第4章数据概括性度量课件

第四章数据的概括性度量1第四章数据分布特征的测度第一节集中趋势的测度第二节离散程度的测度第三节偏态与峰度的测度2学习目标1.集中趋势各测度值的计算方法2.集中趋势不同测度值的特点和应用场合3.离散程度各测度值的计算方法4.离散程度不同测度值的特点和应用场合5.偏态与峰度测度方法6.用Excel计算描述统计量并进行分析3数据分布的特征集中趋势(位置)离中趋势

(分散程度)偏态和峰度（形状）4数据分布的特征和测度数据的特征和测度分布的形状集中趋势离散程度众数中位数均值离散系数方差和标准差峰度四分位差异众比率偏态5第一节集中趋势的测度一.分类数据：众数二.顺序数据：中位数和分位数三.数值型数据：均值四.众数、中位数和均值的比较6数据特征分布的和测度

（本节位置）数据的特征和测度分布的形状集中趋势离散程度众数中位数均值离散系数方差和标准差峰度四分位差异众比率偏态7集中趋势

(Centraltendency)一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定8一、分类数据：众数9众数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.出现次数最多的变量值3.不受极端值的影响4.可能没有众数或有几个众数5.主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据10众数

(众数的不唯一性)无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:65

985

5多于一个众数

原始数据:2528

28

36424211（一）分类数据的众数

(算例)表3-1某城市居民关注广告类型的频数分布

广告类型人数(人)比例频率(%)商品广告服务广告金融广告房地产广告招生招聘广告其他广告112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合计2001100【例】根据下表数据，计算众数解：这里的变量为“广告类型”，这是个分类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即

Mo＝商品广告12（二）顺序数据的众数

(算例)【例】根据下表的数据，计算众数解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

Mo＝不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意24108934530836311510合计300100.013（三）数值型分组数据的众数

(要点及计算公式)1.众数的值与相邻两组频数的分布有关4.

该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布2.相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数3.相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算iffffffLM-+--+=+--)()(1110MoMoMo14数值型分组数据的众数

(算例)表3-5某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例4.1】根据下表数据，计算50名工人日加工零件数的众数814-)(1235)1014()814(1200个=-+-+=M15二、顺序数据：中位数和分位数16（一）中位数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于中间位置上的值Me50%50%不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据17中位数

(位置的确定)未分组数据：组距分组数据：181.未分组数据的中位数

(计算公式)192.顺序数据的中位数

(算例)【例4.2】根据下表中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的中位数解：中位数的位置为：(300+1)/2＝150.5从累计频数看，中位数的在“一般”这一组别中。因此

Me＝一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—203.数值型未分组数据的中位数

(5个数据的算例)原始数据:

2422212620排序: 2021222426位置: 123

45中位数2221a数值型未分组数据的中位数

(6个数据的算例)原始数据:

105 91268排序: 56891012位置: 123 4

56位置N+126+123.5中位数8+928.5221.根据位置公式确定中位数所在的组2.采用下列近似公式计算：3.该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布b数值型分组数据的中位数

(要点及计算公式)NifSLMmme*-+=-1223数值型分组数据的中位数

(算例)表3-5某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例4.3】根据第三章表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的中位数1450)(21.1235162120个=*-+=eM24（二）四分位数

(概念要点)1. 集中趋势的测度值之一2. 排序后处于25%和75%位置上的值3.不受极端值的影响4.主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%25四分位数

(位置的确定)未分组数据：组距分组数据：下四分位数(QL)位置=N+14上四分位数(QU)位置=3(N+1)4下四分位数(QL)位置=N4上四分位数(Qu)位置=3N4261.顺序数据的四分位数

(算例)【例4.4】根据下表数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位数解：下四分位数(QL)的位置为：QL位置＝(300+1)/4＝75.25上四分位数(QL)的位置为：QU位置＝(3×（300+1）)/4＝225.75从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中。因此

QL＝不满意QU＝满意表3-2甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—272.数值型未分组数据的四分位数

(7个数据的算例)原始数据:

2321 3032 282526排序:2123

2526283032位置:1 23 4567N+1QL=237+1QL位置=4=4=2QU位置=3(N+1)43(7+1)4==6QU=3028数值型未分组数据的四分位数

(6个数据的算例)原始数据:

2321 30 282526排序:212325262830位置:1 2 3 4 56QL=21+0.75(23-21)=22.5QL位置=N+14=6+14=1.75QU位置=3(N+1)43(6+1)4==5.25QU=28+0.25(30-28)

=28.5293.数值型分组数据的四分位数

(计算公式)上四分位数:

UUU-1UUifS3NLQ*-+=4LLL-1LLifSNLQ*-+=4下四分位数:

30数值型分组数据的四分位数

(计算示例)QL位置＝50/4＝12.5表3-5某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例4.6】根据第三章表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的四分位数QU位置＝3×50/4＝37.5)(81.117588450115个=*-+=LQ)(75.128510304503125个=*-*+=UQ31众数、中位数与分位数的练习：课后习题：P109习题4.1习题4.232均值

(概念要点)1. 集中趋势的测度值之一2. 最常用的测度值3. 一组数据的均衡点所在4. 易受极端值的影响5.用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据33（一）均值

(计算公式)设一组数据为：X1，X2，…，XN简单均值的计算公式为设分组后的数据为：X1，X2，…，XK相应的频数为：F1，F2，…，FK加权均值的计算公式为341.简单均值

(算例)原始数据: 10 5 9 13 6 8352.加权均值

（算例）表4-1某车间50名工人日加工零件均值计算表按零件数分组组中值（Xi）频数（Fi）XiFi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计—506160.0【例4.7】根据第三章表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的均值36加权均值

(权数对均值的影响)

甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下

甲组：考试成绩（X）: 020100

人数分布（F）：118乙组：考试成绩（X）: 020100

人数分布（F）：811X甲0×1+20×1+100×8n10i=1Xi82（分）X乙0×8+20×1+100×1n10i=1Xi12（分）373.均值的数学性质1.各变量值与均值的离差之和等于零

2.各变量值与均值的离差平方和最小38（二）调和平均数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.各变量值倒数的平均倒数，是均值的另一种表现形式3.易受极端值的影响4.不能用于分类数据和顺序数据5.计算公式为原来只是计算时使用了不同的数据！39调和平均数

(算例)表4-3某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)

Xi成交额(元)XiFi（m）成交量(公斤)Fi甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计—3690048000【例4.8】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表4-2，计算三种蔬菜该日的平均批发价格40（三）几何平均数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.N

个变量值乘积的N

次方根3.适用于特殊的数据:变量值本身是比率的形式,且比率的连乘积等于末期除以基期4.主要用于计算平均发展速度5.计算公式为6.可看作是均值的一种变形4142几何平均数

【例4.10】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%43(算例)某水泥生产企业1999年的产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9％，2001年与2000年相比增长率为16％，2002年与2001年相比增长率为20％。求各年的年平均增长率。44四、众数、中位数和均值的比较45众数、中位数和均值的关系对称分布均值=

中位数=

众数左偏分布均值中位数众数右偏分布众数中位数均值46数据类型与集中趋势测度值表4-4数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型分类数据顺序数据数值型数据适用的测度值※众数※中位数※简单均值—四分位数众数※

※加权均值—众数中位数调和平均数——四分位数几何平均数47例题：某百货公司6月份各天的销售数据如下（单位：万元）257276297252238310240236265278271292261281301274267280291258272284268303273263322249269295（1）计算该百货公司销售额的均值、中位数和四分位数；（2）计算日销售额的标准差。48例：甲、乙两个企业生产三种产品的单位和总成本资料如下：产品名称单位成本总成本（元）甲企业乙企业A1521003255B2030001500C3015001500比较哪个企业的总平均成本高并分析其原因。49第二节离散程度的测度一.分类数据：异众比率二.顺序数据：四分位差三.数值型数据：方差及标准差四.相对离散程度：离散系数50离中趋势数据分布的另一个重要特征离中趋势的各测度值是对数据离散程度所作的描述反映各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值51数据的特征和测度

（本节位置）数据的特征和测度分布的形状离散程度集中趋势众数中位数均值离散系数方差和标准差峰度四分位差异众比率偏态52一、分类数据：异众比率53异众比率

(概念要点)1. 离散程度的测度值之一2. 非众数组的频数占总频数的比率3. 计算公式为

4.用于衡量众数的代表性54异众比率

(算例)表3-1某城市居民关注广告类型的频数分布

广告类型人数(人)频率(%)

商品广告服务广告金融广告房地产广告招生招聘广告其他广告1125191610256.025.54.58.05.01.0合计200100【例4.11】根据第三章表3-1中的数据，计算异众比率解：在所调查的200人当中，关注非商品广告的人数占44%，异众比率还是比较大。因此，用“商品广告”来反映城市居民对广告关注的一般趋势，其代表性不是很好

Vr=200-112200

=1-112200

=0.44=44%55二、顺序数据：四分位差56四分位差

(概念要点)1. 离散程度的测度值之一2. 也称为内距或四分间距3. 上四分位数与下四分位数之差

QD

=QU-QL4. 反映了中间50%数据的离散程度5.不受极端值的影响6.用于衡量中位数的代表性57四分位差

(定序数据的算例)【例】根据下表数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位差解：设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为4,非常满意为5已知QL=不满意=2，

QU=

满意=

4四分位差：

QD

=QU

=

QL

=4–2

=2甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—58三、数值型数据：方差和标准差59（一）极差

(概念要点及计算公式)1.一组数据的最大值与最小值之差2.离散程度的最简单测度值3.易受极端值影响4.未考虑数据的分布7891078910未分组数据

R

=max(Xi)-min(Xi).=组距分组数据

R

最高组上限-最低组下限5.计算公式为60（二）平均差

(概念要点及计算公式)1.离散程度的测度值之一2.各变量值与其均值离差绝对值的平均数3.能全面反映一组数据的离散程度4.数学性质较差，实际中应用较少5.计算公式为未分组数据组距分组数据61平均差（计算过程及结果）某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组组中值(Xi)频数(Fi)|Xi-X||Xi-X|Fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合计—50—312【例】根据下表数据，计算工人日加工零件数的平均差6263（三）方差和标准差

(概念要点)1.离散程度的测度值之一2.最常用的测度值3.反映了各变量值与均值的平均差异4.根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4681012X=8.3641.总体方差和标准差

(计算公式)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式65总体标准差

（计算过程及结果）表4-6某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组组中值(Xi)频数(Fi)(Xi-X)2(Xi-X)2Fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合计—50—3100.5【例4.14】根据下表数据，计算工人日加工零件数的标准差66672.样本方差和标准差

(计算公式)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!68样本方差

3.自由度(degreeoffreedom)1.一组数据中可以自由取值的数据的个数2.当样本数据的个数为

n

时，若样本均值x

确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值3.例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则x=5。当x

=5

确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值4.样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏估计量69样本方差

(算例)原始数据:10 59136870样本标准差

(算例)样本标准差原始数据:

1059136871方差

(简化计算公式)样本方差总体方差724.方差的数学性质各变量值对均值的方差小于对任意值的方差设X0为不等于X的任意数，D2为对X0的方差，则735.标准化值

(standardscore)1.也称标准分数，通常用于对变量的标准化处理2. 给出某一个值在一组数据中的相对位置3. 可用于判断一组数据是否有离群点:四分位差1.5倍的为离群点，3倍为极端值4. 计算公式为：74练习：一家公司在招收职员时，首先通过两项能力测试。在A项测试中，其平均分数是100分，标准差是15分；在B项测试中，其平均分数是400分，标准差是50分。一位应试者在A项测试中得了115分，在B项测试中得了425分。与平均分数相比，该应试者哪一项测试更为理想。75习题：现场收集数据（不是网络，而是现场），要求如下：1.收集分类数据，计算异众比率2.收集顺序数据，计算异众比率和四分位差3.收集数值型数据，计算极差、平均差、标准差、标准化值4.指标计算结果不是目的，要好好体会一下指标所代表的含义，如果，代表性不好，你有没有什么更好的建议？5.计算离散指标的同时，衡量一下相对应的集中趋势指标的代表性？6.计算完离散指标，与同桌的离散指标比较一下，看谁的离散程度大？前提，要保证你们的离散指标是可比较的！76四、相对离散程度：离散系数77

离散系数

(coefficientofvariation)1.标准差与其相应的均值之比2.消除了数据水平高低和计量单位的影响3.测度了数据的相对离散程度4.用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为：78离散系数

（实例和计算过程）表4-7某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）X1销售利润（万元）X21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例4.16】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表4.7。试比较产品销售额与销售利润的离散程度79X1=536.25（万元）S1=309.19（万元）V1=536.25309.19=0.577S2=23.09（万元）V2=32.521523.09=0.710X2=32.5215（万元）结论：计算结果表明，V1<V2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度80练习：如果投资项目A的预期回报率为7%，标准差为5%;而投资项目B的预期回报率为12%，标准差为7%，哪个投资项目风险大？81数据类型与离散程度测度值表4-8数据类型和所适用的离散程度测度值数据类型分类数据顺序数据数值型数据适用的测度值※异众比率※四分位差※方差或标准差—异众比率※离散系数（比较时用）——平均差——极差——四分位差——异众比率82第三节偏态与峰度的测度一.偏态及其测度二.峰度及其测度83数据的特征和测度

（本节位置）数据的特征和测度分布的形状离散程度众数中位数均值离散系数方差和标准差峰度四分位差异众比率偏态集中趋势84一、偏态85偏态与峰度分布的形状扁平分布尖峰分布偏态峰度左偏分布右偏分布与标准正态分布比较！86偏态

(概念要点)1.数据分布的不对称性2.偏态系数=0为对称分布3.偏态系数>0为右偏分布4.偏态系数<0为左偏分布5.计算公式为()313sSkNFXXKiiiå=-=87偏态

(实例)【例4.17】已知1997年我国农村居民家庭按纯收入分组的有关数据如表4.9。试计算偏态系数2.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94500以下500~10001000~15001500~20002000~25002500~30003000~35003500~40004000~45004500~50005000以上户数比重（%）按纯收入分组（元）表4-101997年农村居民家庭纯收入数据88户数比重(%)252015105农村居民家庭村收入数据的直方图偏态与峰度

(从直方图上观察)按纯收入分组(元)1000500←15002000250030003500400045005000→结论：1.为右偏分布2.峰度适中89偏态系数

（计算过程）表4-1