

.答案75°解析由正弦定理得

=

,∴sinB=

,又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.易错警示本题求得sinB=

后,要注意利用b<c确定B=45°,从而求得A=75°.6.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=

,cosC=

,a=1,则b=

.答案

解析由cosC=

,0<C<π,得sinC=

.由cosA=

,0<A<π,得sinA=

.所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=

,根据正弦定理得b=

=

.评析本题考查了正弦定理的应用及运算求解能力.7.(2017课标全国Ⅱ,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,

则B=

.答案

解析由正弦定理及三角形的内角和定理或余弦定理可得.解法一:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB⇒cosB=

⇒B=

.解法二:由余弦定理可得2b·cosB=a·

+c·

,所以2bcosB=b,故cosB=

.又B为△ABC的内角,故B=

.名师点睛解三角形问题,多为边或角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件

灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实现边角之间的互化.第三步:求结果.8.(2014大纲全国,18,12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,

tanA=

,求B.解析由题设和正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA.故3tanAcosC=2sinC,因为tanA=

,所以cosC=2sinC,tanC=

.

(6分)所以tanB=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)=

(10分)=-1,即B=135°.

(12分)评析本题着重考查正弦定理及运用三角公式进行三角恒等变换等知识,要求有较强的运算

变形能力.9.(2015课标Ⅰ,17,12分,0.452)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=

,求△ABC的面积.解析(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=

=

.

(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=

.所以△ABC的面积为1.

(12分)评析本题考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法,属容易题.考点二解三角形及其应用1.(2018课标全国Ⅲ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为

,则C=

()A.

B.

C.

D.

答案

C因为a2+b2-c2=2abcosC,且S△ABC=

,所以S△ABC=

=

absinC,所以tanC=1,又C∈(0,π),所以C=

.故选C.2.(2016课标全国Ⅲ,9,5分)在△ABC中,B=

,BC边上的高等于

BC,则sinA=

()A.

B.

C.

D.

答案

D解法一:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=

,∵B=

,∴AD=BD,∠BAD=

,∴BD=

,DC=

a,tan∠DAC=

=2.

∴tan∠BAC=tan

=

=

=-3.cos2∠BAC=

=

,sin∠BAC=

=

.故选D.解法二:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=

,∵B=

,∴AD=BD,∴BD=AD=

,DC=

a,∴AC=

=

a,在△ABC中,由正弦定理得

=

,∴sin∠BAC=

.故选D.评析本题考查了三角函数和解三角形的能力,正确地画图对解题很有帮助.属中档题.3.(2014课标Ⅰ,16,5分,0.372)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从

A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=6

0°.已知山高BC=100m,则山高MN=

m.

答案150解析在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=100

m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理得,

=

,因此AM=100

m.在Rt△MNA中,AM=100

m,∠MAN=60°,由

=sin60°得MN=100

×

=150m,故填150.4.(2015课标Ⅱ,17,12分,0.139)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求

;(2)若∠BAC=60°,求∠B.解析(1)由正弦定理得

=

,

=

.因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以

=

=

.(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=

cos∠B+

sin∠B.由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=

,即∠B=30°.评析本题考查了正弦定理;考查了解三角形的能力.属中档题.5.(2014课标Ⅱ,17,12分,0.154)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,

①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.

②由①,②得cosC=

,故C=60°,BD=

.(2)四边形ABCD的面积S=

AB·DAsinA+

BC·CDsinC=

sin60°=2

.评析本题考查了余弦定理的应用和四边形面积的计算,考查了运算求解能力和转化的思想,

把四边形分割成两个三角形是求面积的常用方法.考点一正、余弦定理1.(2016山东,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).则A=

()A.

B.

C.

D.

B组自主命题·省（区、市）卷题组答案

C在△ABC中,由b=c,得cosA=

=

,又a2=2b2(1-sinA),所以cosA=sinA,即tanA=1,又知A∈(0,π),所以A=

,故选C.评析恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.2.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2

,cosA=

且b<c,则b=

()A.3

B.2

C.2

D.

答案

C由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=2

,∴b=2.选C.3.(2014江西,5,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则

的值为

()A.-

B.

C.1

D.

答案

D由正弦定理知,

=

=

-1,又知3a=2b,所以a=

b,故

-1=

-1=

,故选D.评析本题考查正弦定理等解三角形的基础知识,考查学生对知识的应用转化能力和运算求

解能力,运用正弦定理进行正确转化是解决本题的关键.4.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=

,b=2,A=60°,则sinB=

,c=

.答案

;3解析本小题考查正弦定理、余弦定理.由

=

得sinB=

sinA=

,由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).5.(2015北京,11,5分)在△ABC中,a=3,b=

,∠A=

,则∠B=

.答案

解析由正弦定理知sinB=

=

=

,又因为a>b,所以∠A>∠B,所以∠B=

.6.(2015重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-

,3sinA=2sinB,则c=

.答案4解析由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×

=16,所以c=4.7.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=

,求cosC的值.解析(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由cosB=

得sinB=

,cos2B=2cos2B-1=-

,故cosA=-

,sinA=

,cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=

.评析本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.8.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)由题设有b2=ac,c=2a,∴b=

a,由余弦定理得cosB=

=

=

.考点二解三角形及其应用1.(2018北京,14,5分)若△ABC的面积为

(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=

;

的取值范围是

.答案

;(2,+∞)解析本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换.依题意有

acsinB=

(a2+c2-b2)=

×2accosB,则tanB=

,∵0<∠B<π,∴∠B=

.

=

=

=

+

=

+

·

,∵∠C为钝角,∴

-∠A>

,又∠A>0,∴0<∠A<

,则0<tanA<

,∴

>

,故

>

+

×

=2.故

的取值范围为(2,+∞).2.(2015湖北,15,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一

山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为

30°,则此山的高度CD=

m.

答案100

解析在△ABC中,因为∠CAB=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°.由正弦定理得

=

,则BC=300

m.在Rt△BCD中,CD=BCtan∠DBC=300

×

=100

m.3.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△

BDC的面积是

,cos∠BDC=

.答案

;

解析本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解

能力.∵AB=AC=4,BC=2,∴cos∠ABC=

=

,∵∠ABC为三角形的内角,∴sin∠ABC=

,∴sin∠CBD=

,故S△CBD=

×2×2×

=

.∵BD=BC=2,∴∠ABC=2∠BDC.又cos∠ABC=

,∴2cos2∠BDC-1=

,得cos2∠BDC=

,又∠BDC为锐角,∴cos∠BDC=

.4.(2018天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos

.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与

余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在△ABC中,由正弦定理

=

,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos

,得asinB=a-cos

,即sinB=cos

,可得tanB=

.又因为B∈(0,π),可得B=

.(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=

,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=

.由bsinA=acos

,可得sinA=

.因为a<c,故cosA=

.因此sin2A=2sinAcosA=

,cos2A=2cos2A-1=

.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=

×

-

×

=

.方法总结在三角关系式中,有边有角时,要利用正弦定理进行边角互化.5.(2017山东,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,

· =-6,S△ABC=3,求A和a.解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为

· =-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=

.又b=3,所以c=2

.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×2

×

=29,所以a=

.6.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan

=2.(1)求

的值;(2)若B=

,a=3,求△ABC的面积.解析(1)由tan

=2,得tanA=

,所以

=

=

.(2)由tanA=

,A∈(0,π),得sinA=

,cosA=

.又由a=3,B=

及正弦定理

=

,得b=3

.由sinC=sin(A+B)=sin

得sinC=

.设△ABC的面积为S,则S=

absinC=9.评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.7.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,

b)与n=(cosA,sin

B)平行.(1)求A;(2)若a=

,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asinB-

bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-

sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=

,由于0<A<π,所以A=

.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=

,b=2,A=

,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为

bcsinA=

.解法二:由正弦定理,得

=

,从而sinB=

,又由a>b,知A>B,所以cosB=

.故sinC=sin(A+B)=sin

=sinBcos

+cosBsin

=

.所以△ABC的面积为

absinC=

.考点一正、余弦定理1.(2013课标Ⅰ,10,5分,0.574)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=

0,a=7,c=6,则b=

()A.10

B.9

C.8

D.5C组教师专用题组答案

D由23cos2A+cos2A=0得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cosA=

.又由a2=b2+c2-2bccosA得49=b2+36-

b,整理得5b2-12b-65=0,解得b=-

(舍)或b=5,故选D.思路分析由23cos2A+cos2A=0及A为锐角,利用二倍角公式,可求得cosA的值,再利用余弦定

理构建关于b的方程即可求得b的值.2.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=

,a=

c,则

=

.答案1解析在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cosA,将∠A=

,a=

c代入,可得(

c)2=b2+c2-2bc·

,整理得2c2=b2+bc.∵c≠0,∴等式两边同时除以c2,得2=

+

,即2=

+

.令t=

(t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,解得t=1或t=-2(舍去),故

=1.思路分析本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以

为变元的方程求解.评析本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用,属中档题.3.(2015福建,14,4分)若△ABC中,AC=

,A=45°,C=75°,则BC=

.答案

解析

B=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得

=

,可得BC=

.4.(2015安徽,12,5分)在△ABC中,AB=

,∠A=75°,∠B=45°,则AC=

.答案2解析由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由

=

知AC=

=

=2.5.(2014湖北,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=

,a=1,b=

,则B=

.答案

或

解析由

=

得

=

,∴sinB=

.又∵b>a,∴B=

或

.6.(2014北京,12,5分)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=

,则c=

;sinA=

.答案2;

解析由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×

=4,故c=2;由sin2C+cos2C=1,cosC=

,sin

C>0知sinC=

=

,由

=

知sinA=

=

=

.评析

本题考查正弦定理、余弦定理等解三角形的基础知识,考查学生的知识应用能力和运

算求解能力.7.(2014福建,14,4分)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=

,则AB等于

.答案1解析由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA,即3=4+AB2-2AB,即AB2-2AB+1=0.∴AB=1.评析

本题考查了余弦定理,考查了方程的思想方法.8.(2010课标,16,5分)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=

,∠ADB=135°.若AC=

AB,则BD=

.答案2+

解析设BD=x,在△ABD中,由余弦定理有AB2=x2+2x+2,

由题意得∠ADC=45°,DC=2x,AC2=2(x2+2x+2),在△ADC中,有AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos45°,即

x2-4x-1=0,解得x=2±

.∵x>0,∴BD=2+

.评析本题考查解斜三角形问题,考查运算能力以及函数与方程思想.9.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积

为

,求cosA与a的值.解析由三角形面积公式,得

×3×1·sinA=

,故sinA=

.因为sin2A+cos2A=1,所以cosA=±

=±

=±

.①当cosA=

时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×

=8,所以a=2

.②当cosA=-

时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×

=12,所以a=2

.评析

本题考查解三角形,解题时要注意已知sinA求cosA时有两解,防止漏解.考点二解三角形及其应用1.(2011课标全国,15,5分)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为

.答案

解析由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,及已知条件得49=a2+25-2×5×acos120°.整理得a2+5a-24=0,解得a=3或a=-8(舍).∴S△ABC=

acsinB=

×3×5sin120°=

.评析本题考查余弦定理、解三角形等知识,根据余弦定理正确求出a的值是解答本题的关

键.2.(2014山东,17,12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=

,B=A+

.(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.解析(1)在△ABC中,由题意知,sinA=

=

,因为B=A+

,所以sinB=sin

=cosA=

.由正弦定理可得b=

=

=3

.(2)由B=A+

得cosB=cos

=-sinA=-

.由A+B+C=π,得C=π-(A+B).所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

×

+

×

=

.因此△ABC的面积S=

absinC=

×3×3

×

=

.3.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=

(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角差的正

弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)由asinA=4bsinB,及

=

,得a=2b.由ac=

(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=

=

=-

.(2)由(1),可得sinA=

,代入asinA=4bsinB,得sinB=

=

.由(1)知,A为钝角,所以cosB=

=

.于是sin2B=2sinBcosB=

,cos2B=1-2sin2B=

,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=

×

-

×

=-

.规律总结解有关三角形问题时应注意:(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合或两个定理都要用,要抓住能

够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;

如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑到

两个定理都有可能用到.(2)解三角形问题时应注意三角形内角和定理的应用及角的范围.4.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高

均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10

cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为

40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.

解析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空

间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10

,AM=40,所以MC= =30,从而sin∠MAC=

.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=

=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)

(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=

=24,从而GG1=

=

=40.设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sinα=sin

=cos∠KGG1=

.因为

<α<π,所以cosα=-

.在△ENG中,由正弦定理可得

=

,解得sinβ=

.因为0<β<

,所以cosβ=

.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

×

+

×

=

.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=

=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)考点一正、余弦定理1.(2018海南二模)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,已知a=

,(b2+c2-3)tanA=

bc,2cos2

=(

-1)cosC,则△ABC的面积为

()A.

B.

C.

D.

三年模拟A组2016—2018年高考模拟·基础题组答案

A∵a=

,(b2+c2-3)tanA=

bc,∴

tanA=

,即cosAtanA=

,亦即sinA=

,又A∈

,∴A=

,∵2cos2

=(

-1)cosC,∴1+cos(A+B)=(

-1)cosC,∴1-cosC=(

-1)cosC,∴cosC=

,C∈

,∴C=

,由正弦定理可得

=

,解得c=

,∴S△ABC=

acsinB=

×

×

×

=

.故选A.2.(2017陕西渭南二模)已知△ABC的三边长为a,b,c,满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离,则△

ABC是

()A.直角三角形

B.锐角三角形C.钝角三角形

D.以上情况都有可能答案

C易知圆心到直线的距离d=

>2,故c2>a2+b2,在△ABC中,cosC=

<0,所以∠C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.选C.3.(2017吉林长春普通高中一模)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

bcosA=sinB,且a=2

,b+c=6,则△ABC的面积为

.答案2

解析由题意及正弦定理可知

=

=

,得tanA==

,∵A∈(0,π),∴A=

,再由余弦定理得,12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,得bc=8,从而△ABC的面积为2

.考点二解三角形及其应用1.(2017黑龙江大庆一中考前冲刺)已知△ABC中,A=

,B=

,a=1,则b等于

()A.

B.1

C.

D.2答案

A由正弦定理有

=

,将已知代入公式,求得b=

,选A.2.(2017吉林梅河口五中一模)已知△ABC的三个内角A,B,C所对边长分别是a,b,c,若

=

,则角B的大小为()A.

B.

C.

D.

答案

D由已知及正弦定理得

=

,b2-a2=

ac+c2,∴

=-

=cosB,故B=

.故选D.3.(2018甘肃一诊)在△ABC