平面几何中几个重要定理的证明

平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理ABC定理：在ABC内一点P,该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点证明：运用面积比可得根据等比定理有SADPEADSSSADCADCSADPABC的顶点，则有APC所以SSAPCSAPBSAPCSSAPB注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”可以产生出“边之比”.2.塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F,且D、E、,这样就的顶点,1,那么直线CD、AE、BF三线共点.证明：设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交AB于点D/,则据塞瓦定理有所以有ADADZZ/.由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合.即得D、E、F三点共线.注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证.二、梅涅劳斯定理3.梅涅劳斯定理及其证明所在直线分别交于点ABC的顶点，则有证明：如图，过点ABC的三边AB、BC、CA注：添加的辅助线CG是证明的关键拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证.,即得,1“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再4.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在那证ABC的边AB、BC上各有一点D、E,在边AC的延长线上有一点F,若D、E、F三点共线.ADAD/共线.注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律.三、托勒密定理5•托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE=因为ADB=ACB,,,所以DAM=BAE:,即,即ABCDACBE-------------(2),注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论•这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试.6•托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形ABCD满足ABXCD+BCXAD=ACXBD，那么A、B、C、D四点共AEAB且ADAC―DAECADXBC=DEXAC---------(3)共圆./、C/共线，则命题获证）据圆幕定理知A、C、据圆幕定理知A、C、/AAC另一方面,欲证A/C/ACACA/DACA’D,即证 ,即证,A/C/,>>7•托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有ABXCD+BCXAD>ACXBDAEABADXBC=DEXAC------------(3)所以所以A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知ABXCD+BCXADACXBDBE+DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE+四、西姆松定理因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC=BCP,或其延长线引垂线，垂足分别C、P、/由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D，重合，即得D、E、F三点共线.注1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件•但需注意运用同一法证明时的唯一性.（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法.五、欧拉定理9•欧拉定理及其证明定理：设厶ABC的重心、外心、垂心分别用字母G、0、H表示.则有G、0、H三点共线（欧拉线），且满足OH30G.证明（向量法）：连B0并延长交圆0于点D。连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点，连接0E和0C.则①OH0AAH——①从而得AHDC.而DC20E，所以AH20E.13注1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法;（2）此题也可用纯几何法给予证明.又证（几何法）：连接0H,AE，两线段相交于点为边BC的中点，连接0E和0C,如图.为AH//CD,CD//0E，所以AH//0E.可得AG2由,及重心性质可知点G僦是ABC的重心，即G/与点G重合•六、蝴蝶定理.io.蝴蝶定理及其证明定理：如图，过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF,连接CF和ED证明：过点M作直线AB的垂线I，作直线CF关于直线I的对称直线交圆于点&、F，交线段AB于点连接FF〈DF〈QU、DQ/.据圆的性质和图形的对称性可知：而由FF，//AB可得Q/PF+CFF/=180°,所以/Q/DM.这说明点Q与点Q/重合，即得此定理还可用解析法来证明:想法：设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数.设直线DE、CF的方程分别为直线CD、EF的方程分别为则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为-ri2)=0.整理得(+kik2)x2+(1+mim2)y2-(ki+k2)+-(ni+n2)x+(nim2+n2mi)y+(mi+m2)]xynin2=0.由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须i且(ki+k2)+(mi+m2)=0.若=0,则kik2=i,ki+k2=0,这是不可能的，故又y轴是弦AB的垂直平分线，则圆心应落在y轴上，故有这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为